量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习

第四章态和力学量的表象

第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。

前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。

相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。

不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。

我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。

本章的主要知识点有

1．微观状态的表象

(1)离散谱情况

设力学量Q的本征方程为 (x)=q

n u

n

(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取

值q

n 的概率幅为c

n

(t)=∫u

n

*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量

ψ=(…，c

(t)，c

1

(t)，c

2

(t)，…)T，简写为ψ=({c

n

(t)}) (4-1)

来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。

在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为

(3)典型表象

典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。

(3)混合谱情况

有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。这时Q表象下的波函数为

归一化条件为

力学量为

具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为

3．量子力学的抽象理论

采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。无论采用什么表象，力学量的本征值和力学量之间的对易关系都保持不变，它们是物理本质的反映。我们也可以脱离具体表象，直接由对易关系出发来进行研究。

(1)抽象状态

按照狄拉克的方法，量子力学状态ψ可以用一个抽象的状态空间中的矢量描述，记为｜ψ＞(称为右矢量)；而其厄米转置ψ+用对偶矢量描述，记为＜ψ｜(称为左矢量) 。归一化条件为

ψ+ψ=＜ψ｜ψ＞=1 (4．15)

(2)力学量

征方程为

利用产生算符与湮没算符之间的对易关系，容易证明

4．表象变换

从理论上说，量子力学中的所有表象都是等价的；但从应用的角度看，一个具体问题用不同的表象处理，难易程度不同。为了更有效地解决问题，我们往往需要从一种表象转换为另一种表象，这就需要对状态和力学量进行表象变换。

(1)基矢的变换

设{｜n＞}和{｜α＞}为态空间的两组不同的基矢，构成两种不同表象，分别记为A和B。利用B表象下基矢{｜α＞}的完备性，可以把A表象中的基矢｜n＞展开为

=＜α｜n＞作为矩阵元，所组成的矩阵记为S，称为从表象A到表象B 将S

αn

的变换矩阵。

(2)态矢量和力学量的变换

对应的矩阵形式为φ

B =Sφ

A

。

同理，在表象A中，力学量F的形式为F

A

=({＜n｜F｜m＞})；在表象B中，

形式为F

B

=({＜α｜F｜β＞})．由基矢的完备性容易推出矩阵元关系

对应的矩阵形式为F

B =SF

A

S+。

(3)变换矩阵的一般性质

容易验证，变换矩阵满足关系

S+S=SS+=1 (4-25)

这表明S为幺正矩阵，对应的表象变换为幺正变换。在幺正变换下，两态矢的内积、算符的本征值、算符矩阵的迹和算符矩阵的行列式都保持不变。