第三章 正交试验设计(3)-有交互作用的正交设计
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正交实验设计
其它常用正交表：
表 L4（23）
列号 试验号 1 2 3 4 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 1
表 L8（27）
列号 试验号 1 2 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2
3
4 5 6 7 8
1
1 2 2 2 2
2
2 1 1 2 2
因素
A
B
C
24
实验安排：
列号 1 A 2 B 1 1 3 C 3 1 4 2 1 试 验 号 1 2 水 平 组 合 A1B1C3 A2B1C1
试验号
1 2 1 2
3 4
5 6 7
3 1
2 3 1
1 2
2 2 3
2 2
3 1 1
3 1
3 2 3
3 4
5 6 7
A3B1C2 A2B2C2
A2B2C3 A3B2C1 A1B3C1
8
9
2
3
3
3
2
3
2
1
8
9
A2B3C2
A3B3C3
25
( b）如果 四个因素都考 因素 虑，而不考虑 列号 交互作用。 试验号 （i）试验 1 费用高，希望 2 少做试验，可 3 仍取L9(34)。 4 表头设计 5 如右上表，实 6 验方案右下表。 7
8
9
列号
1
A
1 A 1 2 3 1 2 3 1 2 B 1 1 1 2 2 2 3
图2 正交试验设计 图例
12
此试验方案中，试验点的分布很均匀，试 验次数也不多。当因素数和水平数都不太大 时，可通过作图的办法来选择分布很均匀的 试验点。但因素数和水平数很多时，作图的 方法难以行得通。 试验工作者在长期的工作中总结出一套 办法，创造出所谓的正交表。按照正交表来 安排试验，既能使试验点分布得很均匀，又 能减少试验次数，而且计算分析简单，能够 清晰地阐明试验条件与指标之间的关系。 用正交表来安排试验及分析试验结果， 这种方法叫正交试验设计法。 13
正交实验设计
正交试验设计正交实验设计法对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。
但在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
1.正交试验设计的概念及原理1.1 正交试验设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。
它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析来了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。
例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。
每个因素设置3个水平进行试验。
A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是pH值，设B1、B2、B3 3个水平；C因素为杀菌温度，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。
全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成。
若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。
正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。
如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
1.2 正交试验设计的基本原理在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。
正交试验设计习题课
• 该试验除考察以上5个因素外，还要求研究 交互作用A×B、A×C、B×E和D×E对指 标的影响。
• 本题目正交表的选用及表头设计略去，试 验结果如表所示，试分析此试验的最优方 案。
2.混合水平的正交试验设计及其结果的直观分析
• 某制药厂为提高某种药品的合成率，决定 对缩合工序进行优化，因素水平表如下所 示，忽略因素见的交互作用。
正交试验设计习题课
1.有交互作用的正交试验设计及其结果的直观分析
• 消除铸造Cr17Ni2叶片脆性实验，实验目的 为寻找生产工艺参数，消除铸造Cr17Ni2叶 片脆性，实验依据的指标为材料的延伸率， 试验中固定的因素为浇注速度3-5s，模壳预 热1080度，保温1h，需要研究的因素及其 相应的水平如表所示：
• 试验表头 及结果如 表所示。
• 已知：
• F0.10(2,2)=9 • F0.05(2,2)=19 • F0.01(2,2)=99
• 要求：列 出本题目 的方差分 析表，并 分析最优 方案。
偏差平方和
4.混合水平正交试验设计结果方差分析
• 在高效液相色谱法测定食品中胡萝卜素的 研究中，欲通过正交试验选择柱层析法净 化条件，试验指标为胡萝卜素回收率，不 考虑交互作用，试验因素水平表见表
有交互作用的正交试验设计及其结果的直观分析?消除铸造cr17ni2叶片脆性实验实验目的为寻找生产工艺参数消除铸造cr17ni2叶片脆性实验依据的指标为材料的延伸率试验中固定的因素为浇注速度35s模壳预热1080度保温1h需要研究的因素及其相应的水平如表所示?该试验除考察以上5个因素外还要求研究交互作用abacbe和de对指标的影响
活化温度 ℃ 柱高 cm 过柱体积 ml
A
B
C
正交试验设计(交互作用)
560
从表中可以看出，加4斤磷肥，亩产增加50斤；加6斤氮肥，亩产增 加30斤；而同时加两种肥料，亩产增加160斤，而不等于分别增加的 50＋30＝80斤。这就是交互作用，记作NXP
这里NXP起加强作用，大小为： （560－400）－（430－400）－（450－400）=80（斤）
正交表交互作用表的使用（以L8 (27)为例）
6.4.1 交互作用表
交互作用表 用正交表安排有交互作用的试验时，把 两个因素的交互作用当成一个新的因素来 看待，让它占有一列，叫交互作用列。交 互作用列按交互作用表安排。
例：考虑氮肥（N）和磷肥（P）对豆类增产的 效果
因素各水平联合作用表
N
P P1＝0 P2＝4
N1＝0
400
450
N2＝6
430
(A×C)2
(B×C)1 (A×D)2
D
(A×D)1
(B×C)2
(B×D)1
(C×D)1
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 K3 K4 k1 k2 k3 k4 极差R 因素主→次 优方案
因素
A
B
C
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
3
1
2
1
2
3
212来自141
2
2
1
4
2
1
1
2
8
21
24
23
24
9
29
26
27
26
14
19
具有交互作用的正交试验设计
具有交互作用的正交试验设计
1 、交互作用
通过前面的学习我们已经知道采用正交试验设计方法可以 明显减少多因素试验的试验次数，同时也能在一定程度上得到 能够满足工程应用的试验结果。
但是，在前面的讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所
有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相 互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交试
对2因素2水平的正交表，因为：fA＝fB＝ 2－1＝１，每
列只有一个自由度；而 以也占一列。 fA×B＝fA×fB ＝1×1＝1，所
对于2 因素3水平， fA＝fB＝ 3－1＝2，每列有2个自由度；
而 fA×B＝fA×fB ＝2×2＝4，由于交互作用列有4个自由度，而 每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。
