时间序列的讲义三

为负时，趋势向下（见图 6）。对 yt 做一阶差分， Δyt = c0 + at ，为平稳过程。随机趋
5
势非平稳过程的差分过程是平稳过程。
25 20 15 10
5 0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
180 160 140 120 100
80 60
400 450 500 550 600 650 700 750 800
对两个分解定理的比较
Wold 分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。
它是现代时间序列分析理论的灵魂，是构造 ARMA 模型拟合平稳序列的理论基
础。
Cramer 分解定理是 Wold 分解定理的理论推广，它说明任何一个序列的波动都
可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求这两
图 7 退势平稳序列（μ =0, α=0.1）
图 8 确定性趋势非平稳序列（μ =0.1, α=0.1）
（4）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过程（见图 7）。属于非 平稳过程。
yt = y0 + c0t + at
, at
~
i.i.d
(0,
σ
2 a
)
因为该过程是由确定性趋势 y0 + c0t 和平稳随机过程 at 组成，所以称为趋势平稳
确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，Δyt = c + c0t + at 。确定性趋
6
势非平稳过程的退势过程是非平稳过程， yt − c0t = c + yt−1 + at 。只有既差分又退势才
能得到平稳过程， Δyt − c0t = c + at 。
10.0 9.5
Ln(Income)
3
随机趋势模型：随机趋势模型需用差分法进行平稳化。
第二节 单位根检验
2.1 各种随机过程的表现形式
在介绍单位根检验之前，先认识一下各种随机过程的表现形式。
（1）白噪声过程（white noise，如图 1）。属于平稳过程。
yt = at
at
~
i.i.d
(0,σ
2 a
)
图 3 是日元兑美元差分序列，近似于白噪声序列。 （2）随机游走过程（random walk，如图 2）。属于非平稳过程。
迭代变换，
yt
=
yt−1 + c0
+ at ， at
~
i.i.d
(0,σ
2 a
)
t
∑ yt = y0 + c0t + ai i =1
因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势 c0t 和一个随机游走组合而成，所以
随机趋势过程由确定性时间趋势所主导，表现出很强的趋势性。 yt 围绕着 c0t 变化，
但不会回到 c0t 。趋势的方向完全由 c0 的符号决定。c0 为正时，趋势向上（见图 5）；c0
第三章 趋势模型的拟合
本章内容 1．正确理解趋势平稳和差分平稳的概念； 2．掌握不同趋势的剔出方法； 3．掌握单位根的检验方法； 4．掌握 ARIMA 模型的拟合方法。
第一节 趋势平稳与差分平稳
1.1 时间序列的分解 1. 确定性序列与随机序列的定义
对任意序列{yt }而言，令 yt 关于 q 期之前的序列值作线性回归
图 6 随机趋势非平稳序列(c = -0.1）
（3）随机趋势非平稳过程（stochastic trend process）或差分平稳过程（differencestationary process）、有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift）。见图 5 和 6。属于非平稳过程。
5. 广义的随机趋势模型 随机游动加噪声模型：
t
∑ yt = y0 + ai + ηt i =1
趋势加噪声模型：
t
∑ yt = y0 + c0t + ai + ηt i =1
广义的趋势加非规则模型：
t
∑ yt = y0 + c0t + ai + φ (B)ηt i =1
6. 趋势的剔除方法 趋势平稳模型：趋势平稳模型可以采用趋势剔除法。
yt = yt−1 + at
at
~
i.i.d
(0,
σ
2 a
)
图 2 是日元兑美元序列，近似于随机游走序列。随机游走的差分过程是平稳过程
（白噪声过程）。 Δyt = at
3 white noise
2
1
10 y=y(-1)+u
5
0
0
-1 -5
-2
-3
-10
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
过程。趋势平稳过程由确定性时间趋势 t 所主导。减去确定性时间趋势项 c0t 之后，过 程变为平稳过程，所以也称退势平稳过程。
趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程， Δyt = c0 + at − at−1 。所以应该用退势
的方法获得平稳过程， yt − c0t = y0 + at 。 （5）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）（如
方面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两方面
的影响至少有一方面是不稳定的。
1.2 趋势平稳与随机平稳 1. 趋势平稳 yt = y0 + c0t + φ(B)ηt 其中φ(B) 是平稳成分， 则{yt }是趋势平稳的。 2．随机趋势
2
t
∑ yt = y0 + c0t + ai i =1 t
9.0
8.5
8.0
7.5
7.0 55 60 65 70 75 80 85 90
图 9 对数的中国国民收入序列
14 Y
12
10
8
6
4 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
图 10 中国人口序列
图 9 是对数的中国国民收入序列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列。 图 10 是中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳序列。
2.4 ADF(Augmented Dickey-Fuller)检验 ADF 检验是利用下列方程检验单位根
p
∑ Δyt = γyt−1 + βi Δyt−i+1 + ε t i=2
9
p
∑ Δyt = c0 + γyt−1 + βi Δyt−i+1 + ε t i=2 p
7 55 60 65 70 75 80 85 90 95
2 次趋势
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
55 60 65 70 75 80 85 90 95
ADF= -4.36 < ADF(0.05) = -1.95
