两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)

两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)

一．【学习目标】

1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；

2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.

二．重点、难点、易错（混）点、常考点

灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值

三．【知识梳理】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形

tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=

由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

2:sin 2

S ________________；2:tan 2

T ________________。

2:cos 2

C ________________=________________=________________；

四．【基础题达标】 1．12

cos

312

sin

π

π

-=

2．sin15°sin30°sin75°＝__________．

3．cos20°cos40°cos60°cos80° =

4．),0(πθ∈，

θθsin 1sin 1--+=

5.

313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12

cos

312

sin

π

π

-=

7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若5

1

cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =

x x 且2

4π

π<

θθsin 1sin 1--+=

11．函数)(2cos 2

1

cos )(R x x x x f ∈-

=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-α

α2cos 2sin 1

13．

50tan 10tan 350tan 10tan ++=

14．化简：

15

tan 115tan 1-+=

15．已知cos （6π

α-

）+sin α76

)π

α+的值是

考点一： 运用公式求值、求角问题

【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－1

3

，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19

，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2

3，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－3

5

，求sin2α的值

(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7

，求2α－β的值．

【训练1】已知βα,是锐角且10

10sin ,55sin ==

βα，求βα+

【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π

12的值为________．

考点二： 公式的变形应用

【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。 求证：αsin 3=)2sin(βα+

【训练1】若13

cos(),cos()55

αβαβ+=-=，求tan tan αβ=

【训练2】已知βα,均为锐角且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan

【训练3】若3

1

)sin(,21)sin(=-=+βαβα。则βαtan tan =

【训练4】已知,αβ为锐角，且11

sin sin ,cos cos 23

αβαβ-=--=，则cos()αβ-=

考点三： 应用公式化为一个角的三角函数，研究最值、值域问题

【例3】已知向量1),1,3(),cos ,(sin =⋅-==n m n A A m ，且A 为锐角

（1）求角A 的大小

（2）求函数)(sin cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域。

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】

1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．

3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．

六、课后反思

（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：

两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)

一．【学习目标】

1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；