单摆、振动中的能量

单摆、振动中的能量

知识目标

一、单摆

1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．

2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角θ＜100．

3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

4、单摆的周期：当 l、g一定，则周期为定值 T=2πg

l，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处

的测量值。要区分摆长和摆线长。

5、小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个

振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

6、秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm.

【例1】如图为一单摆及其振动图象，回答：

（1）单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位移x（F回、a、E p）最大的时刻为．

解析：由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3crn．横坐

标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据

的时间．轴长度就是周期 T=2s，进而算出频率f=1/T=0.5Hz，

算出摆长l=gT2/4π2=1m·

从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0．5 s末和1．5s末．

（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是。势能增加且速度为正的时间范围是．

解析：图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正．且增大．A处最大，历时1/4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G．A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点．

摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1．5—2．0s间

摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从 E向G的过程．在图象中为从O到A，时间范围是0—0．5 s间．

（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（）

A ．位移；

B ．速度；

C ．加速度；

D ．动量；

E ．动能；

F ．摆线张力

解析：过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcos α＋m v 2

/L 也不变；由运动分析，相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选B 、D ．

如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的？

从（1）、（2）、（3）看出，解决此类问题的关键是把图象和实际的振动—一对应起来．

（4）当在悬点正下方O /处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且E O /＝¼E O ．则单摆周期为 s ．比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力 ．

解析：放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆线长为lm ，所以T 左=πg l =1s ：钉右侧的半个周期T 右＝π

g l 4=0．5s ，所以T ＝T 左十T 右=1．5s ． 由受力分析，张力T=mg ＋mv 2/L ，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，

挡后摆线长为挡前的1/4．所以挡后绳张力变大．

（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球过平衡位置时摆

线断了，摆球又做什么运动？

解析：问题的关键要分析在线断的时间，摆球所处的运动状态和受力情

况．在最大位移处线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体

运动．在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以做平抛运

动．

【例2】有一个单摆，其摆长l=1．02m ，摆球的质量m ＝0．1kg ，从和竖直方向成摆角θ= 40

的位置无初速度开始运动（如图所示），问：

（1）已知振动的次数n ＝30次，用了时间t ＝60．8 s ，重力加速度g 多大？

（2）摆球的最大回复力多大？

（3）摆球经过最低点时速度多大？

（4）此时悬线拉力为多大？

（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？为什么？（取sin40＝0．0698，cos40 ＝0．9976，π＝3．14）

【解析】（1）θ＜50，单摆做简谐运动，其周期T=t/n=60．8/30 s ＝2·027 s ，根据T=2g L / 得，g=4×π×1．02/2．0272=9．791 m/s 2

。

（2）最大回复力为 F 1＝mgsin4o =0．1×9．791×0．0698 N ＝0．068 N

（3）单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力，机械能守恒，其总机械能

E 等于摆球在最高处的重力势能E ，或在最低处的速度 v ＝()04cos 12-gL =0．219 m/s 。

（4）由T －mg=mv 2/L 得

悬线拉力为T=mg 十mv 2/L=0．l ×10十0．l ×0．2l92/1．02＝0．52 N

（5）秒摆的周期T=2 s ，设其摆长为L 0，根据T=2g L /π得，g 不变， 则T ∝L

即T ∶T 0=L ∶0L

故L 0= T 02L/T 2=22 ×l ．02/ 2．0272=0．993m ，

其摆长要缩短ΔL ＝L —L 0＝l ．02 m —0．993 m=0．027m

二、振动的能量

1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．

2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．

3、阻尼振动与无阻尼振动

（1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．

（2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．

注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用．

4.受迫振动

（1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．

（2)受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固

有频率无关．

5.共振

（1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振．

(2）条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率．

（3)共振曲线．如图所示．

【例3】行驶着的火车车轮，每接触到两根钢轨相接处的缝隙时，就受到一次撞击使车厢在支着它的弹簧上面振动起来．已知车厢的固有同期是0．58s ，每根钢轨的长是12．6 m ，当车厢上、下振动得最厉害时，火车的车速等于 m ／s ．

解析：该题应用共振的条件来求解．火车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就会受到一次冲击力，该力即为策动力．当策动周期T 策和弹簧与车厢的国有周期相等时，即发生共振，即 T 策＝T 固＝ 0．58 s ………① T 策=t=L/v ……②