强收敛理论

强收敛理论

把随机变量序列 a.s.收敛的理论称为强收敛理论，主要包括随机变量级数的收敛性、强大数定律、重对数律和强不变原理。这里主要探讨随机变量级数的收敛性和强大数定律。

1.随机变量级数的收敛性

性质1.1 设 ,,21ξξ是非负的且相互独立的随机变量序列，则

1

1

,..[1].n

n n n a s E ξ

ξ∞

∞

==<∞⇔∧<∞∑∑

证：""⇐假设

1

[1]n

n E ξ

∞

=∧<∞∑,则

1

1

[1][(1)]n

n n n E E ξ

ξ∞

∞

==∧=∧<∞∑∑

由Fubini 定理知，

1

(1),..n

n a s ξ

∞

=∧<∞∑，因为

{}{}111

(1)11,..n n n

n n n n a s ξξξ

ξ∞

><=∧=+<∞∑∑∑，

所以

{}

1

1,..n n

a s ξ

><∞∑，即得{}11,..n n n a s ξξ><∞∑，因此

{}

{}1

1(1)11,..n n n n n n

n n n a s ξ

ξξξξ>>=∧+-<∞∑

∑∑∑

即充分性得证。 ""⇒假设

,..n

n a s ξ

<∞∑，还有(1),..n n a s ξ∧<∞∑，假设对n ∀，有1≤n ξ。因为对

]1,0[∈x ，当11--=e a ，所以

0(1)n n n

n n

n n aE n n n a E Ee Ee aE e e ξ

ξξξξ----∑<=≤-≤∑=∏∏∏

故

n n

E ξ<∞∑

，即1

[1]n n E ξ∞

=∧<∞∑。

证毕。

引理1.2 设 ,,21ξξ是相互独立的随机变量序列且均值为0，2

n

n

E ξ

<∞∑，则,..

n n a s ξ∑收敛。

定理1.3 设 ,,21ξξ是相互独立的、对称的随机变量序列，则下列条件等价：

（1）

,..n n

a s ξ∑收敛； （2）2,..n

n

a s ξ<∞∑；

（3）

2

(1)n

n

E ξ

∧<∞∑。

如果上述条件不成立，则|

|p

k k n

ξ≤→∞∑

。

引理1.4 设ξ是随机变量ξ的一个对称化，中值是m ，则

1r

{|m |r}{||r}2{||},r 0.22

P P P ξξξ->≤>≤>≥ 引理1.5 设随机变量序列 ,,21ξξ和常数列12,,c c ，若n ξ和n n c ξ+都依分布收敛，则n c 收

敛。

利用1.2—1.5可证明定理1.2。 定理1.2（三级数定理）设12,,

ξξ是相互独立的随机变量序列，则 (a)

n

n

ξ

∑，..s a 收敛⇔(b)

n

n

ξ∑依分布收敛

⇔(c){}(1)||1;(2)[;||1](3)var[;||1].

n

n

n

n

n

n

n

n

p p ξξξξξ⎧><∞⎪⎪

≤⎨⎪≤<∞⎪⎩∑∑∑收敛；

证：(a)⇔(b)显然。 (b)⇒(c)，设n

n

ξ

∑依分布收敛，则

k k n

ξ≤∑

是胎紧的，||k k n ξ≤∑依概率有界，由定理

1.3知，

,..n

n

a s ξ

∑收敛，可得..

0a s n ξ→，故对0,(||)n n P εξε∀>><+∞∑，即

(||,..)0n P i o ξε>=.

（1）得证。 由引理 1.4知，

{||}n

n n

P m ξ

ε-><∞∑，其中12,,

m m 分别是12,,

ξξ的中值，可得

..

0a s n n m ξ-→。任取12,,

c c ，使..

0a s n n m c -→，于是..

0a s n n c ξ-→。记{||1}1n n n n c ξηξ-≤=，除了

有限个n 外，,..n n a s ηξ=，即n

n

η∑依分布收敛。

同理，对n

η作对称化处理，,..n

n

a s η∑收敛。因为n

η有界且对称，所以由定理1.3知，

1

var var 2

n

n

n

n

ηη=∑∑ （3）得证。 又可知

()(),a.s.n

n n n n n E E η

ηξη-<∞⇒-∑∑收敛，又因为n n ξ∑依分布收敛，所以

n

n

E η

∑收敛0n E η⇒→，又..

0a s n n E ηη-→，所以..

..

00a s a s n n ηξ→⇒→，进而0n m →，可选

取120c c ==

=，则{}||11n n n ξηξ≤=。（2）得证。

(c)⇒(b),假设条件满足（1）、（2）、（3），令{}'

||11n n n ξξξ≤=，由（3）和引理1.2知，

''

(),..n n n

E a s ξ

ξ-∑收敛，由（2）知

'2'

[()],..n n n n

E a s ξξ<∞⇒∑∑收敛。由（1）知