摆式陀螺寻北仪步进寻北原理
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d。几乎不需要初始限幅试验和分析表明，较大的初始偏北角（例如10）并不明显的增加寻北时间和降低寻北精度；
e。测量结果的计算极为简单;
f。由于减少了寻北时间,从而大大减少了陀螺马达的温升产生的零位变化及测回之间的等待时间,也相对地提高了寻北仪的使用寿命；
g。由于步进寻北需要采用较大的K值,即可以选用较厚的悬带，为此使陀螺摆的零位稳定性提高,承载能力加大;
在新的逆转点上,摆动的动能变为0,而悬带的扭转势能达到半个周期的最大值,寻北势能达到最小值。如果此时将悬吊零位从前一个逆转点位置快速转动到新的逆转点处，将使扭转势能突然衰减为0。如果此时H轴尚未达到北向,则寻北残余势能仍然存在,摆动过程将不会立即停止下来，也不会再按原来状态摆动，而是以此点为新的逆转点开始新的继续向北的正弦摆动。
(1）
（2)
为了说明两个力矩的比例关系，定义K为扭力比
(3）
当为小角度时,上式简化为
（4)
此时K被看成是线性系数。
为此可写出力矩平衡方程
或
式中
如果令悬吊零位的度盘读数为0，则有：
3。半周期步进寻北原理
假设在某一时刻，H轴与悬吊零位重合且偏北于1角.如果是陀螺摆的摆动过程从此位置上以静止状态(此时摆系统的动能为0、悬带的扭力势能为0,而只有陀螺的指北力矩）开始，则由于陀螺指北力矩和悬带扭力的共同作用，其摆动平衡位置 将处于1与北向之间。在不考虑阻尼的情况下，H轴将对称 作正弦摆动。根据前面分析不难得出其摆动幅度公式：
如果第一次步进跟踪不在半周期的逆转点,而是提前进行，则此时步进完成后,新的摆动是在原来半周期余弦函数曲线的基础上突然加入一个新的以此位置为逆转点的余弦函数，即两个摆动的合成.两个分量具有相同的周期但是相位和摆幅不同。
不难看出，在半周期步进方法中由于多种因素的干扰，每次步进完成之后将会出现残余动能和残余势能分量干扰步进寻北过程，通常表现为步进间隔时间的改变.在四分之一周期步进方法中则是利用这种残余分量来加速衰减过程。由于在1/4周期时刻摆动的动能达到最大值，而新的动能分量的前一段（近似1/4)时间内总是向北运动的，因此只要在这个分量的逆转点之前完成第二次步进跟踪,即可大大加快步进衰减过程。
当K1时，每次步进跟踪后的剩余偏北角总是与前次的剩余偏北角分别处于真北的两侧.此时(12)式应该改写为：
而(13）式为:
应该指出的是,步进寻北过程是通过不断消除悬带扭力势能达到逐步减小摆动系统总的机械能的目的。这是一种特殊的无阻尼衰减过程.与一般的阻尼衰减过程的根本区别在于：这个过程不仅摆幅快速衰减而且悬带零位也同时逼近北向，因而是摆幅衰减和寻北运动的合成运动过程。
考虑到计时误差和跟踪过程不可能瞬时完成以及对逆转点的观测误差和各种非线性因素等等的影响，实际的步进次数往往比ip大.
图4给出了K1,1＝10，＝1时，不同K值所对应的步进寻北过程曲线。
当K＝1时，理论上一次步进跟踪即可完成寻北,但是由于K值是纬度的函数、原始逆转点的观测不可避免存在误差及步进过程不可能瞬时完成等等因素的影响,实际上难以作到一次完成寻北。但是为了使寻北过程尽可能加快，则K值的选择，也即悬带刚度的选择,应该使其在中等纬度条件下接近于1。
从理论上讲采用1/(2N)周期步进寻北是可能的.
9。步进寻北法的受扭角
限制悬带受扭角是保证悬挂零位稳定性的重要措施之一。而减小受扭角又与扩大初始偏北角、减少步进次数等要求相互矛盾。
理论上，增加步进次数可能加快寻北过程，但是步进次数过多时会因为步作操作误差的积累形成在最后的寻北误差.
