牛顿二项式扩充定理
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牛顿二项式扩充定理 设函数()()
n
F x f x =
2
3
0123()......k
k f x a a x a x a x a x
=+++++
2
3
0123()(......)
k n
k F x a a x a x a x a x =+++++
根据牛顿二项式定理 F(X)的任意一项为
2
3
0123(......)
n m
m k m
n
k a C a x a x a x a x -++++整理得： （1）210
123(......)n m
m k m m
n
k a C a a x a x a x x
--++++
同理（1）式（）上式中任意一项为： （2）2
21
2341(......)m p p k p
p
m
k a
C a a x a x a x x
---++++
同理（2）式（）上式中任意一项为：
232
2342(......)p q q k q q p k a C a a x a x a x x ---++++
如此类推： 我们预知 最后一项为
2
200
1231(......)j o k j o r j
r r r k r j
a C a a x a x a x x a C
-+++-++++=依次代入上式我们得出： 0
m p q j x +++++的其中一
个系数为
m
p q 00
12
.........n m
m p p q j r
n m p
j
a a
a
a C C C C
----
设M=m+p+q+……+J+0 那么
M
x
的其中一个系数为
m
p q 00
12
.........n m
m p p q j
r n m p
j a a
a
a C C C C
---
设M
x
项的系数为CM 那
M
x
的为所有系数之和则有：
m
p q 00
12
.........n m
m p p q j
r n m p j
CM a a
a
a C C C C
---=∑
推导得