二维形式的柯西不等式课件新人教选修.ppt

可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式: ⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
二维形式的柯西不等式
引入
探究问题
柯西不等式
向量形式
柯西不等式 的应用思考
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
课外思考:
| y1 - y2 |
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
2a b c a b b c c a 这样就给我们利用柯
西不等式提供了条件。证明：
2a
b
c
1.已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 . 2.设 a,b,c 为正数且不相等，求证：
222 9 . ab bc ca abc
3. 设 x1 , x2 ,, xn R , 求证：
x12 x22 x2 x3
x2 n1 xn
xn2 x1
≥
x1
x2
xn
（1984 年全国高中数学联赛题）
这两个结论也是非常有用的.
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
cos ,
x1 x2 y1 y2
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
发现定理: 定来自百度文库 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 .
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
ab
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )
y
P1(x1, y1)