在给定最大初始偏北角（如20）和最大允许的悬带受扭角后，可近似计算出在中纬度下,需要的K值，半周期的步进次数N。
当K=2时，步进三次，即经过3/4周期，陀螺H轴正好停在北向。
必须指出，为了实现1/4周期步进寻北，K值必须大于等于2，否则将会出现发散运动。Gyromat2000的K=2.42可能采用1/4周期步进粗寻北以保证在常用纬度下K≧2
由于1/4周期步进寻北方法不易控制，因此通常只用于实现快速粗寻北过程.
由于上述步进过程摆系统的总机械能变小，所以新的摆动将有更小的的摆动幅度。再经过半个周期,又达到下一个逆转点A2，此时的偏北角为：
当给定允许的剩余偏北角N时，对应于不同的初始偏北角1，则可计算出所需最少的步进次数i.因为
则当K1时有
由于步进次数i只能取正整数，所以实际的步进次数应该取大于i的最小整数ip。
假设最后两个逆转点读数分别为则根据以前剖析可列出如下方程上式指出真北推算除去需要最后两个逆转点读数之外还需要给由于计时误差逆转点对准误差步进跟踪速度限制以及不可避免存在各种干扰等因素影响将使步进过程不会是理想过程致使逆转点之间间隔时间与理论周期不完全一致特别是最后阶段此时可用逆转点观测代替半周期计时
4.真北方位的确定
一般情况下，如果衰减后的摆幅小于给定的允许误差之后，即可把最后的微小摆动区作为真北方位。MW50寻北仪即采用这个方法。
实际上，真北方位可以根据最后两个逆转点的读数推算出：
假设最后两个逆转点的读数分别为 和 ，则根据以前的分析可列出如下方程
上式指出，真北的推算除去需要最后两个逆转点读数之外，还需要给出K值。
文献1只对步进寻北方法的操作作了简单说明，而文献2只给出了大刚度悬带条件下即扭力比K1的步进寻北过程曲线.均未提到K1条件下寻北测量方法、初始偏北角与步进次数的关系及理论真北的计算方法，也没有给出具有明显物理意义的寻北运动方程。
本文对其寻北过程的本质作了明确的解释，从简单的物理过程出发推导了包括K1在内的各关系式，其正确性已通过大量试验进行了证明，并成功地用于TJ－76和TDJ—83（西安101厂生产，目前可能已经改型了）陀螺经纬仪。
为了测得这个平衡位置可以有许多不同的方法，如逆转点方法、时差方法、力反馈方法、循环阻尼方法等等。
1977年西德学者H. Rymarczyk提出一种新的寻北方法－“叠代步进”寻北方法（1），以下简称“步进”寻北方法。此方法曾经被用于西德矿山测绘所研制的MW50手动测量寻北仪。
在高精度MW77（Gyromat2000的前身）陀螺寻北仪中,由于测量摆动的线性光电传感器的敏区有限，在初始架设时如果陀螺H轴偏离北向比较大时，陀螺摆动的平衡位置可能偏离光电传感器的敏区（或者形成切割）,因而无法完成光电自动积分测量。采用步进”寻北可以完成快速粗寻北,将陀螺房的摆动收敛到光电传感器的敏区之内。此过程在MW77是手动完成而Gyromat2000则是自动完成。
摆式陀螺寻北仪步进寻北法
1982．10．
1前言
悬挂摆式陀螺寻北仪是目前使用最广的一种寻北系统.它能在几十分钟到几分钟内准确地测定出天文北，而不需要观测天星或地面目标。仪器的主要部分是一个用恒弹性金属悬带自由悬吊着的陀螺房，其内部装有高速旋转的陀螺马达，马达的转轴即H轴呈水平放置。由于陀螺房的悬挂点在其重心下部，因而构成一个能敏感地球自转角速度水平分量的陀螺摆，在地球自转运动的作用下水平状态的H轴将绕铅垂方向作正弦摆动.当悬带不受扭时(通常可以通过上悬带夹跟踪方法消除其扭力影响），H轴摆动的平衡位置即为真北方位。
2步进寻北原理
为了说明步进寻北法的原理，我们先分析一下陀螺摆在悬带受扭条件下的运动,然后介绍步进衰减的寻北过程.为简便起见，假设仪器常数为0.
