正交投影法的定义与性质

卡尔曼滤波算法推导

⏹正交投影的定义与性质⏹算法的推导

⏹算法总结

假定x 为M ⨯1的随机矢量，z 为N ⨯1的随机矢量，它们都具有二阶矩，

如果存在一个与x 同维的矢量，满足下列三个条件：ˆx

（a ）线性性，即可用z 线性表示，ˆx

ˆ=+x Az b （b ）无偏性ˆ()()E E =x

x （c ）正交性ˆ[()]T

E -=x x z 0则称为x 在z 上的正交投影，记为ˆx ˆˆ(|)E =x

x z 1. 正交投影的定义与性质

正交投影的定义：

很显然，x 的线性最小均方估计符合以上三个条件，所以，正交投影是存在的。

反过来也可以证明，如果满足正交投影的三条性质，那么它作为x 的估计，其估计的均方误差是最小的。因此，正交投影也是唯一的。

ˆx x

z

ˆ(|)E x z ˆ(|)E

x x z 正交投影的几何解释:

1ˆ(|)()[()]

xz z E E E -=+-x z x P P z z {}[()][()]T xz E E E =--P x x z z {}[()][()]T z E E E =--P z z z z （1）其中：

（2）ˆˆ(|)(|)

E E =Ax z A x z 1212ˆˆˆ[()|](|)(|)

E E E +=+x x z x z x z 也即，如果把正交投影看作为一个算子，那这是一个线性算子。正交投影的性质：

（3）设1

[]k k k -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦z z z 111ˆˆˆ(|)(|)(|[])ˆ(|)([]){([][])}[]

k k k T T E E E

k E E k E k k k ---=+=+x z x z x z x z xz z z z 1ˆ[][]([]|)

k k k E k -=-z z z z 1ˆ(|)

k E -=-x x x z 其中证明留着习题。

z k-11ˆ[|]k E

-x z z [k]

x

1ˆ[()|]k E k -z z 1ˆ[][]([]|)k k k E k -=-z z z z ˆ(|[])E k x z ˆ[|]k E x z ˆ[|()]E k x z 1ˆ[|]

k E -=-x x x z 第三条性质的几何解释