2.2 单位根检验注意问题
单位根检验做得不好常常会把趋势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程（隐性趋 势）和确定性趋势非平稳（显性趋势）过程。检验时间序列中是否含有单位根时常会 碰到如下几种问题：
2.3 Dickey-Fuller 检验
Dickey-Fuller 检验是利用下列方程检验单位根 Δyt = γyt−1 + ε t Δyt = c0 + γyt−1 + ε t Δyt = c0 + γyt−1 + c1t + ε t
通过检验 γ 是否等于 0 来判断是否存在单位根，若 γ = 0 ，则存在单位根，若γ ≠ 0 ， 则不存在单位根。
图 1 白噪声序列（σ2=1）
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
图 2 随机游走序列（σ2=1）
4
2
DJ P Y
1
0
-1
2200 2000 1800 1600 1400
-2
1200
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
50
对于单位根过程（差分平稳），每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷大， 其均值概念变得毫无意义；
对于趋势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引 起的对趋势的偏离只是暂时的。对趋势平稳序列，只要正确估计出其确定性趋势，即 可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。
大量的实证研究显示，不变价格的宏观经济序列为退势平稳过程的可能性远大于 名义价格的宏观经济序列。中国的 GDP、固定资产投资和居民消费等序列均为退势平 稳序列。这意味着，改革开放以来，中国的经济增长虽然因为受到各种冲击因素的影 响而出现不同程度的偏离趋势的上下波动，但这种偏离是暂时的，从较长时期来看， 经济增长总体上沿着确定的均衡增长路径平稳运行。
其中一个为确定性的，另一个为随机性的，不妨记作 xt = Vt + ξt
∞
∑ 其中： {Vt} 为确定性序列，{ξt } 随机序列，ξt = ϕ εj t− j ，它们需要满足如下 j=0
1
条件：
∞
∑ （1） ϕ0 = 1,
ϕ
2 j
<
∞
j=0
（3） E(Vt ,ε s ) = 0, ∀t ≠ s
（2）
100
150
200
250
300
图 3 日元兑美元差分序列
图 4 深圳股票综合指数
100
20
0 80
-20 60
-40
40 -60
20
-80
400 450 500 550 600 650 700 750 800
100 200 300 400 500 600 700 800
图 5 随机趋势非平稳序列（c= 0.1）
∑ 则 ai 是随机趋势成分，这时，{yt }不能通过剔除时间趋势而平稳，只能通过差 i =1
分平稳，所以{yt }是差分平稳的。 3．随机游动模型 随机游动模型： yt = yt−1 + at 4. 随机游动加漂移模型 随机游动加漂移模型： yt = yt−1 + c0 + at 可以改写为：
t
∑ yt = y0 + c0t + ai i =1
11
LNGP
7.3127+0.0677t
10
11
LNGP
7.8693+0.0014t^2
10
9
9
8
8
7 55 60 65 70 75 80 85 90 95
线性趋势
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
55 60 65 70 75 80 85 90 95
ADF= -3.05 < ADF(0.05) = -1.95
图 8）。属于非平稳过程。
yt
=
c+
Fra Baidu biblioteky t −1
+ c0t
+ at ， at
~
i.i.d
(0,
σ
2 a
)
确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。过程由 确定性时间趋势所主导。减去确定性时间趋势项之后，过程仍是非平稳过程。这种过 程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。
（4）应该注意的是当被检验过程中含有未发现的突变点时，常导致单位根检验 易于接受零假设（非平稳过程）。
（5）对于季节随机过程除了检验零频率单位根外，还要检验季节单位根（不讲）。 检验单位根通常有 3 种方法。（1）DF 检验法（Dickey-Fuller,1979）、（2）ADF
检验法、（3）PP（或 Z）检验法（Phillips,1987）。最常用的是 DF（和 ADF）检验 法。 （6）此外，上述方法均需选取合适的滞后阶数，如同单位根检验一样，滞后阶数 的选取可基于滞后系数的 t 值的显著性或 AIC 等准则。
而随机趋势过程虽然也有长期‘引力线’，但其数据生成过程含有单位根，随机 冲击对它具有持续的长期影响。只有通过差分才能使其平稳，属于差分平稳过程。
例：给出对数的中国 GDP 序列如下。无论采取线性退势，还是 2 次退势，所得 序列都是平稳序列。
7
11 LNGP
10
9
8
7 55 60 65 70 75 80 85 90 95
{ε
t
}
~
WN
(0,
σ
2 ε
)
Cramer 分解定理（1961）
任何一个时间序列{xt} 都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定
的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即 xt = μt + εt
d
∑ μt = β jt j 是确定性趋势， j=0
ε t = Ψ(B)at 是随机性影响
yt = α0 + α1 yt−q + α 2 yt−q−1 + Λ + υt
其中
{υt
}
为回归残差序列，
Var(υt
)
=
τ
2 q
。
若
lim
q→∞
τ
2 q
=
0 ，则{yt }确定性序列，
若
lim
q→∞
τ
2 q
= Var( yt ) ，则{yt }称为随机序列，
2. 时间序列的分解 Wold 分解定理（1938） 对于任何一个离散平稳过程{xt} 它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，
（1）当被检验过程的形式未知时，应该考虑到其中是否含有随机的或确定性的 时间趋势成分。
（2）被检验过程的形式通常要比 AR(1) 形式复杂，可能是高阶自回归过程或含
8
有移动平均成分。 （3）当被检验随机过程接近含有单位根但实为平稳过程（特征根小于 1，但接近
1）时，在有限样本、特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，误判 为单位根过程，即检验功效降低。