量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习
量子力学 第四章
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
周世勋《量子力学教程》(第2版)-态和力学量的表象笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
量子力学期末复习资料
简答第一章 绪论什么是光电效应爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子用来解释光电效应的爱因斯坦公式：221mv A h +=ν第二章 波函数和薛定谔方程1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c +=（1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗为什么答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。
)()()()(1*1211x x x x W ψψψ== 212*22*22)()()()()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==⎰ 213*33)()()()(x x x x W ψψψ==第三章 量子力学中的力学量2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
量子力学期末复习
第一章绪论1.量子力学的研究对象和适用范围是什么？量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动变化规律的科学。
量子力学规律同时适用于微观世界与宏观世界，即全部物理学都是量子物理学。
2.什么是量子现象？在研究原子、分子、原子核、基本粒子时所观察到的关于微观世界的系列特殊的物理现象。
凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。
3. 黑体：能够全部吸收各种波长的辐射，完全不发生反射和透射，且能发射各种波长的热辐射能的物体称为绝对黑体（黑体）。
如：空腔上的小孔、烟煤、太阳。
4.普朗克量子假说“能量子”假设：能量是分立的，不是连续的。
物体吸收或发射电磁辐射时，辐射的能量不是连续的，而是分立的，它的取值只能是能量子ε=hν的整数倍。
5.什么是光电效应？它有哪两个突出的特点？写出爱因斯坦的光电效应方程。
金属被光（紫外光）照射时，有电子从金属表面逸出，这种现象称为光电效应。
这种电子称之为光电子。
突出特点：①存在临界频率v0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
光电效应方程：其中m e为电子质量，υm为电子的最大初速度，ν为光子的频率，W0为电子挣脱原子束缚所需做的逸出功。
6.爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E =hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
7.什么是康普顿效应？为什么用X射线来进行实验？X射线投射到石墨上发生散射，在散射的X射线中，不但存在与入射光波长相同的X射线，同时还存在波长大于入射光波长的X射线，且波长增量随散射角增大而增大。
这一波长改变的散射称为康普顿效应。
因为X 射线的能量远大于原子中电子的束缚能，光子的能量只能部分地被电子吸收，能够观察到散射的X 射线。
第4章态和力学量的表象
三维氢原子
( r , , ) R ( r ) Y ( , )
nlm nl lm
2.态在表象中的矩阵表示
①坐标表象 r ,t可按按坐标的本征函数 任意波函数 展开 r ' r
r , t a r ' , t r ' r d ' 成立的条件 r , t a r , t
( r ,t )和 un(r)都是归一化的 设
* a ( t ) ( r , t ) u ( r ) d n n
2 * | ( r , t ) | d 1 a ( t ) a ( t ) 1 n n
n
| an (t) |
2
a ( t ), a ( t ), a ( t ), , a ( t ), 1 2 3 n
ˆ rr ( ) rr ( ) ( r )( r r ) r r r
即坐标算符在坐标表象中的对应于确定值 的本征函数，是以坐标为变量的δ函数
②动量和能量算符
一维
三维
x 1 ip x p ( x ) p ( x ) ( x ) e x p x p x p x x 2
n
*矩阵表示
*归一化条件 1 *由无限多个本征函数构成了无限维函数空间 ——Hilbert空间
a1(t) a 2 (t) , a n (t) a q ( t )
*Hermite矩阵
* * * * ( a ( t ), a ( t ), , a ( t ), a ( t )) 1 2 n q
第四章 表象理论1
(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵，用符号 表示。 即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式： 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元： 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
量子力学第4章(曾谨言)
15
ˆ ˆ 例题：求x、p x 和H在一维谐振子能量表象中的 矩阵表示。 【解】同理可得 p jk ia ( (k 1) / 2 j ,k 1 k / 2 j ,k 1 ) ( p jk ) ia 0 1/ 2 0 0 . 1/ 2 0 2/2 0 . 0 2/2 0 3/ 2 . . 0 . 3 / 2 . 0 . . . 0
已知a和a可以通过幺正变换相联系，即a Sa, S11 幺正矩阵S ( Sk ) S 21 . S12 S 22 . . . , Sk ( , k ) .
