两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)

两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)
一．【学习目标】
1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；
2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.
二．重点、难点、易错（混）点、常考点
灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值
三．【知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形
tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=
由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2:sin 2
S ________________；2:tan 2
T ________________。

2:cos 2
C ________________=________________=________________；
四．【基础题达标】 1．12
cos
312
sin
π
π
-=
2．sin15°sin30°sin75°＝__________．
3．cos20°cos40°cos60°cos80° =
4．),0(πθ∈，
θθsin 1sin 1--+=
5.
313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12
cos
312
sin
π
π
-=
7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若5
1
cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =
x x 且2
4π
π<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，
θθsin 1sin 1--+=
11．函数)(2cos 2
1
cos )(R x x x x f ∈-
=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-α
α2cos 2sin 1
13．
50tan 10tan 350tan 10tan ++=
14．化简：
15
tan 115tan 1-+=
15．已知cos （6π
α-
）+sin α76
)π
α+的值是
考点一： 运用公式求值、求角问题
【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－1
3
，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－3
5
，求sin2α的值
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
【训练1】已知βα,是锐角且10
10sin ,55sin ==
βα，求βα+
【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
12的值为________．
考点二： 公式的变形应用
【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。

求证：αsin 3=)2sin(βα+
【训练1】若13
cos(),cos()55
αβαβ+=-=，求tan tan αβ=
【训练2】已知βα,均为锐角且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan
【训练3】若3
1
)sin(,21)sin(=-=+βαβα。

则βαtan tan =
【训练4】已知,αβ为锐角，且11
sin sin ,cos cos 23
αβαβ-=--=，则cos()αβ-=
考点三： 应用公式化为一个角的三角函数，研究最值、值域问题
【例3】已知向量1),1,3(),cos ,(sin =⋅-==n m n A A m ，且A 为锐角
（1）求角A 的大小
（2）求函数)(sin cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域。

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．
六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：
（2）本节课我重新认识了哪些道理：
（3）本节课学习中还存在哪些不足：
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)
一．【学习目标】
1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；
2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.
二．重点、难点、易错（混）点、常考点
灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值
三．【知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形
tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=
由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2:sin 2
S ________________；2:tan 2
T ________________。

2:cos 2
C ________________=________________=________________；
四．【基础题达标】 1．12
cos
312
sin
π
π
-=
2．sin15°sin30°sin75°＝__________．
3．cos20°cos40°cos60°cos80° =
4．),0(πθ∈，
θθsin 1sin 1--+=
5.
313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12
cos
312
sin
π
π
-=
7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若5
1
cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =
x x 且2
4π
π<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，
θθsin 1sin 1--+=
11．函数)(2cos 2
1
cos )(R x x x x f ∈-
=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-α
α2cos 2sin 1
13．
50tan 10tan 350tan 10tan ++=
14．化简：
15tan 115tan 1-+=
15．已知cos （6π
α-
）+sin α76
)π
α+的值是
考点一： 运用公式求值、求角问题
【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－1
3
，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－3
5
，求sin2α的值
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
规律揭示：(1) 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角
来利用所给条件．常见的变角技巧有：α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β；α＝(α－β)＋β等；π4＋α＝π
2
－⎝⎛⎭
⎫π4－α；15°＝45°－30°等． (2)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(3)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦
函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π
2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2，选正弦较好． 【训练1】已知βα,是锐角且10
10sin ,55sin ==βα，求βα+
【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
12的值为________．
考点二： 公式的变形应用
【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。

求证：αsin 3=)2sin(βα+
【训练1】若13
cos(),cos()55
αβαβ+=-=，.则tan tan αβ=
【训练2】已知βα,均为锐角且)sin()cos(
βαβα-=+，则=αtan
【训练3】若3
1
)sin(,21)sin(=-=+βαβα。

则βαtan tan =
【训练4】已知,αβ为锐角，且11
sin sin ,cos cos 23
αβαβ-=--=，则cos()αβ-=
考点三： 应用公式化为一个角的三角函数，研究最值、值域问题
【例3】已知向量1),1,3(),cos ,(sin =⋅-==n m n A A m ，且A 为锐角
（1）求角A 的大小
（2）求函数)(sin cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域。

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．
六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：
（2）本节课我重新认识了哪些道理：
（3）本节课学习中还存在哪些不足：。