对于2因素n水平， fA＝fB＝ n－1，每列有n个自由度； 而两因素交互作用的自由度为：fA×B＝fA×fB ＝（n－1）（n－1）， 所以交互作用列要占（n－1）列。
（4）有交互作用的正交设计与分析实例
在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。 对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设 计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其 它基本相同。 【例】 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 三种 成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素 的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一 个正交试验方案并进行结果分析。
3、交互作用的处理原则
试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交
互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排 在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的 影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用 又与因素不同，表现在：
1 、交互作用
通过前面的学习我们已经知道采用正交试验设计方法可以 明显减少多因素试验的试验次数，同时也能在一定程度上得到 能够满足工程应用的试验结果。
但是，在前面的讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所
有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相 互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交试
对2因素2水平的正交表，因为：fA＝fB＝ 2－1＝１，每
列只有一个自由度；而 以也占一列。 fA×B＝fA×fB ＝1×1＝1，所
对于2 因素3水平， fA＝fB＝ 3－1＝2，每列有2个自由度；
而 fA×B＝fA×fB ＝2×2＝4，由于交互作用列有4个自由度，而 每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。
对于2因素n水平， fA＝fB＝ n－1，每列有n个自由度； 而两因素交互作用的自由度为：fA×B＝fA×fB ＝（n－1）（n－1）， 所以交互作用列要占（n－1）列。
（4）有交互作用的正交设计与分析实例
在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。 对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设 计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其 它基本相同。 【例】 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 三种 成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素 的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一 个正交试验方案并进行结果分析。
3、交互作用的处理原则
试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交
互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排 在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的 影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用 又与因素不同，表现在：
正交试验设计及结果分析
对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试 验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的 基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。
2.1 试验方案设计 （1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么 问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确 定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。
3
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1.3.2.3 综合可比性 （1）任一列的各水平出现的次数相等； （2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素
各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效 果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比 较该因素不同水平对试验指标的影响情况。
根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分 散和整齐可比的特点。
3
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位， 当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵 消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有 综合可比性。
3
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如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可
利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就
能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找 出最佳的生产条件。
1.2 正交试验设计的基本原理
3
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正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑3ຫໍສະໝຸດ 上一张 下一张 主 页 退 出
1 正交试验设计的概念及原理
2.1 试验方案设计 （1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么 问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确 定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。
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1.3.2.3 综合可比性 （1）任一列的各水平出现的次数相等； （2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素
