数学美欣赏-3.2--数学中的有限性

数学美欣赏

第4讲

3. 2 数学中的有限性

世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的．无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议——也许正因为有限才显得它与众不同．

数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出．平面上有无数个点，而确定一个平面仅需要三个点(当然它们不共线)就可以．

一副扑克牌洗多少次才算最匀净? 答案是7次(并非越

多越好，要知道一副扑克可能的排列方式有50！种，它大约为

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10)．美国哈佛大学的数学家戴柯尼斯和哥伦比亚大学的数学家贝尔发现了这一奥秘．他们把52张牌编上号，先按1——

52的递增顺序排列．洗牌时分成两叠，一叠是1——26，另一叠是27——52．洗一次后会出现这样的数列：1，27，2，28，

3，29，…，它是两组递增数列：1，2，3，……，26和27，28，29，……，52的混合．此后再继续洗牌，若递增数列的组数多于26时，这副牌已完全看不出原来的样子(顺序)．计算表明，

当洗牌次数为7时，可实现上述效果(多于此数，过犹不及)． 再如广告，商家也许以为所做次数越多，效果越好，其实不然．广告费用的投入与效果，遵循经济活动中著名的S 曲线(下图)，从图上可以看出：投入费用在某一段区间[, ]a b 内时，广告最为有效.

另一方面，广告播出次数以6次左右为最佳．美国著名广告学家克鲁曼认为：消费者是在漫不经心地接触广告：第一次只了解信息的大概，第二次开始关心广告的内容与自己是否有关，第三次便会对产品加深印象与了解．广告以6——8次为最佳，否则会无效或产生厌倦情绪和逆反心理．

三角形数()12n n n T

+=的个数是无限的，但其中仅有六个是由同一数字组成的：1(1n =)，3(2n =)，6(3n =)，55(10n =)，66(11n =)，666(36

n =)．

又如棱锥数(金字塔数)：()()2222

11211236n T n n n n =++=++++L 中， 仅

有1(1n =)和4900(24n =)是完全平方数， 这是1875年吕卡斯猜测的，直至1918年才由沃森给出证明．

著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，·中的完全平方数仅有1，1和144这三项(由四川大学的柯

召等人于1964年解决)． 由前文我们知道，方程22222123x y ++++=L 仅有一组非平凡的

整数解24x =，70y =；方程()()212311231x y ++++-=++++-⎡⎤⎣⎦

L L , 即()()21122x x y y --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦有且仅有()(), 1, 1x y =，()2, 2和()4, 9三组正整数解．

1842年，卡塔兰曾猜想：382=和293=是唯一一对都是正

整数幂的相继自然数(对于方幂中有一平方数的情形，被柯召于1962年解决；1976年Tiideman 证明：若两相继自然数均为正整数幂，则每个正整数的幂均应小于常数c ，已证得5001010

c <). 26是唯一一个夹在两个方幂52和33之间的整数，即方程322x

y -=仅有一组整数解()3 5，．而324x y -=有两组整数解() 22，和()5 11，

；328x y -=仅有()2 0，一组整数解．

欧拉早就指出：231y x -=仅有() 32，一组整数解(此与卡塔兰猜

想等价)；238

y x -=有三组整数解()2, 0-，()2, 4和()2, 4-；但237y x -=无整数解(形如23y

x k -=的方程称为Modell 方程，而221x dy -=称为

Pell 方程). 多面体千姿百态、种类繁多，欧拉却从中找出了它们的共性：对于(单连通面组成的)简单多面体(表面连续变形，可变为球面的多面体), 他在其顶点数V 、棱数E 和面数F 之间建立了一个等式：2V E F -+=(欧拉公式)．在众多的场合下，它是适用的(上面括号内的文字已给出公式的适用范围)．人们正是依据这一点证明了：正多面体(各个面都是全等的正多边形的几何体)仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．

此外，与它们共轭的多面体(若两多面体的棱数相同，且其中一个的顶点数和面数, 恰好是另一多面体的面数和顶点数, 则这两个多面体互称共轭)也只有5种, 它们每面的边数n和交于一点的棱数m，以及V，E，F的关系如下：

正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体)

正八面体及其共轭图形正十二面体及其共轭图形正二十面体及其共轭图形(正六面体) (正二十面体) (正十二面体)

我们也知道：平面上与单位圆(半径为1的圆)相切的单位圆最多只能有6个(它的证明不难)．有人将问题推广到空间情形．

起初(1694年), 英国天文学家格雷戈里猜测：一个单位球(半径为1的球)可与13个单位球相切, 而牛顿则认为这个数目应是12．大约260年后(1953年)，许特和范德瓦尔登给出“至多可与12个单位球相切”的论证．1956年, 利奇又给

了一个简化证明．

顺便讲一句, 上述结论与自然界的某些现象与构造是协调的．十九世纪，法国结晶学家布拉维利用群论的研究成果，确定了晶体仅有32种可能的结构(这一点已被现代科学所证实), 这种有限种类的结构已被无限的自然界所认可．

完美矩形(用规格完全不同的正方块拼成的矩形)有无穷

多种，但是阶数(即组成它的小正方形个数)最小的完美矩形(9阶)仅有两个(见下图，图中的数字表示该正方形边长)．

考虑周长一定的毕达哥拉斯三角形的个数问题. 当个数为3时，有周长是120的情形存在: 三边分别为()20, 48, 52、()45, 24, 51、()40, 30, 50的三角形都是周长为120的毕达哥拉斯三角形；当个数为4时，在周长小于6

10的情形中仅有7例，其中最小者周长为317460，三边分别为()153868 9435 154157，，、()99660 86099 131701，，、()43660 133419 140381，

，、()13260 151811 152389，

，的三角形都是周长为317460的毕达哥拉斯三角