可以证明，矩阵L ( Lkj )和L ( L )可以通过 幺正矩阵S相变换：L SLS 1
因此，在离散表象中量子力学的诸方程的 形式如下：
20
1 ，两态正交： 0 (1)态的归一：
(2)力学量的平均值(若 已归一）
F F (3)本征方程： F ,
，
d H(t ), (4)Schrodinger方程： i dt
以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、 行矢量）乘法。
c( p, t ) ( x )( x, t )dx,
p
( x)
p
1 i exp px 2
( x, t ) 和 c( p, t )
可以互求，它们包含同样多的信息。 称这样做是变换到了动量表象，
3
2 一般情形。力学量 Q ，本征值离散，本征集为 {q1 , q2 , } ，本征函数系为 {u1 ( x ), u2 ( x ), } 则波函数可以本征函数展开
( x, t ) an (t )un ( x),
量子力学期末考试复习重点、复习提纲
量子力学期末考试复习重点、复习提纲量子力学期末考试复习重点、复习提纲第一章绪论1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。
3、掌握并会应用德布罗意公式。
4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。
第二章波函数和薛定谔方程1、掌握、区别及计算概率密度和概率2、掌握可积波函数归一化的方法3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加4、掌握概率流密度矢量5、理解定态的概念和特点6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级7、掌握线性谐振子的能级8、定性掌握隧道效应的概念及应用。
第三章量子力学中的力学量1、会算符的基本计算2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符。
3、了解波函数归一化的两种方法4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值，本征方程6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式（分立谱和连续谱）11、理解本征函数的完全性，掌握波函数按某力学量的本征函数展开（分立谱），会求展开系数，理解展开系数的意义。
12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性，能应用两公式计算期望值13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系，掌握角动量算符之间的对易关系。
14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易15、掌握不确定关系不等式。
第四章态和力学量的表象（4.1~4.3节）1、理解和掌握什么是表象2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。
3、理解态矢量和希尔伯特空间4、了解算符F在Q表象中的表示形式，算符在其自身表象中的表示形式。
量子力学第四章 态和力学量表象
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
共轭矩阵
a2(t)
a1(t)*
a2(t)* an(t)*
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
Cnlm (t)
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
C100(t)
C200 (t )
1 2
exp(
i
E1t )
0
C210 (t ) C211(t )
C211
（二）能量表象
选取能量算符的本征函数 n (x)作基底，则
(x,t) Cn (t) n (x)
n
其中
Cn (t)
n
(
x)
(x,
t
)dx
能量表象波函数
例如
在中心力场中，任意波函数
(r,,,t)
1 2
R10Y00
exp(
i
E1t)
1 2
R21Y11
exp(
i
E2t)
Cnlm (t) Rnl (r)Ylm ( ,) (r, ,,t)d
(t
)
0Leabharlann 1 2exp(i
E2t)
《量子力学》考试知识点(精心整理)
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应用：定态薛定谔方程第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
量子力学 第四章 态和力学量的表象
b 1 (t ) F11 F12 F1m a 1 (t ) a (t ) 2 b 2 (t ) F21 b n (t ) Fn1 Fn 2 Fnm a m (t )
矩阵 和 分别是 波函数 ( x, t ) 和 ( x, t ) 在Q 表象中 的形式。
F
an ( t )an ( t ) a ( t )a ( t )d 1 n
几种表象中态的表示的对比
坐标表象 描述态的变量 波函数 波函数模平方意 义 动量表象 Q表象
r
{ ( r , t ) }
表示粒子在某个 位置的概率
p { c(p, t ) }
q
{a n ( t ) }
px 1 p (x) e 2 i
(r , t ) 称为坐标表象中的状态波函数， C (P , t ) 称