各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效 果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比 较该因素不同水平对试验指标的影响情况。
根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分 散和整齐可比的特点。
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位， 当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵 消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有 综合可比性。
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如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可
利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就
能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找 出最佳的生产条件。
1.2 正交试验设计的基本原理
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正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑3ຫໍສະໝຸດ 上一张 下一张 主 页 退 出
1 正交试验设计的概念及原理
3 正交实验设计
一般实验，取3个水平可看出变化规律 例3-1中，对每个因素选三个水平分别为
A: A1 = 50 ℃, A2 = 60 ℃, A3 = 70 ℃ B: B1 = 40 min, B2 = 50 min, B2 = 60 min C: C1 = 5 %, C2 = 6 %, C3 = 7 %
L8(27)表的交互作用表
列号 列号
1
（1）
2
3
3
2
4
5
5
4
6
7
7
6
（2）
1
（3）
6
7 （4）
7
6 1 （5）
4
5 2 3 （6）
5
4 3 2 1
使用交互作用表安排具有交互作用的试验因素 时，需要将两个因素的交互作用当作一个新的 因素，占用一列，称为交互作用列
1.3 混合型正交表
各列水平数不相同的正交表，称为混合 水平正交表 试验设计中常用由两组不相同的水平数 组成的混合型正交表，记为Ln(m1a×m2b)
正交试验设计的基本思想
均衡搭配
综合比较
综合比较
为了比较因素A两水平的好坏： 把四个试验分为两组：
A1B1C1 A1B2C2 A2B1C2 A2B2C1
第一组两个试验的结果分别为y1、y3； 第二组两个试验的结果分别为y2、y4。 为要比较A1与A2的优劣，可比较(y1 + y3) 与(y2 + y4)的大小。
解决方案
两两比较，最多10次 分为6组，每组2个，最多6次 分为3组，每组4个，最多3次
可以看出，试验是需要设计的，如果试验 方案选择的好，试验次数就可以减少。我 们把设计试验方案的学问叫做试验设计
第三章 正交试验设计
因素水平表
第三步选择正交表 可选择正交表L9（34）安排正交试验，将
A、B、C三个因素安排在前3列，见下表。
正交表L9（34）
第四步安排试验及试验结果
第五步试验结果分析
直观分析 极差分析 方差分析
直观分析
直观分析就是找正交表中安排的9次试验中 好的试验条件。本例试验目的是降低启动 压力，所以压力越小越好，即第3号试验的 试验条件在9次试验中是最好的。试验条件 是A1B3C3，压缩量为6%，粗糙度为0.8， 内径大小28。
二战后实验设计法在工业中得到推广和应用； 日本学者田口玄一首先将实验设计成功得应用于
新产品的开发。对于一些复杂的过程和产品，利 用实验设计法合理的选择适当的参数，可以大大 改善产品功能目标值的稳定性，即所谓稳健性设 计； 20世纪70年代初期，我国着名数学家华罗庚带 头在我国推广实验设计法。
三、实验设计法
设计质量管理——试验设计
质量管理中，经常会遇到多因素、有误差、 周期长之类试验，希望解决以下问题：
1. 对质量指标的影响，哪些因素较重要？ 2. 每个因素取什么水平为好？ 3. 各个因素按什么水平搭配较好？ 试验设计是处理这类试验问题的一种简便易
行、行之有效的方法。
产品开发的三个阶段
顾客 要求
系统设计 容差设计
第二节单指标正交试验设计
正交表 正交试验设计
一、正交表
正交表为试验设计表的一类，具有较强的 代表性。
正交表的符号表示为：L a(b c) 其中：L----正交试验表的代号 a----正交表的试验次数 b----正交试验的水平数 c---- 正交试验的因素数 N=bc--- 全因子试验次数（即全部的因素和
参数设计
稳定性好 的产品
存在交互作用的正交试验设计
方案，考察的指标是稀土元素的提取量。 • 根据生产经验，影响从矿物质中提取稀土元素的因素为
酸用量、水用量、反应时间和有、无添加剂四个因素， 每个因素取二个水平，制定因素水平表。
因素水平表
根据专业知识分析，对指标的影响除因素 A、B、C、D外，尚要考察交互作用A×B， A×C，B×C，（假定因素D不存在交互作 用，否则会产生正交表的混杂，因为第2 列和第7列的交互作用也在第5列，即A×C 和B×D在同一列）所以构成一个相当于7 因素二水平的正交试验。
试验方案及试验结果统计表
对试验结果进行分析
• 对于存在交互作用的正交试验，必须首先 明确各因素（包括交互作用列）对指标的 影响顺序，因为各因素选取适宜水平时可 能会存在矛盾，所水 平组合。本例中，根据极差的大小可知因 素的显著性顺序为： A,B,A×C,D,C,A×B,B×C。由此可见， A,B,A×C是影响指标的显著性因素，应作 为选取适宜水平组合重点考察的因素。
质量管理学
1
存在交互作用的正交试验设计
• 因素与因素之间联合搭配起来对试验指标产生的作用称 为交互作用，用A×B表示因素A与因素B的交互作用。
• 因素之间存在交互作用的例子是很多的。例如，某些合 金单独加入元素A时性能变化不大，单独加入元素B时 性能变化也不大，但两种元素同时加入时，合金性能的 变化就特别显著。这就说明元素A与B联合搭配起来对 合金性能具有交互作用。
• 不管是直接比较还是通过计算，因素A,B都 应该选取1水平。下面就要考虑A×C如何搭 配。一般采用一个二元分析表确定 。
从上表的分析可知，A1C2搭配后的平均提取率最高， 是因素A、C的最好的组合。至于因素D，因为没有交 互作用，通过计算知道因素D应选取水平2。
该正交试验的适宜的因素水平组合为A1B1C2D2。
酸用量、水用量、反应时间和有、无添加剂四个因素， 每个因素取二个水平，制定因素水平表。
因素水平表
根据专业知识分析，对指标的影响除因素 A、B、C、D外，尚要考察交互作用A×B， A×C，B×C，（假定因素D不存在交互作 用，否则会产生正交表的混杂，因为第2 列和第7列的交互作用也在第5列，即A×C 和B×D在同一列）所以构成一个相当于7 因素二水平的正交试验。
试验方案及试验结果统计表
对试验结果进行分析
• 对于存在交互作用的正交试验，必须首先 明确各因素（包括交互作用列）对指标的 影响顺序，因为各因素选取适宜水平时可 能会存在矛盾，所水 平组合。本例中，根据极差的大小可知因 素的显著性顺序为： A,B,A×C,D,C,A×B,B×C。由此可见， A,B,A×C是影响指标的显著性因素，应作 为选取适宜水平组合重点考察的因素。
质量管理学
1
存在交互作用的正交试验设计
• 因素与因素之间联合搭配起来对试验指标产生的作用称 为交互作用，用A×B表示因素A与因素B的交互作用。
• 因素之间存在交互作用的例子是很多的。例如，某些合 金单独加入元素A时性能变化不大，单独加入元素B时 性能变化也不大，但两种元素同时加入时，合金性能的 变化就特别显著。这就说明元素A与B联合搭配起来对 合金性能具有交互作用。
• 不管是直接比较还是通过计算，因素A,B都 应该选取1水平。下面就要考虑A×C如何搭 配。一般采用一个二元分析表确定 。
