Chan定位算法与TDOA估计精度的关系

将式（3）和式（4）代入式（2）中，可得：
∑ ⎡
⎢ ⎢ ⎢
M m=
2
⎡ ⎢ ⎢⎣
(
x1
−x r1,0
0
)
−
( xm
−
x0
)
⎤2 ⎥
rm,0 ⎥⎦
⎤ −1 ⎥ ⎥ ⎥
φ
=
c2σ
2
⎢ E (( xˆ ⎢⎢E(( yˆ
Hale Waihona Puke Baidu
− −
x0 )( yˆ − y0 )(xˆ −
y0 x0
)) ))
⎥ ⎥
，
⎥
∑ ⎢
⎢M ⎢ ⎣m=2
134
定位精度在视距环境下能够达到克拉美罗下限。可见，Chan 定位算法是一种相当实用的方法，适合实际工程。
Chan 利用 TDOA 观测值在文献[6]中分析了算法的估计 误差，但是没有分析 TDOA 观测值的精度对最终定位精度的 影响，也没有推导一定定位精度下 TDOA 允许的最大误差值。 本文主要研究定位估计精度与 TDOA 估计精度之间的关系， 为工程实践提供理论参考，并进一步提高 Chan 算法的实 用性。
【Key words】radio location; location accuracy; TDOA; time delay estimation
0 引言
1996 年，美国 FCC 明确要求各移动通信运营商为移动 用户提供 E-911 服务[1]，因此多个基站利用移动台无线信号 到达时刻 TOA（Time-of-Arrival）[2]和到达时间差 TDOA (Time-Difference-of-Arrival) 进 行 定 位 的 方 式 在 近 年 来 受到了广泛关注[3-4]。
【Abstract】Chan method, for its unique advantages, is widely applied in TDOA (Time Difference of Arrival) positioning algorithm. However, there is now no explicit function expression on how to estimate the time-delay estimation accuracy required by Chan location algorithm. In this paper, the relation function between estimation errors of Chan location algorithm and the estimation accuracy of location parameter (TDOA) is deduced. The detailed deduction and the expression of the relation function are given and the physical meanings of the relation function also analyzed. In the design of MS (Mobile Station) radio location system, the least time delay estimation accuracy could be directly computed by this relation function according to the location accuracy required by the location system.
)⎤ ⎥
，
（6）
m=2 ⎢⎣ r1,0
rm,0 ⎥⎦ ⎢⎣ r1,0
rm,0 ⎥⎦
现需对式（5）所表示的 2×2 阶矩阵求逆。
假设λ为式（5）中[.]的行列式的值，则有：
∑ ⎡
⎢
M
⎡ ⎢
(
y1
−
y0
)
−
(
ym
−
y0
)
φ
=
c2σ
2
1
⎢m=2 ⎢
⎢⎣
r1,0
rm,0
−E((xˆ
−
x0
)(
yˆ
−
y0
⎤2 ))⎥
基于式（12），当给定定位估计误差ΔD 时，可以求出 TDOA 允许的最大估计误差，算法的具体流程如下：
① 确定定位系统的基站坐标和目标手机的坐标； ② 计算式（5）中[.]的行列式值，得到λ； ③ 由式（13），求出 TDOA 允许的最大估计误差。
3 仿真和分析
