微积分基础知识(课堂PPT)
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课程名称
绪论
微积分上
计划学时 考核形式 课堂纪律
80 考试（５学分） 作业问题
课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习
1
参考书目
＜微积分学习指导＞ ＜高等数学＞ 同济大学数学系 编（高等教育出版社）
2
主要内容
1. 基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
好了数学。
5
极限方法
1） 计算圆的周长
圆内接正n 边形
O
r
n
S3
S4
S5
Sn
2nrsin n
n 3 ,4 ,5 ,
Slni m 2nrsinnlni m 2rsinn 2r
n
6
2）切线的斜率
y
yf(x)
N
CM
o
x0
T
xx
ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
7
3)计算曲边梯形面积
3
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析 性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分 法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这 个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观
点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
15
(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
16
(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
y
函y数 f(x)
y
反 函 数xf1(y)
W
o
W
xo
D
x D
22
习惯上, yf(x),x D 的反函数记成 yf 1(x),x f(D )
y
yf(x)
oa
bx
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
8
4)无穷级数
11 1
L 24
2n
L
lim11L n2 4
1 2n
lim
1 2
(1
1 2n
)
1
n 1 1
2
9
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
f (x) 为奇函数时, 必有 f(0)0.
例如,
yf(x)exex 偶函数 2
记chx 双曲余弦
ex
y e
x
ychx
o
x
19
例1 判断函数 yf(x)lnx的 (奇1 偶性x2.) 解： f( x ) ln x (1 ( x )2 )
ln x ( 1x2)f(x)
∴ f(x)是奇函数.
例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一 个偶函数的和。
y
f (t)
2 o 2 x
2
o
2
t
周期为
周期为 2
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f(x)C 1 , 狄里克雷函数 f (x) 0,
x 为有理数
x 为无理数
21
四. 反函数
若函数 f:D f(D )为单射, 则存在逆映射
f1:f(D)D
称此映射 f 1 为 f 的反函数 .
对应法则f
(
W
y f (x0)
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
13
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
14
(2) 取整函数 y=[x]
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
17
三. 函数的几种特性
(1) 有界性
设函数 yf(x),x D ,
xD, A, B , 使 Bf(x)A
称 f (x)为有界函数. A为上界，B为下界。
(2) 单调性
x1,x2I,当x1 x2时, 若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
M{xP(x)} P（x）表示元素具有性质
10
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点a的去心 邻的 域 , 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
11
二、函数
1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，
单调增函数 ;
若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
单调减函数 .
y
x1 x2 x
18
(3) 奇偶性
xD,且有 xD,
若 f(x)f(x),则称 f (x) 为偶函数;
y百度文库
若 f( x)f(x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x)在 x = 0 有定义 , 则当 x o xx
证明：设 g ( x ) f ( x ) f ( x ) h ( x , ) f ( x ) f ( x )
显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而
故命题的证.
f(x)g(x)h(x) 2
20
(4) 周期性
x D , l 0 ,且 xlD, 若
f(x l)f(x)
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则总有
确定的数值和它对应，则称y是x的函数
记作 yf(x)
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yyf(x),xD}称为函数的 . 值域
12
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
4
因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研 教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解 基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联 系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要
培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学
绪论
微积分上
计划学时 考核形式 课堂纪律
80 考试（５学分） 作业问题
课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习
1
参考书目
＜微积分学习指导＞ ＜高等数学＞ 同济大学数学系 编（高等教育出版社）
2
主要内容
1. 基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
好了数学。
5
极限方法
1） 计算圆的周长
圆内接正n 边形
O
r
n
S3
S4
S5
Sn
2nrsin n
n 3 ,4 ,5 ,
Slni m 2nrsinnlni m 2rsinn 2r
n
6
2）切线的斜率
y
yf(x)
N
CM
o
x0
T
xx
ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
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3)计算曲边梯形面积
3
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析 性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分 法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这 个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观
点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
15
(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
16
(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
y
函y数 f(x)
y
反 函 数xf1(y)
W
o
W
xo
D
x D
22
习惯上, yf(x),x D 的反函数记成 yf 1(x),x f(D )
y
yf(x)
oa
bx
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
8
4)无穷级数
11 1
L 24
2n
L
lim11L n2 4
1 2n
lim
1 2
(1
1 2n
)
1
n 1 1
2
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第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
f (x) 为奇函数时, 必有 f(0)0.
例如,
yf(x)exex 偶函数 2
记chx 双曲余弦
ex
y e
x
ychx
o
x
19
例1 判断函数 yf(x)lnx的 (奇1 偶性x2.) 解： f( x ) ln x (1 ( x )2 )
ln x ( 1x2)f(x)
∴ f(x)是奇函数.
例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一 个偶函数的和。
y
f (t)
2 o 2 x
2
o
2
t
周期为
周期为 2
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f(x)C 1 , 狄里克雷函数 f (x) 0,
x 为有理数
x 为无理数
21
四. 反函数
若函数 f:D f(D )为单射, 则存在逆映射
f1:f(D)D
称此映射 f 1 为 f 的反函数 .
对应法则f
(
W
y f (x0)
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
13
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
14
(2) 取整函数 y=[x]
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
17
三. 函数的几种特性
(1) 有界性
设函数 yf(x),x D ,
xD, A, B , 使 Bf(x)A
称 f (x)为有界函数. A为上界，B为下界。
(2) 单调性
x1,x2I,当x1 x2时, 若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
M{xP(x)} P（x）表示元素具有性质
10
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点a的去心 邻的 域 , 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
11
二、函数
1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，
单调增函数 ;
若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
单调减函数 .
y
x1 x2 x
18
(3) 奇偶性
xD,且有 xD,
若 f(x)f(x),则称 f (x) 为偶函数;
y百度文库
若 f( x)f(x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x)在 x = 0 有定义 , 则当 x o xx
证明：设 g ( x ) f ( x ) f ( x ) h ( x , ) f ( x ) f ( x )
显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而
故命题的证.
f(x)g(x)h(x) 2
20
(4) 周期性
x D , l 0 ,且 xlD, 若
f(x l)f(x)
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则总有
确定的数值和它对应，则称y是x的函数
记作 yf(x)
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yyf(x),xD}称为函数的 . 值域
12
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
4
因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研 教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解 基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联 系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要
培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学