2016中考数学相似三角形压轴题(可编辑修改word版)

相似三角形中考压轴试题
一、选择题
1.（2014 年江苏宿迁3 分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二、填空题
1.（2015 贺州）如图，在△A BC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B、C 重合），∠ADE=∠B=∠α，
3
DE 交AB 于点E，且tan∠α= ．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9 时，△ACD 与△DBE 全
4
21 24
等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12 或；④0＜BE≤，其中正确的结论是（填入正确
4 5
结论的序号）．
三、解答题
1. （2014 年福建三明14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4 与x 轴的一个交点为A（﹣2，0），与y 轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M，与x 轴交于点N，当以B，C，M，N 为顶点的四边形
是平行四边形时，求出点M 的坐标；
（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
2. （2014 年湖北十堰12 分）已知抛物线C ：y=a(x+1)2-2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．
1
（1）求A 点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2 个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB 相交于C，D 两点，求S△OAC：S△OAD 的值；
（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E 在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m 过点C 和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m 与x 轴围成的三角形和直线l，m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式；若不存在，说明理由．
3.（2014 年湖南郴州10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D，BE=1cm．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN 为边在BC 的上方作正方形MNGH．点M 到达点D 时停止运动，点N 到达点C 时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t 为何值时，点G 刚好落在线段AD 上？
（2）设正方形MNGH 与Rt△ABC 重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S 关于t 的函数关系式并写出自变量t 的取值范围．
（3）设正方形MNGH 的边NG 所在直线与线段AC 交于点P，连接DP，当t 为何值时，△CPD 是等腰三角形？
4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3m（）其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2 时，点P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；
（3）如图②，当m 取何值时，以A、D、C 为顶点的三角形与△BOC 相似？
5.（2014 年湖南益阳12 分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP=x．
（1）求AD 的长；
（2）点P 在运动过程中，是否存在以A、P、D 为顶点的三角形与以P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S 的最小值．
6.（2014 年内蒙古呼伦贝尔13 分）以AB 为直径作半圆O，AB=10，点C 是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC 至点D，使DC=BC，过点D 作DE⊥AB 于点E，交AC 于点F，在点C 运动过程中：
（1）如图1，当点E 与点O 重合时，连接OC，试判断△COB 的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，当DE=8 时，求线段EF 的长；
（3）当点E 在线段OA 上时，是否存在以点E、O、F 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出此时线段OE 的长；若不存在，请说明理由．
3
7.（2014 年ft东日照14 分）如图1，在菱形OABC 中，已知OA= 2 ，∠AOC=60°，抛物线y=ax2+bx +c（a≠0）经过O，C，B 三点．
（1）求出点B、C 的坐标并求抛物线的解析式．
（2）如图2，点E 是AC 的中点，点F 是AB 的中点，直线AG 垂直BC 于点G，点P 在直线AG 上．
①当OP+PC 的最小值时，求出点P 的坐标；
②在①的条件下，连接PE、PF、EF 得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C 为顶点的三角形与△PEF 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
8. （2014 年ft东威海12 分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E 为抛物线上一动点，是否存在点E 使以A、B、E 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC 平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA 的度数．
9. （2014 年宁夏区10 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，P 是BC 边上不同于B、C 的一动点，过P 作PQ⊥AB, 垂足为Q，连接AP．
（1）试说明不论点P 在BC 边上何处时，都有△PBQ 与△ABC 相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP 为何值时，△AQP 面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC 中，两条直角边BC、AC 满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使Rt△AOP 既与Rt△ACP 全等，也与Rt△BQP 全等．
10．（2014 年新疆区、兵团12 分）如图，直线y=-4
x+8与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，动点P 从A 3
点出发，以每秒2 个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒1 个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（（s）0＜t≤3）．
（1）写出A，B 两点的坐标；
（2）设△AQP 的面积为S，试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时，△AQP 的面积最大？（3）当t 为何值时，以点A，P，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，并直接写出此时点Q 的坐标．
2
11．（2014 年新疆乌鲁木齐14 分）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD 的顶点A、B 在x 轴上，连接OD、BD、△BOD 的外心I 在中线BF 上，BF 与AD 交于点E．
（1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B 的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF 的对称点在x 轴上？若有，求出点P 的坐标；（4）连接OE，若点M 是直线BF 上的一动点，且△BMD 与△OED 相似，求点M 的坐标．
12．（2014 年云南省9 分）已知如图平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D 在y 轴上，且点D 的坐标为（0，﹣5），点P 是直线AC 上的一动点．
（1）当点P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式（关系式）；
（2）当点P 沿直线AC 移动时，过点D、P 的直线与x 轴交于点M．问在x 轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点M？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动
圆P 的半径长为AC
，过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E、F．请探求在动圆P 中是否存2
在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S 的值；若不存在，请说明理由．
13．（2014 年浙江湖州12 分）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N，点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF 交y 轴于点E，设点F 运动的时间是t 秒（t＞0）
（1）若点E 在y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F 运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a 的代数式表示b；
（3）作点F 关于点M 的对称点F′，经过M、E 和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．
14. （2013 年ft东日照14 分）已知，如图(a)，抛物线y = ax2 + bx + c 经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E、F，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N。