从上表的分析可知，A1C2搭配后的平均提取率最高， 是因素A、C的最好的组合。至于因素D，因为没有交 互作用，通过计算知道因素D应选取水平2。
该正交试验的适宜的因素水平组合为A1B1C2D2。
有交互作用的正交设计
有交互作用的正交设计交互作用的正交设计（Orthogonal Design of Experiments with Interaction Effects）正交设计是一种非常常见和有用的实验设计方法，用于研究变量之间的关系。
在正交设计中，每个变量都有一组不同的水平，并且每个水平都与其他变量的水平组合在一起。
通过这种方式，可以确定主效应和交互作用效应对实验结果的影响。
交互作用指的是两个或多个变量之间的关系，其组合效应不能通过各自的主效应来解释。
简而言之，当两个或多个变量同时改变时，它们的效应不仅仅是各自效应的简单相加，而是相互作用产生的新效应。
交互作用在实验设计中非常重要，因为它们可以提供有关变量之间复杂关系的信息。
例如，考虑一种新的药物治疗，它的有效性可能取决于患者的年龄和性别。
如果年龄和性别之间存在交互作用，那么只有通过考虑两者的组合效应，才能准确评估药物治疗的效果。
正交设计是一种有效的方法，可以同时考虑主效应和交互作用。
在正交设计中，变量的水平组合被设计为满足正交性的特性。
正交性表示每个变量的水平都与其他变量的水平均匹配，并且每个水平组合只考虑一次。
正交设计的一个重要特点是，它可以通过较少的实验次数来获得详尽的信息。
使用正交设计，可以选择更少的实验次数，并且仍然能够准确估计主效应和交互作用效应。
这是因为正交设计可以最大化实验因素的独立性，从而减少了实验结果的噪声和混淆。
为了说明正交设计的原则和应用，我们可以考虑一个简单的例子。
假设我们要研究两个变量A和B对一些响应变量Y的影响，并且我们认为A和B之间可能存在交互作用。
首先，在正交设计中，我们需要确定每个变量的水平数。
通常情况下，水平数应为2的幂次，例如2、4、8等。
然后，我们可以使用正交表来确定每个变量水平的组合。
正交表是一种矩阵，其中每一行表示每个变量的水平组合。
每行之间的组合是正交的，即每个变量水平的组合只出现一次。
假设我们选择了2个水平数，那么正交表可能如下所示：AB--111-1-11-1-1在这个例子中，A和B各有两个水平，正交表列出了所有可能的组合。
有交互作用的正交试验设计小结及思考
有交互作用的正交试验设计小结及思考一、背景介绍正交试验设计是一种常用的实验设计方法，它可以在有限的试验次数内，通过系统地变化试验因素，确定影响试验结果的关键因素，并对其进行优化。
在实际应用中，为了更好地探究因素之间的交互作用，研究人员通常会采用有交互作用的正交试验设计。
二、有交互作用的正交试验设计概述有交互作用的正交试验设计是指在正交表中设置了考虑不同因素之间相互影响的相互作用项。
这种设计方法可有效地探究不同因素之间的相互作用关系，并进一步优化试验结果。
三、有交互作用的正交试验设计步骤1. 确定研究目标和问题；2. 确定需要考虑的各个因素及其水平；3. 确定正交表类型和大小；4. 建立实验方案并进行实施；5. 分析实验数据并得出结论。
四、有交互作用的正交试验设计优点1. 可以减少实验次数，提高效率；2. 可以有效地探究不同因素之间相互影响关系；3. 可以进一步优化试验结果，提高研究效果。
五、有交互作用的正交试验设计注意事项1. 正确选择正交表类型和大小，以保证实验结果的准确性；2. 合理设置交互作用项，以探究不同因素之间的相互作用关系；3. 严格控制实验条件，以保证实验数据的可靠性。
六、有交互作用的正交试验设计应用案例某研究团队在开发一种新型材料时采用了有交互作用的正交试验设计。
他们首先确定了需要考虑的各个因素及其水平，并选择了适合自己需求的正交表类型和大小。
接着，他们建立了实验方案并进行实施，在分析实验数据后得出结论：通过优化各个因素之间的相互关系，可以显著提高新型材料的性能。
七、有交互作用的正交试验设计思考1. 在进行有交互作用的正交试验设计时，如何确定需要考虑的各个因素及其水平？2. 有哪些常见错误会影响到有交互作用的正交试验设计结果？3. 在进行有交互作用的正交试验设计时，如何合理设置交互作用项，以探究不同因素之间的相互作用关系？4. 有交互作用的正交试验设计在哪些领域有着广泛的应用？。
《化工技术基础实验》课件-第三章正交试验法
投曲量w/%
八、正交试验结果的方差分析法
★适宜操作条件 发酵时间取4水平:72h
初始pH值取1水平: pH=4 投曲量取2水平: 10% 发酵温度:20～50℃ ★ 进一步试验方向
发酵时间＞72h 投曲量＞10% 效果怎样? 方差分析与极差分析的比较: ①在方差分析中必须有不安排因素或交互作用的空列，作为误 差列；②在极差分析中以极差大小确定因素或交互作用的重要 性，而在方差分析中，以各因素的显著程度决定因素或交互作 用的显著程度。
1
三种方案 数据点的分布
全面搭配法 简单比较法
正交设计正法交的实数验据法点分布
正交试验法能回答的问题:
用正交表做实验,除了搭配均衡、实验次数少之 外，还可以回答以下问题: ▲ 因素的主次，即各因素对指标影响的哪个大
哪个小； ▲ 指标随因素取不同水平的变化规律； ▲ 适宜的操作条件； ▲ 进一步的实验方向。
接上表
列号 1 试验号 T
2
3
456 789
总酸度/ %
τ
pH e e e e e w
y
9
3
1
3 122 22
1
12.08
(30) (12) (5)
(5%)
10
3
2
4 121 11
2
13.13
(30) (24) (4)
(10%)
11
3
3
1 212 21
2
8.03
(30) (48) (7)
(10%)
大于所考察的因素和交互作用列；用极差法分析 实验结果时，正交表的列数要大于或等于因素和 交互作用列。 ★对试验精度要求高的，要选实验次数多的大表。
五、正交表的表头设计
第三章 正交试验设计(3)-有交互作用的正交设计
例3.5： 某厂一种零件镀锌前需要酸洗除锈。为提高效 率（缩短酸洗时间）采用正交试验寻求最佳酸洗 液配方。考虑交互作用A*B 、B*C、A* C。
酸洗因素水平表
因 素 水
A H2SO4 （克/升）
B CH4N2S （克/升）
C 洗剂液 （克/升）
平
1
300
12
70
2
200
4
100
L8(27)正交表的交互作用表
20.50
24.75
25.50
24.75
25.50
23.75
26.50
26.75
23.50
Rj 主次
3.25
9.25
0.75
0.75
2.75
3.25
B、B × C、A、A × C、A×B、C
试验结果直观分析
因素主次：B、B × C、A、A × C、A×B、C
A*C水平搭配表
C1 A1 (Y1+Y3)/2=25 C2 (Y2+Y4)/2=28.5
（ 如：fA＝A的水平数－1）
交互作用自由度，如fA×B＝ fA × fB
避免混杂现象
• 混杂现象：在进行表头设计时，若一列上出现两个因 子，或两个交互作用，或一个因子与一个交 互作用时，称为混杂现象，简称“混杂” 。
•表头设计的一个重要原则： 表头设计时要尽量避免混杂
现象的出现。 这是因为，当混杂现象所在列显著时，很难识别是 哪个因子（或交互作用）是显著的。
（3）不显著的因素，其水平可任选，亦可按成本较低 原则选取。
正交表的选用原则
基本原则：要考察的因素及交互作用的自由度总和不 大于正交表的总自由度。 即： f总≥ fA＋ fB＋ fC＋…＋fA × B＋fB × C＋fA × C＋…
具有交互作用的正交试验设计
如三因素四水平 43 并包括第一、二个因素的交互
作用的正交试验至少应安排的试验次数为3(4-1)+(41)(4-1)+1=19. 又如安排43×23的混合水平的正交试验至少应安排 3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验.
若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试
验则至少应安排的试验次数为 3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.