2。1.陀螺摆在平衡位置上的力平衡方程和扭力比
假设在陀螺马达不启动条件下，悬带的自由零位方向B正好使陀螺H轴与真北重合。在陀螺马达启动后将上悬带夹转动角，也即使B转动角，如图1。此时由于悬带扭矩 使H轴偏离真北方位，与此同时由于地球自转的作用,陀螺本身出现一个力图返回北向的指北力矩 。在平衡位置上两个力矩大小相等方向相反。平衡位置R应该在真北和B之间。
在经过半个受扭周期之后,H轴将达到摆动的逆转点也即一个新的静止点A1。显然，新的逆转点已经从原始静止点1转过了两倍摆幅大小的角度，此时H轴的偏北角将是2：
上式可见，当K=1时，2=0，这就意味着，在在摆动半个受扭周期后,H轴达到的摆动逆转点正好是北向.当K＜1时,2＜0，表明新的逆转点越过北向，当K＞1时，2＜0，表明新的逆转点未越过北向。无论K1还是K1，新的逆转点总会比前一个逆转点(后静止点）更接近北。
b。操作方便步进寻北测量过程中不需要注视陀螺摆的摆动过程（除非在最后阶段使用逆转点观测),更不需要进行连续跟踪，只需在等待半个周期时快速完成一次跟踪对准。除去最后两个逆转点需要读数之外，其余逆转点是不必读数的。此外，由于不需要连续跟踪,所以读数时间充分;
c。人为误差减小由于不需要连续跟踪和紧张的读数，操纵者对陀螺摆的干扰大大减小并且可以大大降低对操作手技术水平的要求；
必须指出，大初始偏北角情况下，陀螺摆的最初的摆动运动方程将存在非线性，主要表现为摆动周期加长，因此前面的计算结果将出现一定误差。
式中Tபைடு நூலகம்陀螺摆的受扭周期。
每一段余弦函数都有不同的摆动幅值,第t秒时刻对应的幅值
而每一段余弦曲线终止处的偏北角为为
第t秒时刻H轴的偏北角为
当K1时,步进寻北过程曲线在1，2象限和3，4象限之间变动，因此有：
当K＝1时,步进寻北过程曲线只有0－一段余弦函数:
6.关于摆动周期和K值的计算
如果在纬度为 的某个地点准确标定出仪器的受扭周期 和 则在任意纬度处即可按下式求得当地的 和
其中当地给定精度在0。1，T的标定精度可在0.5S即可。
7。步进寻北方法的特点
与传统的逆转点跟踪测量方法相比，步进寻北方法有如下特点：
a.寻北测量时间短这是因为测量是在悬带受扭条件下进行的，而陀螺摆的受扭周期总是比统的逆转点跟踪测量的不受扭周期短；步进寻北测量一般只需2～3个受扭摆动周期即可完成，而传统的逆转点跟踪测量需要3～4个不受扭周期。
f。但是，由于是受扭状态下工作,在初始偏北角较大时,悬带将承受相当大的受扭角,使悬带的弹性后效较大又不利于零位稳定.
8。关于四分之一周期步进寻北方法的说明
半周期步进寻北方法的缺点是悬带受扭角大，为了减小受扭角就必须加大扭力比K。但是加大K值将使步进次数增加，也就增加了寻北时间。为此，文献1还提出一种更快的步进方法，它是在大约四分之一周期的等待时间后进行一次步进跟踪，从而加快步进衰减过程并且减小悬带的最大受扭角以提高悬带的稳定性。
由于计时误差、逆转点对准误差、步进跟踪速度的限制以及不可避免的存在各种干扰等因素的影响，将使步进过程不会是理想过程，致使逆转点之间的间隔时间与理论周期不完全一致，特别是最后阶段的,此时可用逆转点观测代替半周期计时.
