运筹学教程课程
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-x1+2x2 +x4 =8 x1, x2,x3,x4≥0
D B
x4=0 C x1=0
x3=0
E
基变量 非基变量
xj<0 基础可行解
O x3 x4 x1 x2
-是
A x1 x4 x2 x3
-是
B x1 x2 x3 x4
-是
O x2=0 A
C x2 x3 x1 x4
-是
D x2 x4 x1 x3
x4 否
E x1 x3 x2 x4
x1 否
几何概念
约束直线 约束半平面 约束半平面的交集： 凸多边形 约束直线的交点 可行域的极点 目标函数等值线： 一组平行线
代数概念
满足一个等式约束的解 满足一个不等式约束的解 满足一组不等式约束的解
基础解 基础可行解 目标函数值等于一个常 数的解
单纯形表
求解线性规划问题
max(min) s.t.
z CTX AX (,)b X ()0, unr
线性规划的标准形式
目标函数：min 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
min z CTX s.t. AX b
X0
线性规划的图解
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6
-x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
2x1 +3x2 -x3 18
x1 -x2 +x3 3
x1, x2, x3 0
min z’= -2x1 -3x2 -x3
st
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
x1 +3x2 +x3 +x4
目标函数值为：z=18
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x5，非基变量x3、x4、x6
x1 +3x2
=15
2x1 +3x2 +x5 =18
x1 -x2
=3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（6，3，0，0，-3，0） 是基础解，但不是可行解，不是一个极点。
max z= 3x1 +4x2 -x3 +2x4
s.t.
x1 +x2 +x3 +x4 ≦25
x1 +2x2 +x3 +2x4 ≦36
x1 x2 x3
x4 ≧0
写成标准化形式
min z'= -3x1 -4x2 +x3 -2x4
s.t.
x1 +x2 +x3 +x4 +x5
=25
x1 +2x2 +x3 +2x4
目标函数值为：z=15
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
3x2 +x3
=15
3x2 -x3
=18
-x2 +x3 +x6 =3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，11/2，-3/2，0，0，10） 是基础解但不是可行解。
运筹学课件
天津工业大学
目录
第一章 线性规划 第二章 对偶 第三章 整数规划 第四章 运输问题 第五章 网络优化 第六章 动态规划
第一章 线性规划
线性规划模型 线性规划的图解 可行域的性质 线性规划的基本概念 基础解、基础可行解 单纯形表 线性规划的矩阵表示
线性规划模型
线性规划模型的结构
目标函数 ：max，min 约束条件：≥,=,≤ 变量符号：：≥0, unr, ≤0
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x6，非基变量x3、x4、x5
x1 +3x2
=15
2x1 +3x2
=18
x1 -x2 +x6 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（3，4，0，0，0，4） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
进基变量、离基变量、基变换
目标函数 约 束 条 件
基变量
=
右边常数
基矩阵
=
目标函数
约 束 条 件
进基变量
=
离基变量
=
右边常数
目标函数
约 束 条 件
新的基矩阵
=
=
右边常数
目标函数
约
束 条
=
件
进基变量
基矩阵
=
离基变量
目标函数
约 束 条 件
新的基矩阵
=
=
右边常数
基础解、基础可行解
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2+x3 =6
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
3x2 +x3
=15
3x2 -x3 +x5 =18
-x2 +x3
=3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，3，6，0，15，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
目标函数值为：z=20
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x4，非基变量x3、x5、x6
x1 +3x2 +x4 =15
2x1 +3x2
=18
x1 -x2
=3
Hale Waihona Puke Baidu
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（27/5，12/5，0，2/5，0，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
x1 +3x2 +x3 =15 2x1 +3x2 -x3 =18 x1 -x2 +x3 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（5，3，1，0，0，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
x2 6
4
最优解 可行域
-8
0
目标函数等值线
6 x1
可行域的性质
●线性规划的可行域是凸集 ●线性规划的最优解在极点上
凸集
极点
凸集
不是凸集
线性规划的基本概念
●线性规划的基矩阵、基变量、非基变量
目标函数
约 束 条 件
=
右边常数
行列式≠0
基矩阵
=
max z= 2x1 +3x2 +x3
s.t.