对2因素2水平的正交表，因为：fA＝fB＝ 2－1＝１，每
列只有一个自由度；而 以也占一列。 fA×B＝fA×fB ＝1×1＝1，所
对于2 因素3水平， fA＝fB＝ 3－1＝2，每列有2个自由度；
而 fA×B＝fA×fB ＝2×2＝4，由于交互作用列有4个自由度，而 每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。
6
7 8
2
2 2
1
2 2
2
1 1
2
1 2
1
2 1
2
2 1
1
1 2
124
79 61
K1 K2 k1 k2 极差R 主次顺序 优水平 优组合
279 386 69.75 96.50 26.75
339 326 84.75 81.50 3.25
233 432 58.25 108.00 49.75
二元表 353
n-1。自由度表示的是一组数据可以自由变化的数量的
多少。
通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为 80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。 你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说， 因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。
第3章正交试验设计讲义
例如因素A的平方和: 1 2 1 2 2 ss A ( K11 K 21 K31 ) P (248.38 344.84 976.56) 477.86 45.4 3 3 同理可得: SSB=6.49，SSC=0.31 , SSe =0.83（空列）
河南工业大学
自由度的计算:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 25. 18 21. 41 18. 99
1 2 3 2 3 1 3 1 2 22. 65 21. 45 21. 48
1 2 3 3 1 2 2 3 1 20. 74 21. 87 22. 97
6. 25 4. 97 4. 54 7. 53 5. 54 5. 50 11. 4 10. 9 8. 95
注： 平方和与F统计值的大小不可用来决定因素或交互作用的主 次顺序。
河南工业大学
5. 方差分析表
方差来源 平方和 自由度
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
均方
SA fA S SB B fB SA
F值
FA S A Se FB SB Se
显著性
为弥补极差分析法的不足,可以借助于假设检验的思想,利 用方差分析的方法对正交试验的结果进行分析和处理, 并确定 试验的误差以及各因素对试验指标的影响程度。 方差分析基本思想就是将试验数据的总波动(总变异)分解 为由因素引起的波动(变异)和由误差引起的波动(变异)这两部 分,然后利用假设检验的方法来判断因素作用是否显著。
A →B→C A3 B1 C1
见ExceL程序.
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(3) 方差分析的相关计算
修正值的计算:
m
试验设计与数据处理
DOE正交试验设计
②再根据因子的个数及交互作用个数确定具体的表 ③把因子放到表的列上去，但是要先放有交互作用
的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用 所在列，以便于今后的数据分析。 ④把放因子列中的数字改为因子的真实水平，便成 为一张试验计划表
L8（27）的交互作用表
列
号 1234567
(1) 3 2 5 4 7 6
正交试验设计
正交试验设计
一、正交试验设计的基本概念 二、无交互作用的正交试验设计 三、有交互作用的正交试验设计 四、有重复试验的正交试验设计 五、水平不等的试验设计
一、 基本概念
多因素试验遇到的最大困难是试验次数太 多，若十个因素对产品质量有影响，每个因 素取两个不同状态进行比较，有210=1024、
常用的正交表有两大类
(1) 一类正交表的行数n，列数p，水平数q
n=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1) 如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等。 这类正交表可以考察因子间交互作用。 (2) 另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足 上述的两个关系，不能用于考查交互作用。 如： L12(211)， L18(37)，L36(313)等。
70 60
B1
B1
B1
B2
A1 A2
A1 A2 A1 A2
-
• • •
•
头选 考水确 明 明
设用 察平定 确 确
3
计合 的
试试 试
适 交并验 验 验 列的 互确中 指 目 出正 作定所 标 的
2试 验
试交 用可考
设
验表
能虑
计
存的
划进
在因
计 步
行
并子
的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用 所在列，以便于今后的数据分析。 ④把放因子列中的数字改为因子的真实水平，便成 为一张试验计划表
L8（27）的交互作用表
列
号 1234567
(1) 3 2 5 4 7 6
正交试验设计
正交试验设计
一、正交试验设计的基本概念 二、无交互作用的正交试验设计 三、有交互作用的正交试验设计 四、有重复试验的正交试验设计 五、水平不等的试验设计
一、 基本概念
多因素试验遇到的最大困难是试验次数太 多，若十个因素对产品质量有影响，每个因 素取两个不同状态进行比较，有210=1024、
常用的正交表有两大类
(1) 一类正交表的行数n，列数p，水平数q
n=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1) 如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等。 这类正交表可以考察因子间交互作用。 (2) 另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足 上述的两个关系，不能用于考查交互作用。 如： L12(211)， L18(37)，L36(313)等。
70 60
B1
B1
B1
B2
A1 A2
A1 A2 A1 A2
-
• • •
•
头选 考水确 明 明
设用 察平定 确 确
3
计合 的
试试 试
适 交并验 验 验 列的 互确中 指 目 出正 作定所 标 的
2试 验
试交 用可考
设
验表
能虑
计
存的
划进
在因
计 步
行
并子
有交互作用的正交试验设计
经济生活与数学
第四单元 经济生活的交互作用
课程第四单元 经济生活的交互作用（共四讲）
目录
CONTENTS
课程第一单元
●第一讲 § 4.1什么是交互作用 ●第二讲 §4.2几个常见的交互作用 ●第三讲 §4.3交互作用的检验 ●第四讲 § 4. 4 有交互作用的正交试验设计
经济生活与数学
第四单元 经济生活的交互作用 第四讲 有交互作用的正交试验设计
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8
A(温度)
1(600C) 1(600C) 1(600C) 1(600C) 2(800C) 2(800C) 2(800C) 2(800C)
B(时间)
1(2.5) 1(2.5) 2(3.5) 2(3.5) 1(2.5) 1(2.5) 2(3.5) 2(3.5)
C(配比)
346 333 86.50 83.25
A×B
C
D
1 1 2 2 2 2 1 1 330 349 82.50 87.25
1（1.1/1） 2（1.2/1） 1（1.1/1） 2（1.2/1） 1（1.1/1） 2（1.2/1） 1（1.1/1） 2（1.2/1）
328 351 82.00
87.75
1(500) 2(600) 2(600) 1(500) 2(600) 1(500) 1(500) 2(600)
(83+89)/2=86.0
A2
(86+91)/2=88.5
(78+83)/2=80.5
有交互作用的正交试验设计
从表中可知A2B1搭配最优,所以A应取A2 水 平，B应取B1水平(这与单独考虑因素B时的结 论一致).对最次要因素D可以从二个水平中任 取一个，但取D2稍为好些.综合前得：A2B1C2D2 为最佳生产条件，A2B1C2D1 也是较好生产条件 (为第6号试验). 由于最佳生产条件 A2B1C2D2 不 在8次试验中，对它要进一步试验，将试验结 果与第6号试验比较.从而确定最佳生产条件.