c 动量表象中坐标算符的本征函数 坐标表象坐标算符的本征函数 (x, t ) x (x) (x x) 该处的x是变量，x‘为本征值
该本征函数在动量表象中的波函数
(r , t )
对于 (r , t ) 与 (q, t ) ，知道其一就可求得另一， 描述粒子同一状态。 因而 (q, t ) 与 (r , t ) (q, t ) 是以
力学量Q为变量的波函数，即粒子状态波函数在 Q 表象 2 中的表示，称为 Q 表象波函数， n (t ) 给出在 (r , t ) 态 a 中测量粒子的力学量qn(t) 取值的几率
1/ 2
e
1 ( x) C(p) p (x )dp
量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习
![量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/42eaca7d8e9951e79b8927a1.png)
第四章态和力学量的表象第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。
从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。
本章的主要知识点有1．微观状态的表象(1)离散谱情况设力学量Q的本征方程为 (x)=qn un(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取值qn 的概率幅为cn(t)=∫un*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量ψ=(…，c(t)，c1(t)，c2(t)，…)T，简写为ψ=({cn(t)}) (4-1)来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为(3)典型表象典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为归一化条件为力学量为具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为3．量子力学的抽象理论采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。
量子力学4态和力学量的表象
在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下
都是不变的。
（2）算符对态的作用 Fˆ
Fˆ
Fˆ SFˆS S SFˆ S 量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前 面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表象无关的。
§4.5 狄拉克符号
量子力学的规律和所选用的表象无关，讨论量子力学中的 态和力学量也可不用具体表象。不通过具体表象的描述方 式是狄拉克最先引用的，在这种描述方式中狄拉克引入了 一套符号，叫狄拉克符号。优点： （1）运算简捷， （2） 不用在具体表象中讨论问题
F (x,t)Fˆ(x,t)dx
在Q 表象中 (x,t) am (t)um (x)
m
F am (t)um (x)Fˆan (t)un (x)dx mn
am (t) um (x)Fˆun (x)dxan (t) mn
am (t)Fmnan (t)
mn
矩阵表示
F a1 (t) a2 (t)
一幺正矩阵 S 相联系。
么正矩阵 S S SS 1 S S 1
SS I
证明： (S S )kj Sk Sj Sk Sj
u (x)uk (x)dx u (x)u j (x)dx
dxdx u (x)u (x)uk (x)u j (x)
dxdx
(
x
x)u
mn
Sm m (x)Fˆn (x)dxSn Sm FmnSn
mn
mn
F SFS
§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示
态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量 和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。注意，这 里的矩阵可能是无穷维，也可能矩阵指标是连续变化的。
态和力学量的表象
由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开
例如，动量的本征函数表示
组成完全系，任意波函数 可以按 展开为
，
展开系数 由下式给出
.
设 已归一化，则容易证明 也是归一化的， 代表体系处于 所描写的态中，发现粒子位置在 范围内的几率； 代表在该态下发现粒子动量在 范围内的几率。 和 描写同一状态。我们称 是这个状态在 -表象（坐标表象）中的波函数； 是同一状态在 -表象（动量表象）中的波函数。动量表象中的波函数 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
，
取其复数共轭，并考虑到量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，得
，
即 ，或 。
算符在自身表象中的矩阵表示有何形式呢？设 是算符 的本征函数，相应的本征值为 ，即
，
则在 表象中，矩阵元为
.
由此可见，算符 在自身表象中的表示是一个对角矩阵:
，
对角元为基本征值：
.
因此，可以通过把算符的矩阵表示对角化求得该算符的本征值，这是一种非常重要的方法，以后还会看到。
，
即
.