5半周期步进寻北过程的运动方程
以上分析指出，步进寻北过程曲线是由不同起点和不同幅值的余弦函数串接而成。当K1时，各段余弦函数总是取1，2象限，此函数可表示为：
e。测量结果的计算极为简单;
f。由于减少了寻北时间,从而大大减少了陀螺马达的温升产生的零位变化及测回之间的等待时间,也相对地提高了寻北仪的使用寿命；
g。由于步进寻北需要采用较大的K值,即可以选用较厚的悬带，为此使陀螺摆的零位稳定性提高,承载能力加大;
在新的逆转点上,摆动的动能变为0,而悬带的扭转势能达到半个周期的最大值,寻北势能达到最小值。如果此时将悬吊零位从前一个逆转点位置快速转动到新的逆转点处，将使扭转势能突然衰减为0。如果此时H轴尚未达到北向,则寻北残余势能仍然存在,摆动过程将不会立即停止下来，也不会再按原来状态摆动，而是以此点为新的逆转点开始新的继续向北的正弦摆动。
(1）
（2)
为了说明两个力矩的比例关系，定义K为扭力比
(3）
当为小角度时,上式简化为
（4)
此时K被看成是线性系数。
为此可写出力矩平衡方程
或
式中
如果令悬吊零位的度盘读数为0，则有：
3。半周期步进寻北原理
假设在某一时刻，H轴与悬吊零位重合且偏北于1角.如果是陀螺摆的摆动过程从此位置上以静止状态(此时摆系统的动能为0、悬带的扭力势能为0,而只有陀螺的指北力矩）开始，则由于陀螺指北力矩和悬带扭力的共同作用，其摆动平衡位置 将处于1与北向之间。在不考虑阻尼的情况下，H轴将对称 作正弦摆动。根据前面分析不难得出其摆动幅度公式：
如果第一次步进跟踪不在半周期的逆转点,而是提前进行，则此时步进完成后,新的摆动是在原来半周期余弦函数曲线的基础上突然加入一个新的以此位置为逆转点的余弦函数，即两个摆动的合成.两个分量具有相同的周期但是相位和摆幅不同。
不难看出，在半周期步进方法中由于多种因素的干扰，每次步进完成之后将会出现残余动能和残余势能分量干扰步进寻北过程，通常表现为步进间隔时间的改变.在四分之一周期步进方法中则是利用这种残余分量来加速衰减过程。由于在1/4周期时刻摆动的动能达到最大值，而新的动能分量的前一段（近似1/4)时间内总是向北运动的，因此只要在这个分量的逆转点之前完成第二次步进跟踪,即可大大加快步进衰减过程。
当K1时，每次步进跟踪后的剩余偏北角总是与前次的剩余偏北角分别处于真北的两侧.此时(12)式应该改写为：
而(13）式为:
应该指出的是,步进寻北过程是通过不断消除悬带扭力势能达到逐步减小摆动系统总的机械能的目的。这是一种特殊的无阻尼衰减过程.与一般的阻尼衰减过程的根本区别在于：这个过程不仅摆幅快速衰减而且悬带零位也同时逼近北向，因而是摆幅衰减和寻北运动的合成运动过程。
考虑到计时误差和跟踪过程不可能瞬时完成以及对逆转点的观测误差和各种非线性因素等等的影响，实际的步进次数往往比ip大.
图4给出了K1,1＝10，＝1时，不同K值所对应的步进寻北过程曲线。
当K＝1时，理论上一次步进跟踪即可完成寻北,但是由于K值是纬度的函数、原始逆转点的观测不可避免存在误差及步进过程不可能瞬时完成等等因素的影响,实际上难以作到一次完成寻北。但是为了使寻北过程尽可能加快，则K值的选择，也即悬带刚度的选择,应该使其在中等纬度条件下接近于1。
从理论上讲采用1/(2N)周期步进寻北是可能的.
9。步进寻北法的受扭角
限制悬带受扭角是保证悬挂零位稳定性的重要措施之一。而减小受扭角又与扩大初始偏北角、减少步进次数等要求相互矛盾。
理论上，增加步进次数可能加快寻北过程，但是步进次数过多时会因为步作操作误差的积累形成在最后的寻北误差.