第四单元 经济生活的交互作用
课程第四单元 经济生活的交互作用（共四讲）
目录
CONTENTS
课程第一单元
●第一讲 § 4.1什么是交互作用 ●第二讲 §4.2几个常见的交互作用 ●第三讲 §4.3交互作用的检验 ●第四讲 § 4. 4 有交互作用的正交试验设计
经济生活与数学
第四单元 经济生活的交互作用 第四讲 有交互作用的正交试验设计
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8
A(温度)
1(600C) 1(600C) 1(600C) 1(600C) 2(800C) 2(800C) 2(800C) 2(800C)
B(时间)
1(2.5) 1(2.5) 2(3.5) 2(3.5) 1(2.5) 1(2.5) 2(3.5) 2(3.5)
C(配比)
346 333 86.50 83.25
A×B
C
D
1 1 2 2 2 2 1 1 330 349 82.50 87.25
1（1.1/1） 2（1.2/1） 1（1.1/1） 2（1.2/1） 1（1.1/1） 2（1.2/1） 1（1.1/1） 2（1.2/1）
328 351 82.00
87.75
1(500) 2(600) 2(600) 1(500) 2(600) 1(500) 1(500) 2(600)
(83+89)/2=86.0
A2
(86+91)/2=88.5
(78+83)/2=80.5
有交互作用的正交试验设计
从表中可知A2B1搭配最优,所以A应取A2 水 平，B应取B1水平(这与单独考虑因素B时的结 论一致).对最次要因素D可以从二个水平中任 取一个，但取D2稍为好些.综合前得：A2B1C2D2 为最佳生产条件，A2B1C2D1 也是较好生产条件 (为第6号试验). 由于最佳生产条件 A2B1C2D2 不 在8次试验中，对它要进一步试验，将试验结 果与第6号试验比较.从而确定最佳生产条件.
正交试验设计(PPT 19页)
例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷肥
和氮肥，其产量如下：
可以看出
当施氮肥和不施氮肥时，施以4公斤磷肥后的增产数量是不同的 当施磷肥和不施磷肥时，施以6公斤氮肥后的增产数量是不同的6 若N, P分别起作用时增产为50, 30kg。但同时施时其效果并不是
4 正交表的性质
二 挑升温因速素度、A 选恒温水温平度、B 制恒温定时因间素C 水降平温速表度D
1 300C晶/小体时退火6工00艺0C 试验因6小素时水平表1.5安培
因素
2水平 500C/小时
4500C
2小时
1.7安培
3 1000C/小时 5000C * 4小时 *150C/小时 *
*
10
晶体退火工艺试验安排及试验结果分析表
1 合理安排试验，减少实验次数，当因素越多时，正交
试验设计的这一优越性越突出 2 在众多影响因素中，分清因素主次，抓住主要矛盾 3 正交试验设计是掌握各影响因素与产品质量指标之间
关系的有效手段，为生产过程的质量控制提供有利的条件 4 找出最优的设计参数和工艺条件 5 指出进一步试验方向
3
三 正交表及其特点
2 因素 ● 定义：在试验中，影响试验结果的试验条件称为因素 ● 分类：可控因素：在试验中可以人为地加以调节和控制的因素。 不可控因素：由于自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人
们控制和调节的因素。如气温、降雨量等
● 在正交试验中，所考察的因素都是可控因素，被考察因素通常以大写英文字 母A、B、C…表示。
12
六 试验结果分析
1 计算试验结果总和
2 对每一列计算每个水平的试验结果总和Байду номын сангаасij Tij——第j列第i水平的试验结果之和
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（3）不显著的因素，其水平可任选，亦可按成本较低 原则选取。
正交表的选用原则
基本原则：要考察的因素及交互作用的自由度总和不 大于正交表的总自由度。 即： f总≥ fA＋ fB＋ fC＋…＋fA × B＋fB × C＋fA × C＋…
注：
（1）正交表总自由度f总＝试验次数－1；
（2）每因素自由度＝各因素水平数－1；
•当出现混杂现象时，只要选择较大的正交表就可以避免了，譬 如选用 L16(215)，表头设计如下：
表头设计 A 列号 B A×B C D C×D
1 2
3
4
5
6 7
8
9 10 11
12 13 14 15
•在表上有多个空白列时，为避免可能存在的交互作用，可以首 先将因子放在各组的第一列（也称为基本列） 。 如： - L8 (2 ) 的基本列是 1，2，4 列， - L16 (2 ) 的基本列是 1，2，4，8 列。
1
2 3 4 5 6 7 8 Kj1 Kj2
1（300）
1 （300） 1 （300） 1 （300） 2（200） 2（200） 2（200） 2（200） 107 94
1（12）
1（12） 2（4） 2（4） 1（12） 1（12） 2（4） 2（4） 119 82
1
1 2 2 2 2 1 1 99 102
例3.5： 某厂一种零件镀锌前需要酸洗除锈。为提高效 率（缩短酸洗时间）采用正交试验寻求最佳酸洗 液配方。考虑交互作用A*B 、B*C、A* C。
酸洗因素水平表
因 素 水
A H2SO4 （克/升）
B CH4N2S （克/升）
C 洗剂液 （克/升）
平
1
300
12
70
2
200
4
100
L8(27)正交表的交互作用表
例 3.6 给出下列试验的表头设计： （1）A、B、C、D 为二水平因子，且要考察交互作用 A×B、 A×C； （2）A、B、C、D 为二水平因子，且要考察交互作用 A×B、 C×D。 解 （1）由于因子均为二水平的，故选用二水平正交表，又因子与 交互作用的自由度之和为： fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6 故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7，所以选 L8(27)，表头 设计如下： 表头设计 A 列号 1 B 2 A×B 3 C 4 A×C 5 D 6 7
（ 如：fA＝A的水平数－1）
交互作用自由度，如fA×B＝ fA × fB