上式即为 在 表象中的表示，其中 是 在 表象中的表示， 是算符 在 表象中的表示。（3）式可写成矩阵形式：
，
或简记为
2.薛定谔方程
在坐标表象中，薛定谔方程形式为
，
将(2)式代入（5）式，得
，
以 左乘上式两边，并对 积分得
.
式中
是哈密顿算符 在 表象中的矩阵元，（6）式即为薛定谔方程在 表象中的表示，写成矩阵形式：
.
方程（11）称为久期方程。求解久期方程可以得到一组 值（一般的上述行列式是几维的， 就有几个解）： ，它们就是 的本征值。就其中一个本征值 代入方程（10）中，可解出一组本征矢（ ），或表成列矢：
第四章 态和力学量的表象
如以坐标为变量来表示,称为坐标表象.这一章中,我们将详细讨 论波函数和算符在不同表象中的形式.
总结上述由已知坐标波函数求动量波函数的过程: 把坐标波函数 ψ ( x, t ) 用动量在坐标表象中的本征函数展开, 用动量在坐标表象中的本征函数展开, 就是动量波函数. 此时展开系数 C ( P, t ) 就是动量波函数
第四章 态和力学量的表象
前面表示微观粒子状态的波函数 ψ ( x, y , z , t ) 都表示成坐标 的函数,而力学量则用作用于这种坐标函数的算符来表示. 这种用坐标为变量来表示波函数和力学量的表示方式在量子力 学中并不是唯一的,也就是说,可用其它变量来表示:
波函数: 可以选用其它变量的函数, 力学量: 则相应地表示成作用在这种函数 上的算符
这就是从X 这就是从X到P表象的变换
(略) 略
ห้องสมุดไป่ตู้
§4.2 算符的矩阵表示
当选定具有分立谱的任意力学量为表象时,波函数在此表 象中是一个列矩阵,可以断定此时算符也将是一个矩阵,
例1。求 Lx 在 L2 , Lz 共同表象 l = 1 子空间中的矩阵表示 解：令： u1 = Y11 , u2 = Y10 , u3 = Y1−1 则 Lx的矩阵元可以如下计算：
ˆ ˆ ˆ L± = Lx ± iLy
0
2
作业: 习题4.5 作业 P130: 习题 阅读教材: 的内容. 阅读教材 P103-114的内容 的内容
量子力学第 4 章
Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
量子力学总复习
n n n Nn Nn Nn e
x y z x y z
2 r 2 2
Байду номын сангаас
H nx ( x) H n y ( y ) H nz ( z )
12、势垒贯穿 隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯 穿势垒的现象，称为隧道效应。
需掌握知识点
1、掌握定态的概念；定态的性质。
几 个 重 要 概 念
本征函数
n N ne
n
x
H n ( x)
Nn
n!
,
11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中） 三维各向同性谐振子的能级和波函数。
3 Enx ny nz nx n y nz 2
nx , n y , nz 0,1,2,
H mn
2 0
E n Em
m,m n
0
H mn
0
1, m n
0 m
En En H nn
0
m,m n
0 ˆ 0 m H mn H n
En Em 0 * ˆ 0 m (r )H n (r )d
( A) ( S ) 1M s A ( S ) ( A) 00
5、角动量（轨道和自旋）
ˆL ˆ i L ˆ L ˆS ˆ i S ˆ S
2 ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z 4
对两个Fermi子体系:
M s 0, 1
2 n x n ( x) sin ,0 x a a a
es4 es2 En 2 2 2 2 2 n 2n a0
山东大学量子力学复习大纲
