污染物扩散模型

污染物扩散模型

一、问题分析

题目要求利用马氏链模型来解决该问题.由题目条件知,要让各城市污染物浓度在无论时间有多大都要小于某一个特定值,可将各城市下一刻点污染物浓度与目前的污染物浓度表示出来,得到一个关于污染物浓度变化的递推公式,对该公式进行利用递推法可得到污染物浓度的表达式,令其小于题目中给出的特定即可实现对问题的求解.

二、模型假设

1．各城市污染物浓度仅与浓度扩散的转移概率有关.

2．扩散到给出城市之外的污染物不会再回来.

三、符号约定 ,2,,)k

)1,2,

,k 1,2,,)k 1,2,,)k 1,2,3)

四、模型建立与求解

根据题目条件可知,各城市下一刻的污染物浓度是在目前污染物浓度在各个城市之间转移后的浓度再加上这一时刻该城市污染源排出的污染物量,即

()()1c t c t Q d +=+ ⑴

其中()()()()()12,k c

t c t c t c t =为由各地区污染物浓度组成的k 维向量,()12,,k d d d d =为由排除污染物组成的k 维向量. 下面对⑴式进行递推：

由⑴式可得到

()()1c t c t Q d =-+ ⑵

()()12c t c t Q d -=-+ ⑶

将⑶式带入到⑵式中有

()()22c t c t Q dQ d =-++

同理可得

()()323c t c t Q dQ dQ d =-+++

依次类推,可得个城市污染物浓度的表达式为

()()1

0t t s s c t c Q d Q -==+∑ ⑷

将这k 个城市以及城市中的污染物看做一个系统,如果k 个城市的污染物浓度视为该系统的k 个状态,并增加一个状态0表示污染物扩散到k 个城市之外将不再回来,污染物扩散的无后效性表明可用马氏链模型描述其变化过程,那么污染物在1k +个状态间的转移矩阵可表示为

10P R Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭

其中第一行对应状态0,由污染物一旦离开这k 个城市将不会再回来可知状态0是一个吸收状态,现假设各地区均对应于非吸收状态,并且由这些状态出发最终可到达0状态,从而形成一个吸收链,由于()I Q -可逆,并且有

()

10

s s I Q Q ∞-=-=∑ 因此可得到当时间t →∞时,有0t Q →.这样在⑷式中令t →∞可得 ()()1c d I Q -∞=- ⑸

题目中给出当时间t 充分大时必有

()i i c t c *≤ ⑹

⑹式可以表示为

()i

i c c *∞≤ ⑺ 结合⑺式与⑸式有

()1d I Q c -*-≤ ⑻

由 1103311133321033Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

可以得出

()133336 4.5366I Q -⎛⎫

⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭

将上式以及()25,25,25c *=代入到⑻式中即

()33336 4.525,25,25366d ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭

⑼ ⑼式可表示为

1231231

2333325366253 4.5625d d d d d d d d d ++≤⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩

由上面的不等式组可以看出: 对于123,,0d d d ≥,只要12336625d d d ++≤就可满足题目要求. 综上知,当污染物排出量123,,d d d 满足12

336625d d d ++≤时可以时整个系统内的污染物浓度控制在给定范围之内.