避免混杂现象
• 混杂现象：在进行表头设计时，若一列上出现两个因 子，或两个交互作用，或一个因子与一个交 互作用时，称为混杂现象，简称“混杂” 。
•表头设计的一个重要原则： 表头设计时要尽量避免混杂
现象的出现。 这是因为，当混杂现象所在列显著时，很难识别是 哪个因子（或交互作用）是显著的。
在正交表上出现这一现象的原因是正交表的构造引起的。
•对等水平的完全正交表来讲 Ln ( q ) ，如果 n q k ，则全部列
p
被分为 k 组，各组的列数分别为 q 0 , q 1 , , q k 1 。 如 L8(27)的列被分成三个组： 第一组：第 1 列 第二组：第 2、3 两列 第三组：第 4、5、6、7 四列 •正交表上有交互作用的两列如果在不同组时， 则其交互作用列 必在组别高的组中，当有交互作用的两列在同一组时，交互 作用必在低组别的组中。 譬如： - 若 A 置于第 1 列，B 置于第 2 列，则 A×B 为第 3 列； - 若 A 置于第 1 列，B 置于第 4 列，则 A×B 为第 5 列； - 若 A 置于第 2 列，B 置于第 3 列，则 A×B 为第 1 列； - 若 A 置于第 4 列，B 置于第 7 列，则 A×B 为第 3 列。
1（70）
2（100） 1（70） 2（100） 1（70） 2（100） 1（70） 2（100） 99 102
1
2 1 2 2 1 2 1 95 106
1
2 2 1 1 2 2 1 107 94
30
32 20 25 32 25 17 20
Kj1（平均）
Kj2（平均）
26.75
23.50
29.75
A2
(Y5+Y7)/2=24.5
(Y6+Y8)/2=22.5
从表中可知A2C2搭配最优
如何确定B*C、A*B最优搭配？
最优组合：A2B2C1
水平选取总结
交互作用正交试验最佳水平组合选择：
（1）对显著因素，最佳水平可通过比较各水平下的指 标数据均值或数据和得到；
（2）对显著交互作用，先计算两因素水平所有水平搭 配下数据均值，再通过比较得出哪种水平组合为好；
例3.4：在大豆试验田内施用氮肥和磷肥， 亩产量如下表：
磷肥 氮肥 P1＝0 P2＝4
N1＝0 N2＝6
400 430
450 560
交互作用：（560-400）－(450-400)－(430－400)
=160－50－30
＝80（斤）
因子A与B的交互作用示意图
B2
B2
B1
B1 B1 B2
A1
A2
A1
（2）由于因子均为二水平的，故仍选用二水平正交表，又因子 与交互作用的自由度之和为 6，故所选正交表的行数应满 足：n≥6+1=7，但 L8(27)无法安排这四个因子与两个交互 作用，因为不管四个因子放在哪四列上，两个交互作用或 一个因子与一个交互作用总会共用一列，从而产生混杂， 譬如： 表头设计 列号 A 1 B 2 A×B C×D 3 C 4 5 6 D 7
20.50
24.75
25.50
24.75
25.50
23.75
26.50
26.75
23.50
Rj 主次
3.25
9.25
0.75
0.75
2Hale Waihona Puke 753.25B、B × C、A、A × C、A×B、C
试验结果直观分析
因素主次：B、B × C、A、A × C、A×B、C
A*C水平搭配表
C1 A1 (Y1+Y3)/2=25 C2 (Y2+Y4)/2=28.5
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：李兵
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
有交互作用的正交设计
交互作用：
一个因子的水平好坏或好坏的程度受 另一因子水平制约的情况，称为因子A与B 的交互作用，记为A×B或AB。
15 7
•当“所考察的因子与交互作用自由度之和=n－1”时，表 的各列都被排满了，这便成了饱和设计，那么此时的处 理办法有： 进行重复试验后进行方差分析； 如上改用较大的正交表，补充做一些试验； 将平方和较小的列看作误差列； 作为饱和设计进行分析。
… Continue
A2
A1
A2
a. 无交互作用
b. 有（正向）交互作用
c. 有（反向）交互作用
因子间的交互作用随着因子个数的增加而增加。如四个 因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类： 二级交互作用有6个：AB，AC，AD，BC，BD，CD 三级交互作用有4个：ABC，ABD，ACD，BCD 四级交互作用1个：ABCD 共有11个，比因子个数还多。实际经验表明，多数交互作 用是不存在的或很小以至可以忽略不计，实际中主要考虑 部分二级交互作用，具体考察哪些二级交互作用还要依赖 专业知识来决定。
列号 1
（1）
2
3 （2）
3
2 1 （3）
4
5 6 7 （4）
5
4 7 6 1 （5）
6
7 4 5 2 3 （6）
7
6 5 4 3 2 1
表头设计
列号 因素
1 A
2 B
3 A×B
4 C
5
6
7 空
A× C B× C
因素 试验号
1 A
2 B
3 A×B
4 C
5 A× C
6 B×C
试验指标 酸洗时间Y （分）
正交表的选用原则
基本原则：要考察的因素及交互作用的自由度总和不 大于正交表的总自由度。 即： f总≥ fA＋ fB＋ fC＋…＋fA × B＋fB × C＋fA × C＋…
注：
（1）正交表总自由度f总＝试验次数－1；
（2）每因素自由度＝各因素水平数－1；
•当出现混杂现象时，只要选择较大的正交表就可以避免了，譬 如选用 L16(215)，表头设计如下：
表头设计 A 列号 B A×B C D C×D
1 2
3
4
5
6 7
8
9 10 11
12 13 14 15
•在表上有多个空白列时，为避免可能存在的交互作用，可以首 先将因子放在各组的第一列（也称为基本列） 。 如： - L8 (2 ) 的基本列是 1，2，4 列， - L16 (2 ) 的基本列是 1，2，4，8 列。
1
2 3 4 5 6 7 8 Kj1 Kj2
1（300）
1 （300） 1 （300） 1 （300） 2（200） 2（200） 2（200） 2（200） 107 94
1（12）
1（12） 2（4） 2（4） 1（12） 1（12） 2（4） 2（4） 119 82
1
1 2 2 2 2 1 1 99 102