量子力学复习一、关于状态1. 波函数及其几率诠释 1.1. (,)x t ψ与(,)r t ψ 1.1.1 相对几率密度1.1.2 归一化、“归一化”到δ函数及箱归一化 1.2 (,)p t ϕ与(,)p t ϕ1.3. Q 表象中状态用列矩阵表达 1.4.右矢ψ 1.5 旋量波函数1.5.1 电子自旋状态的描述 自旋向上态↑，α，12χ，10⎛⎫ ⎪⎝⎭自旋向下态↓，β，12χ-，01⎛⎫⎪⎝⎭1.5.2 旋量波函数11121222(;)(,;)(;)(;)(;)z r t r s t r t r t r t φψφχφχφ-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭1.6 多粒子体系波函数12(,,;)r r t ψ1.6.1 非全同粒子体系波函数---不考虑交换对称性 1.6.2 全同玻色子体系波函数---粒子交换对称 1.6.3 全同费米子体系波函数----粒子交换反对称 1.7 常用的特殊态1.7.1 ()x δ1.7.2 /()ipx p x e ψ=1.7.3 无线深方势阱中的能量本征函数(),0n n x x x a aπψ=≤≤；()0,0,n x x x a ψ=<> 1.7.4 一维线性谐振子能量本征函数22/2()()x n n n x N eH x αψα-=111]x n n n α=-++ˆ[11]2n pn i nα=---+ 1.7.5 ˆz l 的本征函数即平面转子能量本征函数()im m ϕψϕ=1.7.6 2ˆl 的本征函数即空间转子能量本征函数(,)l m Y θϕ(cos )e m im l m l N P ϕθ= 1.7. 7氢原子能量本征函数(,,)()(,)nlm nl l m r R r Y ψθϕθϕ=或(,,,)()(,)ssnlmm z nl l m m r s R r Y ψθϕθϕχ=2. 波函数的标准条件 连续 单值 有限3. 束缚态与非束缚态 (游离态、电离态)4. 波函数满足薛定谔方程222(,)(,)(,)(,)2x t x t i V x t x t t m x ψψψ∂∂=-+∂∂22(,)(,)(,)(,)2r t i r t V r t r t t mψψψ∂=-∇+∂5. 定态与非定态6. 薛定谔方程的求解6.1 能量本征方程(定态薛定谔方程) ˆn n nH E ψψ= 6.2 含时薛定谔方程的特解(定态解) /(,)()niE t n n r t r e ψψ-=6.3 含时薛定谔方程的一般解 /(,)()n iE t n n nr t c r eψψ-=∑6.4含时薛定谔方程的定解满足(,0)(r r ψφ=的解，*(,)()()n n n c xx d x ψφψφ∞-∞==⎰7. 几率密度及几率流密度**[]2i j mψψψψ=-∇-∇*ˆRe[]p m ψψ=8. 态叠加原理 8.1 n n nc ψψ=∑8.2 测量值及相应概率若n ψ是力学量A 具有确定值n a 的状态，则体系处于n n nc ψψ=∑时A 的测值：12,,,,n a a a相应概率22212,,,,n c c c ∝ 8.3 波函数坍缩(量子态坍缩)若测得A 的值为n a ，则体系状态由ψ坍缩至n ψ二、关于力学量1. 力学量算符1.1用线性厄密算符表示 1.2测量值是算符本征值1.3 从经典量向量子力学的力学量过渡：先对称化再量子化 2常用力学量算符2.1 坐标算符x2.2 动量算符ˆˆ,x pi p i x∂=-=-∇∂ 2.3 角动量算符2ˆˆ,z l i l ϕ∂=-=∂2.4 宇称算符ˆ∏和粒子交换算符 2.4.1ˆ()()r r ψψ∏=-， 即ˆ(,,)(,,)x y z x y z ψψ∏=---或ˆ(,,)(,,)r r ψθϕψπθπϕ∏=-+ 2.4.2 11ˆ(,,,;)(,,,;)i j i j j i P r r r t r r r t ψψ=2.5 电子自旋算符与泡利矩阵 2.6 哈密顿算符及能量本征值2.6.1 无限深方势阱，分立谱22222n n E ma π=2.6.2有限深方势阱，分立谱+连续谱2.6.3一维线性谐振子222221ˆ22d H m x m dx ω=-+，分立谱1()2n E n ω=+ 2.6.4中心力场22222ˆˆ()()22l H r V r mr r r mr∂∂=-++∂∂2.6.5氢原子222222ˆˆ()22l e H r mr r r mr r∂∂=-+-∂∂， 分立谱+连续谱 2412222213.622eV n E e e E n n a n nμ==-=-=-……. 3. 