在给定最大初始偏北角（如20）和最大允许的悬带受扭角后，可近似计算出在中纬度下,需要的K值，半周期的步进次数N。
当K=2时，步进三次，即经过3/4周期，陀螺H轴正好停在北向。
必须指出，为了实现1/4周期步进寻北，K值必须大于等于2，否则将会出现发散运动。Gyromat2000的K=2.42可能采用1/4周期步进粗寻北以保证在常用纬度下K≧2
由于1/4周期步进寻北方法不易控制，因此通常只用于实现快速粗寻北过程.
由于上述步进过程摆系统的总机械能变小，所以新的摆动将有更小的的摆动幅度。再经过半个周期,又达到下一个逆转点A2，此时的偏北角为：
当给定允许的剩余偏北角N时，对应于不同的初始偏北角1，则可计算出所需最少的步进次数i.因为
则当K1时有
由于步进次数i只能取正整数，所以实际的步进次数应该取大于i的最小整数ip。
假设最后两个逆转点读数分别为则根据以前剖析可列出如下方程上式指出真北推算除去需要最后两个逆转点读数之外还需要给由于计时误差逆转点对准误差步进跟踪速度限制以及不可避免存在各种干扰等因素影响将使步进过程不会是理想过程致使逆转点之间间隔时间与理论周期不完全一致特别是最后阶段此时可用逆转点观测代替半周期计时
4.真北方位的确定
一般情况下，如果衰减后的摆幅小于给定的允许误差之后，即可把最后的微小摆动区作为真北方位。MW50寻北仪即采用这个方法。
实际上，真北方位可以根据最后两个逆转点的读数推算出：
假设最后两个逆转点的读数分别为 和 ，则根据以前的分析可列出如下方程
上式指出，真北的推算除去需要最后两个逆转点读数之外，还需要给出K值。
文献1只对步进寻北方法的操作作了简单说明，而文献2只给出了大刚度悬带条件下即扭力比K1的步进寻北过程曲线.均未提到K1条件下寻北测量方法、初始偏北角与步进次数的关系及理论真北的计算方法，也没有给出具有明显物理意义的寻北运动方程。
本文对其寻北过程的本质作了明确的解释，从简单的物理过程出发推导了包括K1在内的各关系式，其正确性已通过大量试验进行了证明，并成功地用于TJ－76和TDJ—83（西安101厂生产，目前可能已经改型了）陀螺经纬仪。
为了测得这个平衡位置可以有许多不同的方法，如逆转点方法、时差方法、力反馈方法、循环阻尼方法等等。
1977年西德学者H. Rymarczyk提出一种新的寻北方法－“叠代步进”寻北方法（1），以下简称“步进”寻北方法。此方法曾经被用于西德矿山测绘所研制的MW50手动测量寻北仪。
在高精度MW77（Gyromat2000的前身）陀螺寻北仪中,由于测量摆动的线性光电传感器的敏区有限，在初始架设时如果陀螺H轴偏离北向比较大时，陀螺摆动的平衡位置可能偏离光电传感器的敏区（或者形成切割）,因而无法完成光电自动积分测量。采用步进”寻北可以完成快速粗寻北,将陀螺房的摆动收敛到光电传感器的敏区之内。此过程在MW77是手动完成而Gyromat2000则是自动完成。
摆式陀螺寻北仪步进寻北法
1982．10．
1前言
悬挂摆式陀螺寻北仪是目前使用最广的一种寻北系统.它能在几十分钟到几分钟内准确地测定出天文北，而不需要观测天星或地面目标。仪器的主要部分是一个用恒弹性金属悬带自由悬吊着的陀螺房，其内部装有高速旋转的陀螺马达，马达的转轴即H轴呈水平放置。由于陀螺房的悬挂点在其重心下部，因而构成一个能敏感地球自转角速度水平分量的陀螺摆，在地球自转运动的作用下水平状态的H轴将绕铅垂方向作正弦摆动.当悬带不受扭时(通常可以通过上悬带夹跟踪方法消除其扭力影响），H轴摆动的平衡位置即为真北方位。
2步进寻北原理
为了说明步进寻北法的原理，我们先分析一下陀螺摆在悬带受扭条件下的运动,然后介绍步进衰减的寻北过程.为简便起见，假设仪器常数为0.
