谈数学解题范例

談數學解題範例

左太政 /國立高雄師範大學數學系 單元名稱一、正整數與其數字的關係

1.設 a, b, c 為三個都不是零的數字,試問用 a, b, c 三個數字能組成若干個三位數？並說明這些三位數的和與 a, b, c 的關係。

2.試將問題 1改為四個數字、 五個數字等，其結果又如何？

3.設 a, b, c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3185, 試問這六個三位數中最大的是多少? (Ans: 763)

4.設 a, b, c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3194, 試問這六個三位數中最大的是多少? (Ans: 853)

5.114 這個數有一特點:將114 的各位數字的數字和乘以 19 就得到 114.試問是否還有這樣的三位數嗎?如果有,請找出所有這樣的三位數。你能否觀察出本問題何以需乘以 19?是否可以改為乘以其他數而有類似結果呢?

6.已知一個正整數是它本身的各位數字和的 17 倍,試求出滿足這種性質的所有數。

7.用 0, 1, 2, 3 這四個數字可組成若干個一位數、二位數、三位數與四位數,在每一個數中, 0, 1, 2, 3 只能用一次,試問這些數中 3 的倍數有多少個?

8.把 17 拆成若干個正整數的和,試問這幾個正整數的乘積最大是多少?

9.設 n 為正整數,若 n 是 3 的倍數,且 n 的每個數字正好是由1, 2, 3 中的一個數字組成(可以重複出現),試求自 1至10000 以內滿足這樣條件之不同的 n 值。 (Ans:40333132=+++)

10.有一個四位數滿足下列條件:用此四位數的末二位數(如果它的十位數字是零,就只用個位數字)去除此四位數,其商為一個完全平方數,且這個完全平方數正好是原四位數的前二位數加 1 以後的平方,試求滿足這種條件的所有四位數。 (Ans: 1805, 2304, 4802, 9801)

11.卡布列克(L. D. Kaprekar,印度數學家)怪數是類似(30+25)2 =3025 這樣的數: 即一個 2n 位數,把前 n 位數當作一個數加上這個數的後n 位數,它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。試問四位數中有那些卡布列克怪數?(能否找出所有卡布列克怪數?)

(提示:共有三組解-2025, 3025, 9801, 巴納德找出:1, 81, 52881984,60481729,試問如何求出其他位數?例如六位數只有兩個數:494209, 998001.)

【註】:對於奇數位的整數,偏前(或偏後)的斷開成兩個數,求其和後再平方正好等於

原數,仍稱為卡布列克怪數,例如

88209=(88+209)2 ,93817284=(4938+17284)2.

12.試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的平方和加上 1,例如 35=32+5 +1, 及75=7 +5 +1 等,是否還有其它解?

13.試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如 1=13,

153=13+3335+, 370, 371, 407等五個數,是否還有其它解?試說明理由。

單元名稱二、整數論問題

1.設 n 為正整數,令 S(n) 表示 n 的所有正因數的和,例如: S(1)=1, S(2)=1+2=3, S(6)=1+2+3+6=12 等,試求 S(2001) 的值並求滿足條件 s(n) ≤ 2004 的最小正整數 n.

2.設 n 為正整數,令 D(n) 表示 n 的所有正因數的平方的和,例如: D(1)=12=1,

D(2)=12+22=5, D(4)=12+22+42=21.試求滿足條件D(n) ≤ 2004 的最小正整數 n.

3.(1)、請寫出 36 的所有正因數。

(2)、將上題的所有正因數相加而另一數 A,請寫出 A 的所有正因數。

(3)、將上題的所有正因數相加而另一數 B,請寫出 B 的所有正因數。

(4)、重覆上面的步驟,繼續坐下去,請問最後的結果如何?

(5)、仿照上面的做法,請檢驗72, 220 是否有相同結果？

4.用1, 2, 3,…,9這九個數字組成一個四位數、一個三位數與一個二位數,每個數字只許用一次,使這三個所組成的數的和等於 1998.

5.把 17 拆成若干個正整數的和,試問這幾個正整數的乘積最大是多少?如何推廣至任意正整數?

單元名稱三、質數知多少

1.試求 217-1,22004-1 的末二位數字（個位數字及十位數字）。

2.試求 224036583 -1（2004 年 5 月28日 找到的第41個 Mersenne 質數,有7235733 位數，是目前已知最大的質數）的末二位數字。

3.試求 224036583 -1 被 5 去除後餘數是多少?

4.試判斷 24036583是否為質數?並說明理由。

5.能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?

6.能否將 1 到 20 這20個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數 (提示:有許多解,請至少找出三個不同的解。)

7.試證: 若2n -1 是質數, 其中n 為證整數,則 n 必為質數。

主題:費馬數與梅森尼數:

【定理 1】:設 a 為大於 1 的正整數， 若1+n a 是質數，則a 為偶數且 n 是 2 的

冪次方。

【定理 2】:設 a 為大於 1 的正整數， 若1−n a 是質數，則2=a 且 n 為質數。

由上述定理可得下列兩特殊的數：

（1）費馬數(Fermat number): 122+n

（2）梅森尼數(Mersenne number):12−p , 其中p 是質數。

8. 試求 +913 393 + 395 + 397 的末二位數。

9.自 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中選出 8個相異數字排在一個圓周上,使得任意相鄰二數之和皆為質數,排好後可以從任意兩個數字之間切開,依順時針方向讀這些八位數,試問其中可能讀到之最大數是多少?

10.已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是

637, 669, 794, 915, 919, 951, 1040, 1072, 1197,試求原來的五個數。 (提示:這五個數中任意相異的二數相加的結果可能有十個數,由題意知有 9 種可能的和,因此這五個數必相異且有三個奇偶性質相同。由此可解得這五個數分別是 256, 538, 381, 413, 659)

11.已知 61=0.1666…, 試求滿足條件 b

a =0.abb

b … 的所有異於零的數字a 與b 的值。 12.已知 a, b,

c 表示三個二位數,且 a< b< c.如果這三個數的和是偶數,且它們的乘

積是 3960, 試求a, b, c 的值。 單元名稱四： 從商高定理談起

『預備知識』:勾股定理（又稱商高定理、畢氏定理）、餘弦定理。

商高定理-「數」、「量」、「形」的連結

1.直角 ∆ABC 中, ,90°=∠C a,b 為二股長,且 c 為斜邊長,試證: a+b 2≤ c.

2.試證: 任意 n 個正方形經過適當的切割成數個圖形後,可重拼成一個大正方形,其中 n 為任意正整數。

3.直角ABC ∆中,b a ,為二股長,且c 為斜邊長,試證: ,n n n c b a <+ 其中n =3, 4, 5,…

4. ABC ∆中,三邊長分別為 c b a ,,,若n n n c b a =+ (n >2),試判斷 ABC ∆為何種三角形?

5.設 d c b a ,,, 都是正數，試證：必存在以三數 22c b +,22)(d c a ++ , 22)(d b a ++ 為三角形的三邊長，並求此三角形的面積。

6.設d c b a ,,, 為正有理數，試證：22d a +,22c b +,)(22222ab cd d c b a −++++ 中任意二數之和必大於第三數。

7.已知三角形 ABC 的三邊長是連續正整數,且最大角的度數是最小角度數的 2倍,試求此三邊長。(Ans: 4, 5, 6)