算符代数3.1 基本对易关系ˆ[,]x pi αβαβδ= 3.2 算符恒等式 3.3 常用对易关系3.3.1ˆ[,],x l y i z = 3.3.2ˆˆˆ[,],x y z l p i p =3.3.3ˆˆˆ[,],x y z l l i l =;ˆˆˆl l i l ⨯=3.3.4 1ˆˆˆˆˆ[,],[,(,)]ˆnn F x p ni p x F x p i p -∂==∂ 3.3.5 1ˆˆˆˆˆ[,],[,(,)]nn F px ni x p F x p i x-∂=-=-∂ 4. 力学量平均值4.1 ˆ(,)F Fψψ=或ˆ(,)/(,)F F ψψψψ= 4.2 若ˆn n nFu f u =，将ψ按ˆF 的正交归一化的本征函数系{}n u 展开 1122a u a u ψ=++，则平均值2221122n n nF a f a f a f =++=∑或22n nn nna f F a=∑∑5. 厄密算符本征函数的性质5.1 正交性*()()mn m n u x u x dx δ∞-∞=⎰ 5.2 完备性(,)()()n n nr t c t u r ψ=∑5.3 封闭性*()(')(')nn nu x u x x x δ=-∑ 6. ˆˆˆˆ[,]0,AB A B =⇔有共同的本征函数系 ˆˆ[,]0AB =且系统处于ˆˆ,A B 的共同本征态，则ˆˆ,A B 同时有确定值 7. 不确定度及不确定度关系2A ∆≡=1ˆˆ[,]2A B A B ∆∆≥， 2E t ∆∆≥ 8. 力学量平均值的时间变化率1ˆˆ[,]dA A H dt i=9. 守恒量10. 两个角动量的耦合121212,1,,j j j j j j j =--++三、表象理论1. Q 表象中态矢量用列矩阵表示2. Q 表象中力学量用厄密方阵表示3. 表象变换矩阵为幺正矩阵S 3.1 m n S =老m 新n3.2 新表象基矢在老表象中的列矩阵按列排起来4. 表象变换 4.1 'S ψψ+= 4.2 'F S FS +=5. 狄拉克符号 5.1状态ψ 5.2内积ϕψ 5.3算符ψϕ6. 用狄拉克符号表达的公式 6.1 正交归一m n m n δ= 6.2 完备性1nn n =∑6.3 薛定谔方程()ˆ()t i H t tψψ∂=∂， ˆnn nH E ψψ= 6.4平均值ˆF Fψψ= 7. ()x x ψψ=四、近似方法1. 定态非简并能级微扰(0)(0)(0)ˆk k k H E ψψ= 2(0)(0)(0)nk k k kkn kknH E E H EE≠''=++-∑(0)(0)(0)(0)nk k kn n k k nH E E ψψψ≠'=+-∑ 2. 定态简并能级微扰(0)(0)(0)ˆ,1,2,k k k H E μμψψμ==(1)111121(1)221222(1)120n n n nnnnC H E H H C H H E H C H H H E '''⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪'''- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪'''- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (0)(0)(0)1122C C ψψψ=++3. 含时微扰'2'21k k ti tk k k k W H e dt ω'→'=⎰。
§4 态和力学量的表象
1．平均值公式 将 Ψ ( x, t ) 按 Q 的本征函数展开，
Ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x)
n ∗ ∗ Ψ ∗ ( x, t ) = ∑ an ( t )u n (x ) n
(4.3.1a) (4.3.1b)
F = ∫ Ψ ∗ ( x, t ) F ( x,
h ∂ ) Ψ ( x, t ) dx i ∂x ∧ h ∂ ∗ = ∫ ∑ am (t ) u ∗ ( x ) F ( x, ) an (t ) u n ( x )dx m i ∂x mn
或简写为
F = Ψ + FΨ
(4.3.4)
2. 本征值方程
F ( x,
∧
h ∂ ) Ψ( x, t ) = λΨ ( x , t ) i ∂x
矩阵形式可由(4.2.7)式中令Φ = λΨ 得出
