13.4课题学习最短路径问题

C
D
C′
D′
E E′
B
小试牛刀
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交
于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
C
则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD=FD′,
A DF
C′ D ′
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，
A
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. 由平移性质可知：
A1
M
AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
N
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
综合演练
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为 AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为600米，则牧童 从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 1200 米.
那么怎样确定什么情况下最短呢？ ●A
M N 折
M
N
?
●B
移
合作探究
思考1：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？
什么图形变换能帮助我们呢？
A
如图，平移A到A1，使AA1等于 A1 河宽，连接A1B交河岸于N作
桥MN，此时路径AM+MN+BN最
短.
M Ｍ１
N B
合作探究
思考2：你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？
D．不能确定
合作探究
问题2、 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥 造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要 与河垂直）？
A
A
M
抽象成
a
N B
b B
所求问题：在a、b上分别求作M、N,使AM+MN+NB最短问题.
合作探究
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，
Ｍ１
Ｎ１ B
合作探究
解决最短路径问题的方法: 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把 未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
小试牛刀
1、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经 两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南 北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
情境导入
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节我们将通过探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥 选址问题”，来体会 如何运用所学知识选择最短路径。
①
②
A
③B
P
A BC
Dl
BC =B′C，BC′=B′C′．
A
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
C C′
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B
l B′
小试牛刀
1、如图，直线l是一条街道，P、Q是两所学校.欲在l上的某处修建一个水泵站，向
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
回顾旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A
③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线
段中，哪条最短？为什么？
连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最 短”，可知这个交点即为所 求.
A C
l B
合作探究
思考2： 那么当点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
B
开动脑筋：我们如何将点B“移”
到l 的另一侧B′处，满足直线l
A
上的任意一点C，都保持CB 与CB′
l
的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道
最短的是（ D ）
Q
PHale Waihona Puke Baidu
Q P
MA
l Q
P
B
M Q
l
P
M
l
C
M
l
D
小试牛刀
2、如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=8，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ C ）
A．7.5
B．3
C．8
C
D河
A
B
课堂小结
本节课我们收获了哪些知识？
“将军饮马”和”选址造桥”问题都运用到了哪些知识？
课后作业
课本教材第93页：15题
E E′
GF最小.
BG
综合演练
1、如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，5）和
（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
B′ E
综合演练
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有
合作探究
问题1、 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后
到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
所求问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
合作探究
思考1：由以上问题，我们假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何 在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。
合作探究
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
A
则点C 即为所求．
C
B
l B′
合作探究
思考3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)， 连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，