平面向量中的三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心(baryce nter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1 : 若G为/ ABC所在平面内一点，则GA • GB • GC = 0 二G是三角形的重心

证明：设BC中点为D，则2GD二GB • GC GA GB GC = 6二-GA = GB GC

--- * ------- ・

-GA = 2GD, 这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF 上故G为厶ABC的重心

1 一——若P为ABC所在平面内一点，贝U PG (PA PB PC)

3

=G是厶ABC的重心

一i - ——一

(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC) = 0

证明：PG =彳併人PB PC)u

------ * ------------- * ------------- * —►

=GA GB GC = 0 =G是厶ABC的重心

二、垂心(orthocenter)

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3: 若H为厶ABC所在平面内一点，则HA HB二HB HC二HC HA

=H是厶ABC的垂心

证明：HAHB 二HB HC= HB (HA-HC) = 0 二

HB AC = 0= HB — AC 同理，有HA — CB,HC

一AB

故H为三角形垂心

2 2 ------------------------- 2 2 2--------------------------------------- 2 若H为丄ABC所在平面内一点，贝U HA BC = HB AC = HC AB

=H是厶ABC的垂心

2 2 ------------------------ 2 2 2 2

证明：由HA BC = HB CA 得,HA (HB- HC)2二HB (HC - HA)2

=HB HC 二HC HA

同理可证得，HA HB二HB HC二HC HA

由结论3可知命题成立

三、外心(circumcenter)

三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点

做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5:

若0是ABC所在平面内一点，贝V

|0A 二|0B| 二OCu °是厶ABC的外心

证明：由外心定义可知命题成立

结论6: 若°是上ABC所在平面内一点，

则

(OA OB) BA 二(OB OC) CB 二(OC OA) AC =O是二ABC的外心

证明：（OA OB ） BA = （OA OB ）（OA- 0B ） - |0A 2 - |OB

_ F ____________ F ______ 2

二（OB + OC ）CB = OB

四、内心（incenter ）

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的 圆心。

结论7:

若P 为厶ABC 所在平面内一点，则

AB + AC

BA * BC

（ 、

CA 丄 CB 鬧同=OB + 入 2

屈岡

=OC +、'-3

J C A

OP =OA 1

（九 >

0）

二P 是ABC 的内心

___ 2

OC

9

9

2

故O 为厶ABC 的外心

证明：记AB,AC方向上的单位向量分别为e1,e2

——）

齐= OA + *1苗+笃尸环= L（e；+忑）昶|門J_

由平行四边形法则知，（e「e2）在AB, AC边夹角平分线上

即P在.A平分线上

同理可得，P在.B,・C的平分线上

故P为厶ABC的内心

结论& 若P是厶ABC所在平面内一点，则aPA bPB cPC = 0 =P

是厶ABC的内心

证明：不妨设PD八PC

aPA bPB cPC = 0= a(PD DA) b(PD DB) cPC = 0

二( a b c)PC (aDA bDB)二0

由于PC与DA,DB不共线，则

即DA=b

DB a

a b c = 0,aDA bDB = 0

B

由角平分线定理，CD是・ACB的平分线同理可得其他的两条也是平分线故P是上ABC的内心