FΨ = λΨ
(4.3.5)
显示地写出为
F11 F21 M Fn1 M
F12 L F1n F22 L F2n M M Fn 2 L Fnn M L
(4.2.3)
引进记号
Fnm = ∫ u ∗ n ( x ) F (x ,
∧
h ∂ )u m ( x ) dx i ∂x
(4.2.4)
(4.2.3)可写为
bn ( t ) = ∑ Fnma m (t )
m
(4.2.5)
(4.2.5)就是(4.2.1)在 Q 表象中的表示，将它写为矩阵的形式
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 M =L bn ( t ) Fn1 M L F12 F22 L Fn2 L L F1m L F2m L L L Fnm L L L a1 ( t ) L a 2t ) L M L am ( t ) L M
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章态和力学量的表象
第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。
从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。
本章的主要知识点有
1．微观状态的表象
(1)离散谱情况
设力学量Q的本征方程为 (x)=q
n u
n
(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取
值q
n 的概率幅为c
n
(t)=∫u
n
*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量
ψ=(…，c
(t)，c
1
(t)，c
2
(t)，…)T，简写为ψ=({c
n
(t)}) (4-1)
来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为
(3)典型表象
典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况
有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为
归一化条件为
力学量为
具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为
3．量子力学的抽象理论
采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。
无论采用什么表象，力学量的本征值和力学量之间的对易关系都保持不变，它们是物理本质的反映。
我们也可以脱离具体表象，直接由对易关系出发来进行研究。
(1)抽象状态
按照狄拉克的方法，量子力学状态ψ可以用一个抽象的状态空间中的矢量描述，记为｜ψ＞(称为右矢量)；而其厄米转置ψ+用对偶矢量描述，记为＜ψ｜(称为左矢量) 。
归一化条件为
ψ+ψ=＜ψ｜ψ＞=1 (4．15)
(2)力学量
征方程为
利用产生算符与湮没算符之间的对易关系，容易证明
4．表象变换
从理论上说，量子力学中的所有表象都是等价的；但从应用的角度看，一个具体问题用不同的表象处理，难易程度不同。
为了更有效地解决问题，我们往往需要从一种表象转换为另一种表象，这就需要对状态和力学量进行表象变换。
(1)基矢的变换
设{｜n＞}和{｜α＞}为态空间的两组不同的基矢，构成两种不同表象，分别记为A和B。
利用B表象下基矢{｜α＞}的完备性，可以把A表象中的基矢｜n＞展开为
=＜α｜n＞作为矩阵元，所组成的矩阵记为S，称为从表象A到表象B 将S
αn
的变换矩阵。
(2)态矢量和力学量的变换
对应的矩阵形式为φ
B =Sφ
A。
同理，在表象A中，力学量F的形式为F
A
=({＜n｜F｜m＞})；在表象B中，
形式为F
B
=({＜α｜F｜β＞})．由基矢的完备性容易推出矩阵元关系
对应的矩阵形式为F
B =SF
A
S+。
(3)变换矩阵的一般性质
容易验证，变换矩阵满足关系
S+S=SS+=1 (4-25)
这表明S为幺正矩阵，对应的表象变换为幺正变换。
在幺正变换下，两态矢的内积、算符的本征值、算符矩阵的迹和算符矩阵的行列式都保持不变。