∠ONE=30°，
x 1 - x
2
= 8 。

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP 与△ADB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b）,点Q 为E
BF 上的动点（Q 不与E、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H，问：AH·AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

15. （2013 年贵州黔西南16 分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C （1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D
的坐标．
（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
16. （2013 年福建南平14 分）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．
（1）求直线AB 的函数解析式；
（2）已知点M 是线段AB 上一动点（不与点A、B 重合），以M 为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n 与线段OA 交于点C．
①求线段AC 的长；（用含m 的式子表示）
②是否存在某一时刻，使得△ACM 与△AMO 相似？若存在，求出此时m 的值．
17.（2013 年云南曲靖12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4 与坐标轴分别交于A、B 两点，过A、B 两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4 时，求四边形CAEB 的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求此点D 坐标；若不存在，说明理由．
18.（2013 年云南红河9 分）如图，抛物线y=﹣x2+4 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D，交直线BC 于点E．
（1）求点A、B、C 的坐标和直线BC 的解析式；
2 （2） 求△ODE 面积的最大值及相应的点 E 的坐标；
（3） 是否存在以点 P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．
19. （2013 年新疆乌鲁木齐 14 分）如图．在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 ABCD 的顶点 A 、B
在 x 轴上，连接 OD 、BD 、△BOD 的外心 I 在中线 BF 上，BF 与 AD 交于点 E ．
（1） 求证：△OAD ≌△EAB ；
（2） 求过点 O 、E 、B 的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3） 在（2）中的抛物线上是否存在点 P ，其关于直线 BF 的对称点在 x 轴上？若有，求出点 P 的坐标；
（4） 连接 OE ，若点 M 是直线 BF 上的一动点，且△BMD 与△OED 相似，求点 M 的坐标．
20.（2013 年广西百色 10 分）如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D ，直径 AB 左侧的半圆上有一点动点 E （不与点 A 、B 重合），连结 EB 、ED 。

（1） 如果∠CBD ＝∠E ，求证：BC 是⊙O 的切线；
（2） 当点 E 运动到什么位置时，△EDB ≌△ABD ，并给予证明；
（3） 若 tanE ＝
，BC ＝ 3 ，求阴影部分的面积。

（计算结果精确到 0.1) 3
(参考数值：π≈3.14, ≈1.41， ≈1.73)
21. （ 2013 年广西贵港 11 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax 2+bx+c 交 y 轴于点 C （0，4），对称轴 x=2 与 x 轴交于点 D ，顶点为 M ，且 DM=OC+OD ．
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 设点 P （x ，y ）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD 的面积为 S ，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3） 在（2）的条件下，若经过点 P 的直线 PE 与 y 轴交于点 E ，是否存在以 O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD 全等？若存在，请求出直线 PE 的解析式；若不存在，请说明理由．
22. （2015 福建漳州）如图，在 OABC 中，点 A 在 x 轴上，∠AOC=60o ，OC= 4cm ．OA=8cm ．动点 P 从点 O 出发， 以 1 c m ／ s 的速度沿线段 O A → A B 运动； 动点 Q 同时从点 O 出发， 以a c m ／ s 的速度沿线段 O C → C B 运动， 其中一点先到达终点 B 时， 另一点也随之停止运动． 3 4 3 2 3
设运动时间为t 秒．
(1)填空：点C 的坐标是( ，)，对角线OB 的长度是cm；
(2)当a=1 时，设△OPQ 的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大?
(3)当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角线OB 交于点M.若以O、M、P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求a 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．
23.如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c 经过O，D，C 三点．
（1）求AD 的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2 个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1 个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P、Q、C 为顶点的三角形与△ADE 相似？
（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N，使以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
24.如图，已知二次函数y = 1
(x+2)(ax+b)的图像过点A(－4，3），B(4，4). 48
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB 是直角三角形；
（3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作PH 垂直x 轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

25.（2015 钦州）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点（点A 与点B 不重合）．在射线AG 上取AD=OB，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E，且与x 轴交于点F，过点A 作AC⊥OA，交射线EF 于点C．连接OC、CD，设点A 的横坐标为t．
（1）用含t 的式子表示点E 的坐标为；
（2）当t 为何值时，∠OCD=180°？
（3）当点C 与点F 不重合时，设△OCF 的面积为S，求S 与t 之间的函数解析式．。