x1 +3x2 +x3 15
目标函数值为：z=18
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x2、x3、x4，非基变量x1、x5、x6
3x2 +x3 +x4 =15
3x2 -x3
=18
-x2 +x3
=3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，21/2，27/2，-30，0，0） 是基础解，但不是可行解。
D B
x4=0 C x1=0
x3=0
E
基变量 非基变量
xj<0 基础可行解
O x3 x4 x1 x2
-是
A x1 x4 x2 x3
-是
B x1 x2 x3 x4
-是
O x2=0 A
C x2 x3 x1 x4
-是
D x2 x4 x1 x3
x4 否
E x1 x3 x2 x4
x1 否
几何概念
约束直线 约束半平面 约束半平面的交集： 凸多边形 约束直线的交点 可行域的极点 目标函数等值线： 一组平行线
代数概念
满足一个等式约束的解 满足一个不等式约束的解 满足一组不等式约束的解
基础解 基础可行解 目标函数值等于一个常 数的解
单纯形表
求解线性规划问题
max(min) s.t.
z CTX AX (,)b X ()0, unr
线性规划的标准形式
目标函数：min 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
min z CTX s.t. AX b
X0
线性规划的图解
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6
-x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
2x1 +3x2 -x3 18
x1 -x2 +x3 3
x1, x2, x3 0
min z’= -2x1 -3x2 -x3
st
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
x1 +3x2 +x3 +x4
目标函数值为：z=18
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x5，非基变量x3、x4、x6
x1 +3x2
=15
2x1 +3x2 +x5 =18
x1 -x2
=3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（6，3，0，0，-3，0） 是基础解，但不是可行解，不是一个极点。
max z= 3x1 +4x2 -x3 +2x4
s.t.
x1 +x2 +x3 +x4 ≦25
x1 +2x2 +x3 +2x4 ≦36
x1 x2 x3
x4 ≧0
写成标准化形式
min z'= -3x1 -4x2 +x3 -2x4
s.t.
x1 +x2 +x3 +x4 +x5
=25
x1 +2x2 +x3 +2x4
目标函数值为：z=15
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
3x2 +x3
=15
3x2 -x3
=18
-x2 +x3 +x6 =3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，11/2，-3/2，0，0，10） 是基础解但不是可行解。
运筹学课件
天津工业大学
目录
第一章 线性规划 第二章 对偶 第三章 整数规划 第四章 运输问题 第五章 网络优化 第六章 动态规划
第一章 线性规划
线性规划模型 线性规划的图解 可行域的性质 线性规划的基本概念 基础解、基础可行解 单纯形表 线性规划的矩阵表示
线性规划模型
线性规划模型的结构
目标函数 ：max，min 约束条件：≥,=,≤ 变量符号：：≥0, unr, ≤0
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x6，非基变量x3、x4、x5
x1 +3x2
=15
2x1 +3x2
=18
x1 -x2 +x6 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（3，4，0，0，0，4） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
进基变量、离基变量、基变换
目标函数 约 束 条 件
基变量
=
右边常数
基矩阵
=
目标函数
约 束 条 件
进基变量
=
离基变量
=
右边常数
目标函数
约 束 条 件
新的基矩阵
=
=
右边常数
目标函数
约
束 条
=
件
进基变量
基矩阵
=
离基变量
目标函数
约 束 条 件
新的基矩阵
=
=
右边常数
基础解、基础可行解
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2+x3 =6
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
3x2 +x3
=15
3x2 -x3 +x5 =18
-x2 +x3
=3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，3，6，0，15，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
目标函数值为：z=20
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x4，非基变量x3、x5、x6
x1 +3x2 +x4 =15
2x1 +3x2
=18
x1 -x2
=3
Hale Waihona Puke Baidu
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（27/5，12/5，0，2/5，0，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
x1 +3x2 +x3 =15 2x1 +3x2 -x3 =18 x1 -x2 +x3 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（5，3，1，0，0，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
x2 6
4
最优解 可行域
-8
0
目标函数等值线
6 x1
可行域的性质
●线性规划的可行域是凸集 ●线性规划的最优解在极点上
凸集
极点
凸集
不是凸集
线性规划的基本概念
●线性规划的基矩阵、基变量、非基变量
目标函数
约 束 条 件
=
右边常数
行列式≠0
基矩阵
=
max z= 2x1 +3x2 +x3
s.t.
x1 +3x2 +x3 15
目标函数值为：z=18
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
基变量x2、x3、x4，非基变量x1、x5、x6
3x2 +x3 +x4 =15
3x2 -x3
=18
-x2 +x3
=3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，21/2，27/2，-30，0，0） 是基础解，但不是可行解。