考虑几种具有对称结构的定位网络，坐标的单位都为 米。A 类（三角形）基站的坐标分别为：(200,200)、(-200,200) 和(0,-282.8)，此时 M=3；B 类（四边形）基站的坐标分别为： (200,200)、(-200,200)、(-200,-200)和(200,-200)，此时 M = 4； C 类（六边形）基站的坐标分别为：(200,200)、(-200,200)、 (-200,-200)、(200,-200)、(-282.8,0)和(282.8,0)，此时 M=6。
结论 2 当所有的基站与目标手机呈直线排列时，σmax 趋向 于无穷大。这个结论实际上说明，在此种情况下，无论 TDOA 估计的精度有多高，最后的定位误差都会为无穷大。
结论 3 在给定定位估计误差ΔD 下，TDOA 估计精度的要 求与基站数有关。由式（13）可以看出，当基站数目不同时， 即使在相同的ΔD 下，σmax 会可能不同。具体的关系可以从数值 仿真中看出。
=
c2σ λ
2
⋅
∑M
⎪⎧⎡ ⎨⎢
(x1
−
x0
)
−
( xm
−
x0
)
⎤2 ⎥
+
⎡ ⎢
(
y1
−
y0
)
−
(
ym
−
y0
)
⎤2 ⎥
⎪⎫ ⎬
,（8）
m=2 ⎪⎩⎢⎣ r1,0
rm,0 ⎥⎦ ⎢⎣ r1,0
rm,0 ⎥⎦ ⎪⎭
其中，ΔD 表示 Chan 算法定位估计的误差且大于等于 0。令：
tan(ϕk )
=
yk xk
−
y0
)
/
r1,0
−
( y2
−
y0
)
/
r2,0
⎥ ⎥
Gt , 0
=
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
，
⎢( ⎢
x1
−
x0 ) /
r1,0
− (xM
−
x0 )
/
rM ,0
⎥ ⎥
⎢⎣( y1 − y0 ) / r1,0 − ( yM − y0 ) / rM ,0 ⎥⎦(M −1)×2
（3）
式（2）中，矩阵 Q 表示 TDOA 估计误差的协方差矩阵，其 维数为(M-1)× (M-1)；[.]T 表示取矩阵的转置；[.]-1 表示求矩
⎥⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
,
∑ λ ⎢
⎢−E((yˆ − y0 )(xˆ − x0 ))
M
⎡ ⎢
(
x1
−
x0
)
−
(
xm
− x0 ) ⎤2 ⎥
⎥ ⎥
⎢⎣
m=2 ⎢⎣ r1,0
rm,0 ⎥⎦ ⎥⎦
（7）
由式（7），可以得到 Chan 算法的定位估计误差的方差为：
(ΔD)2
=
E[( xˆ
−
x0 )2
+
( yˆ
−
y0 )2 ]
rm,0 = (xm − x0 )2 + ( ym − y0 )2 ，
（1）
由文献[6]，估计误差的协方差矩阵为： φ = c2 (Gt,0TQ−1Gt,0 )−1 ，
（2）
其中，c = 3*108(m/s)，且
⎡(x1 − x0 ) / r1,0 − (x2 − x0 ) / r2,0 ⎤
⎢ ⎢( y1
⎡ ⎢ ⎢⎣
(
y1 − y0 r1,0
)
−
(
ym − y0 rm,0
)
⎤2 ⎥ ⎥⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
（5）
其中： E((xˆ − x0 )( yˆ − y0 )) = E(( yˆ − y0 )(xˆ − x0 )) =
∑M
⎡ ⎢
(
x1
−
x0
)
−
( xm
−
x0
)⎤ ⎥
⎡ ⎢
(
y1
−
y0
)
−
( ym
−
y0
DING Hong-yi①， LIU Qi-xu①， WANG Wei②
(①China National Technical Service Corporation for Surveying and Mapping, Beijing 100088, China; ②Southwest Inst Of Electron & Telecom Techn, Chengdu Sichuan 610041, China)
阵的逆。式（3）中，[.](M-1)×2 中的下标表示矩阵的二维维数。 式（2）的结果同时也表示以第一个基站作为系统的参考
基站。
假设 M-1 个 TDOA 的估计值都具有相同的方差值大小，
且各 TDOA 估计值之间是相互独立的，则有： Q = σ 2 I(M −1)×(M −1) ，
（4）
其中，I(M-1)× (M-1)为(M-1)× (M-1)维的单位矩阵；σ2 为 TDOA 估计精度的方差。