例3.5： 某厂一种零件镀锌前需要酸洗除锈。为提高效 率（缩短酸洗时间）采用正交试验寻求最佳酸洗 液配方。考虑交互作用A*B 、B*C、A* C。
酸洗因素水平表
因 素 水
A H2SO4 （克/升）
B CH4N2S （克/升）
C 洗剂液 （克/升）
平
1
300
12
70
2
200
4
100
L8(27)正交表的交互作用表
例 3.6 给出下列试验的表头设计： （1）A、B、C、D 为二水平因子，且要考察交互作用 A×B、 A×C； （2）A、B、C、D 为二水平因子，且要考察交互作用 A×B、 C×D。 解 （1）由于因子均为二水平的，故选用二水平正交表，又因子与 交互作用的自由度之和为： fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6 故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7，所以选 L8(27)，表头 设计如下： 表头设计 A 列号 1 B 2 A×B 3 C 4 A×C 5 D 6 7
（ 如：fA＝A的水平数－1）
交互作用自由度，如fA×B＝ fA × fB
避免混杂现象
• 混杂现象：在进行表头设计时，若一列上出现两个因 子，或两个交互作用，或一个因子与一个交 互作用时，称为混杂现象，简称“混杂” 。
•表头设计的一个重要原则： 表头设计时要尽量避免混杂
现象的出现。 这是因为，当混杂现象所在列显著时，很难识别是 哪个因子（或交互作用）是显著的。
在正交表上出现这一现象的原因是正交表的构造引起的。
•对等水平的完全正交表来讲 Ln ( q ) ，如果 n q k ，则全部列
p
被分为 k 组，各组的列数分别为 q 0 , q 1 , , q k 1 。 如 L8(27)的列被分成三个组： 第一组：第 1 列 第二组：第 2、3 两列 第三组：第 4、5、6、7 四列 •正交表上有交互作用的两列如果在不同组时， 则其交互作用列 必在组别高的组中，当有交互作用的两列在同一组时，交互 作用必在低组别的组中。 譬如： - 若 A 置于第 1 列，B 置于第 2 列，则 A×B 为第 3 列； - 若 A 置于第 1 列，B 置于第 4 列，则 A×B 为第 5 列； - 若 A 置于第 2 列，B 置于第 3 列，则 A×B 为第 1 列； - 若 A 置于第 4 列，B 置于第 7 列，则 A×B 为第 3 列。
1（70）
2（100） 1（70） 2（100） 1（70） 2（100） 1（70） 2（100） 99 102
1
2 1 2 2 1 2 1 95 106
1
2 2 1 1 2 2 1 107 94
30
32 20 25 32 25 17 20
Kj1（平均）
Kj2（平均）
26.75
23.50
29.75
A2
(Y5+Y7)/2=24.5
(Y6+Y8)/2=22.5
从表中可知A2C2搭配最优
如何确定B*C、A*B最优搭配？
最优组合：A2B2C1
水平选取总结
交互作用正交试验最佳水平组合选择：
（1）对显著因素，最佳水平可通过比较各水平下的指 标数据均值或数据和得到；
（2）对显著交互作用，先计算两因素水平所有水平搭 配下数据均值，再通过比较得出哪种水平组合为好；
例3.4：在大豆试验田内施用氮肥和磷肥， 亩产量如下表：
磷肥 氮肥 P1＝0 P2＝4
N1＝0 N2＝6
400 430
450 560
交互作用：（560-400）－(450-400)－(430－400)
=160－50－30
＝80（斤）
因子A与B的交互作用示意图
B2
B2
B1
B1 B1 B2
A1
A2
A1
（2）由于因子均为二水平的，故仍选用二水平正交表，又因子 与交互作用的自由度之和为 6，故所选正交表的行数应满 足：n≥6+1=7，但 L8(27)无法安排这四个因子与两个交互 作用，因为不管四个因子放在哪四列上，两个交互作用或 一个因子与一个交互作用总会共用一列，从而产生混杂， 譬如： 表头设计 列号 A 1 B 2 A×B C×D 3 C 4 5 6 D 7
20.50
24.75
25.50
24.75
25.50
23.75
26.50
26.75
23.50
Rj 主次
3.25
9.25
0.75
0.75
2Hale Waihona Puke 753.25B、B × C、A、A × C、A×B、C
试验结果直观分析
因素主次：B、B × C、A、A × C、A×B、C
A*C水平搭配表
C1 A1 (Y1+Y3)/2=25 C2 (Y2+Y4)/2=28.5
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：李兵
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
有交互作用的正交设计
交互作用：
一个因子的水平好坏或好坏的程度受 另一因子水平制约的情况，称为因子A与B 的交互作用，记为A×B或AB。
15 7
•当“所考察的因子与交互作用自由度之和=n－1”时，表 的各列都被排满了，这便成了饱和设计，那么此时的处 理办法有： 进行重复试验后进行方差分析； 如上改用较大的正交表，补充做一些试验； 将平方和较小的列看作误差列； 作为饱和设计进行分析。
… Continue
A2
A1
A2
a. 无交互作用
b. 有（正向）交互作用
c. 有（反向）交互作用
因子间的交互作用随着因子个数的增加而增加。如四个 因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类： 二级交互作用有6个：AB，AC，AD，BC，BD，CD 三级交互作用有4个：ABC，ABD，ACD，BCD 四级交互作用1个：ABCD 共有11个，比因子个数还多。实际经验表明，多数交互作 用是不存在的或很小以至可以忽略不计，实际中主要考虑 部分二级交互作用，具体考察哪些二级交互作用还要依赖 专业知识来决定。
列号 1
（1）
2
3 （2）
3
2 1 （3）
4
5 6 7 （4）
5
4 7 6 1 （5）
6
7 4 5 2 3 （6）
7
6 5 4 3 2 1
表头设计
列号 因素
1 A
2 B
3 A×B
4 C
5
6
7 空
A× C B× C
因素 试验号
1 A
2 B
3 A×B
4 C
5 A× C
6 B×C
试验指标 酸洗时间Y （分）