2。1.陀螺摆在平衡位置上的力平衡方程和扭力比
假设在陀螺马达不启动条件下，悬带的自由零位方向B正好使陀螺H轴与真北重合。在陀螺马达启动后将上悬带夹转动角，也即使B转动角，如图1。此时由于悬带扭矩 使H轴偏离真北方位，与此同时由于地球自转的作用,陀螺本身出现一个力图返回北向的指北力矩 。在平衡位置上两个力矩大小相等方向相反。平衡位置R应该在真北和B之间。
在经过半个受扭周期之后,H轴将达到摆动的逆转点也即一个新的静止点A1。显然，新的逆转点已经从原始静止点1转过了两倍摆幅大小的角度，此时H轴的偏北角将是2：
上式可见，当K=1时，2=0，这就意味着，在在摆动半个受扭周期后,H轴达到的摆动逆转点正好是北向.当K＜1时,2＜0，表明新的逆转点越过北向，当K＞1时，2＜0，表明新的逆转点未越过北向。无论K1还是K1，新的逆转点总会比前一个逆转点(后静止点）更接近北。
b。操作方便步进寻北测量过程中不需要注视陀螺摆的摆动过程（除非在最后阶段使用逆转点观测),更不需要进行连续跟踪，只需在等待半个周期时快速完成一次跟踪对准。除去最后两个逆转点需要读数之外，其余逆转点是不必读数的。此外，由于不需要连续跟踪,所以读数时间充分;
c。人为误差减小由于不需要连续跟踪和紧张的读数，操纵者对陀螺摆的干扰大大减小并且可以大大降低对操作手技术水平的要求；
必须指出，大初始偏北角情况下，陀螺摆的最初的摆动运动方程将存在非线性，主要表现为摆动周期加长，因此前面的计算结果将出现一定误差。
式中Tபைடு நூலகம்陀螺摆的受扭周期。
每一段余弦函数都有不同的摆动幅值,第t秒时刻对应的幅值
而每一段余弦曲线终止处的偏北角为为
第t秒时刻H轴的偏北角为
当K1时,步进寻北过程曲线在1，2象限和3，4象限之间变动，因此有：
当K＝1时,步进寻北过程曲线只有0－一段余弦函数:
6.关于摆动周期和K值的计算
如果在纬度为 的某个地点准确标定出仪器的受扭周期 和 则在任意纬度处即可按下式求得当地的 和
其中当地给定精度在0。1，T的标定精度可在0.5S即可。
7。步进寻北方法的特点
与传统的逆转点跟踪测量方法相比，步进寻北方法有如下特点：
a.寻北测量时间短这是因为测量是在悬带受扭条件下进行的，而陀螺摆的受扭周期总是比统的逆转点跟踪测量的不受扭周期短；步进寻北测量一般只需2～3个受扭摆动周期即可完成，而传统的逆转点跟踪测量需要3～4个不受扭周期。
f。但是，由于是受扭状态下工作,在初始偏北角较大时,悬带将承受相当大的受扭角,使悬带的弹性后效较大又不利于零位稳定.
8。关于四分之一周期步进寻北方法的说明
半周期步进寻北方法的缺点是悬带受扭角大，为了减小受扭角就必须加大扭力比K。但是加大K值将使步进次数增加，也就增加了寻北时间。为此，文献1还提出一种更快的步进方法，它是在大约四分之一周期的等待时间后进行一次步进跟踪，从而加快步进衰减过程并且减小悬带的最大受扭角以提高悬带的稳定性。
由于计时误差、逆转点对准误差、步进跟踪速度的限制以及不可避免的存在各种干扰等因素的影响，将使步进过程不会是理想过程，致使逆转点之间的间隔时间与理论周期不完全一致，特别是最后阶段的,此时可用逆转点观测代替半周期计时.
5半周期步进寻北过程的运动方程
以上分析指出，步进寻北过程曲线是由不同起点和不同幅值的余弦函数串接而成。当K1时，各段余弦函数总是取1，2象限，此函数可表示为：