在众多基于 TDOA 的定位算法[5]中，Chan 算法[6]得到了 广泛的应用。这主要是因为该算法具备三大优势：①算法不 需要初值；②仅进行两次迭代就可求得最终结果；③算法的
收稿日期：2009-01-04。 作者简介：丁宏毅（1974-），男，工程师，主要从事卫星导航定位的研
究工作；柳其许（1966-），男，高级工程师，主要从事 GPS 伪码测量、卫星频率、卫星导航定位的研究工作；王 巍 （1976-），男，工程师，主要从事移动通信的研究工作。
− −
y0 x0
,1≤ k
≤ M 且0 ≤ϕk
≤ 2π
，
（9）
将式代（9）入式（8），可得：
∑{ } (ΔD)2
=
2c2σ 2 λ
⋅ ⎧⎨(M ⎩
M
−1) −
m=2
cos ⎡⎣ϕ1,0 − ϕm,0 ⎤⎦
⎫ ⎬
，
（10）
⎭
根据式（10），能够得到 Chan 算法定位估计误差与 TDOA 估
计精度的关系为：
1 定位估计误差与 TDOA 估计精度的关系
本节直接引入 Chan 算法及其推导的定位估计误差的协 方差等结果，不再对其进行详细的解释。
假设 MS 当前坐标的真实值为(x0, y0)，Chan 算法的估计
结果为( xˆ , yˆ )。定位系统中，参与定位的基站数为 M，其
坐标分别为(xm, ym)，1≤m ≤M。令 rm,0 表示各基站与 MS 的 真实距离值，即：
定位系统的设计过程中，根据所需的定位精度，通过该表达式可以直接计算出系统所必须的最小时延估计精度。
【关键词】无线定位；定位精度；信号到达时间差；时延估计
【中图分类号】TN929.53
【文献标识码】A
【文章编号】1002-0802(2010)03-0134-03
Relation Between Chan Location Algorithm and TDOA Estimation Accuracy
135
A1 类（三角形）基站的坐标分别为(2000,2000)、(-2000,2000) 和(0, -2828)，此时 M=3；B1 类（四边形）基站的坐标分别 为：(2000,2000)、(-2000,2000)、(-2000,-2000)和(2000,-2000)， 此时 M=4；C1 类（六边形）基站的坐标分别为：(2000,2000)、 (-2000,2000) 、 (-2000,-2000) 、 (2000,-2000) 、 (-2828,0) 和 (2828,0)，此时 M=6。A1 类到 C1 类的坐标值分别是 A 类到 C 类坐标值的 10 倍。
（12）
其中：
∑{ } σmax
= ΔD ⋅
λ
/
2
⋅
⎧ ⎨(M
c⎩
M
−1) −
m=2
cos ⎡⎣ϕ1,0
−ϕm,0 ⎤⎦
⎫−1/ 2 ⎬
。(13)
⎭
2 物理意义和算法流程
式（12）具有的物理含义非常重要。通过分析，本文得到 以下几个结论：
结论 1 在给定定位估计误差ΔD 下，TDOA 允许的最大估计 误差和定位系统的拓扑结构存在关联。在式（13）中，本文采 用了余弦的形式表达了系统的拓扑结构，使其更加直观和清晰。 显然，拓扑结构是由定位系统各基站的布站结构和目标移动台 的位置来共同决定的。它们共同影响着 TDOA 允许的最大误 差值。
∑{ } σ
=
ΔD ⋅ λ / 2 c
⋅ ⎧⎨(M ⎩
M
−1) −
m=2
cos ⎡⎣ϕ1,0
− ϕm,0 ⎤⎦
⎫−1/ ⎬
2
,（11）
⎭
式（11）表示给定ΔD 时 TDOA 允许的最大估计误差。因此，
本文对其修正，采用下式表示 Chan 算法的定位估计误差与
TDOA 估计精度的关系： σ ≤ σ max ，
【摘 要】在基于 TDOA（到达时间差）的定位算法中，Chan 方法由于其独特的优势得到广泛应用，但如何估计 Chan 定
位算法所需的时延估计精度暂时没有明确的函数表达式。针对 Chan 定位算法，推导了该算法定位估计误差与定位参数(TDOA)
估计精度之间的函数关系。给出了推导的具体步骤和函数关系的表达式，分析了该表达式所具有的物理意义。在移动台无线
2010 年第 03 期，第 43 卷 总第 219 期
通信技术 Communications Technology
Vol.43，No.03,2010 No.219,Totally
Chan 定位算法与 TDOA 估计精度的关系
丁宏毅①， 柳其许①， 王 巍②
（①中国国家测绘技术服务公司，北京 100088；②西南电子电信技术研究所，四川 成都 610041）