密码学数学基础课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 即641225 1 16
• 例 求(25733 46)26 mod 50 • 解： • (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 • [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 • 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 • 21 29 (mod 50)， • 即所求的余数是29。
• 由于每个非零整数的因数的个数是有 限的，所以最大公因数是存在的，且是正 整数。
9
最大公因数
• 若(a1, a2, , an) = 1， • 则称a1, a2, , an是互质的； • 若(ai, a j) = 1，1 i, j n，i j， • 则称a1, a2, , an是两两互质的。 • 显然，a1, a2, , an两两互质可以推出(a1,
整数)，则称 a在mod n下与b同余，记为
，
abmond
• 性质：
。
( a b ) m n o (a m (d n ) o ( b m d n )m o )n d od
( a b ) m n o (a m (d n ) o ( b m d n )m o )n d od
( a b ) m n o (a m (d n ) o ( b m d n )m o )n d o
• a = bq r，0 r < b。
(1)
• 此外，ba的充要条件是r=0
6
第二节 素数
• 如果正整数P >1只能被1和它本身整除， 则该数为素数（也叫质数）
• 100以内的素数有25个，分别是2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89和97。
a(n) 1mond
• 当n为素数时，欧拉定理相当于费马定理
22
• 求7803的后三位数字 • 求11803的后三位数字
23
• 思考
• 1、如果今天是星期一，问从今天起再过
•
10 1010 天是星期几？
24
第七节 本原元
• 对于任何互素的两个整数a和n，在方程 • am1mond 中，至少有一个正整数m满
足这一方程（因为 (n) 是其中的一个 解），那么，最小的正整数解m为模n下
此题可以推广为： 推论 (a1, a2, , an) = 1的充要条件是：存
在整数x1, x2, , xn，使得 a1x1 a2x2 anxn = 1。
12
• 欧几里德公式
gca,d b) (gcb,d am ( b o ) d
13
第四节 模运算
• 令整数 a , b 及 n0 ，若 abkn(k为任一
20
• 计算欧拉函数的公式
• 1. 若一个数m可以写成m= p1e1p2e2 ptet
• ( p i 为素数)，则
wk.baidu.com
t
(m) piei1(pi 1)
i1
• 2.对任一正整数m，若其可写成，
•
则 p1e1p2e2 ptet
(m)m(1 1)
Pi
pi
21
• 欧拉定理 • 对于任何互素的两个整数a和n，有
7
• 任何大于1的整数a都可以分解成素数幂 之积，且唯一。
ap 1 a 1 p 2 a 2 p ta t
• 其中，pi为素数，ai为正整数。
8
第三节 最大公因数
• 定义1 设a1, a2, , an是n（n≥2）个整数， 若整数d是它们之中每一个的因数，则d就 叫做a1, a2, , an的一个公因数；其中最大 的一个公因数叫做a1, a2, , an的最大公因 数。记为(a1, a2, , an)。
14
• 例（7+9）mod11 • （7×9）mod11 • 计算 97 mod 13 • 证明 13200-1 是51的倍数
15
• 例 说明 225 1是否被641整除。
•解： • 22 4，24 16，28 256，216 154，232
1 (mod 641)。
• 因此 225 1 0 (mod 641)，
a2, , an) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2。
10
最大公因数
由上我们容易得到： 定理 （裴蜀（Bézout,1730-1783）恒等式）
设a，b是任意两个不全为零的整数，则 存在s，t∈Z，使得
as bt = (a, b)
11
最大公因数
推论 (a, b)＝1的充要条件是：存在s， t∈Z，使得 as bt = 1。
17
第五节 模逆元
• 模逆元的计算可以通过扩展欧几里德算 法实现。
18
第六节 费马欧拉定理
• 费马定理 • 如果p是素数，且p不能被a整除，那么
ap1 1modp
19
• 欧拉函数 (m) • 表示比m小，且与m互素的正整数的个
数 • 欧拉函数性质： • 当m是素数时，(m)=m-1 • 当m=pq，且p、q（p≠q）均为素数时， • (m) = ( p) (q) =(p-1)(q-1)
是b的倍数，b是a的因数（约数或除
数），并且记作：ba；如果不存在整
数q使得a = bq成立，则称b不能整除a或
a不被b整除，记作：b |a。
3
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
密码学数学
1
整数性质
• 教学目的和要求 • （1）深刻理解整除、最大公因数、最小公
倍数、质数的概念，正确理解带余数除法 的意义及作用。 • （2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大 公因数。
2
第一节 整除与带余数除法
• 定义1 设a，b是整数，b 0，如果存在 整数q，使得
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a
4
第一节 整除与带余数除法
• 注： ① ab ab； ② ba bcac，此处c是任意的非零整数； ③ ba，a 0 |b| |a|； • ba且|a| < |b| a = 0。
5
第一节 整除与带余数除法
• 定理2(带余数除法)
• 设a与b是两个整数，b >0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得
• 例 求(25733 46)26 mod 50 • 解： • (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 • [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 • 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 • 21 29 (mod 50)， • 即所求的余数是29。
• 由于每个非零整数的因数的个数是有 限的，所以最大公因数是存在的，且是正 整数。
9
最大公因数
• 若(a1, a2, , an) = 1， • 则称a1, a2, , an是互质的； • 若(ai, a j) = 1，1 i, j n，i j， • 则称a1, a2, , an是两两互质的。 • 显然，a1, a2, , an两两互质可以推出(a1,
整数)，则称 a在mod n下与b同余，记为
，
abmond
• 性质：
。
( a b ) m n o (a m (d n ) o ( b m d n )m o )n d od
( a b ) m n o (a m (d n ) o ( b m d n )m o )n d od
( a b ) m n o (a m (d n ) o ( b m d n )m o )n d o
• a = bq r，0 r < b。
(1)
• 此外，ba的充要条件是r=0
6
第二节 素数
• 如果正整数P >1只能被1和它本身整除， 则该数为素数（也叫质数）
• 100以内的素数有25个，分别是2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89和97。
a(n) 1mond
• 当n为素数时，欧拉定理相当于费马定理
22
• 求7803的后三位数字 • 求11803的后三位数字
23
• 思考
• 1、如果今天是星期一，问从今天起再过
•
10 1010 天是星期几？
24
第七节 本原元
• 对于任何互素的两个整数a和n，在方程 • am1mond 中，至少有一个正整数m满
足这一方程（因为 (n) 是其中的一个 解），那么，最小的正整数解m为模n下
此题可以推广为： 推论 (a1, a2, , an) = 1的充要条件是：存
在整数x1, x2, , xn，使得 a1x1 a2x2 anxn = 1。
12
• 欧几里德公式
gca,d b) (gcb,d am ( b o ) d
13
第四节 模运算
• 令整数 a , b 及 n0 ，若 abkn(k为任一
20
• 计算欧拉函数的公式
• 1. 若一个数m可以写成m= p1e1p2e2 ptet
• ( p i 为素数)，则
wk.baidu.com
t
(m) piei1(pi 1)
i1
• 2.对任一正整数m，若其可写成，
•
则 p1e1p2e2 ptet
(m)m(1 1)
Pi
pi
21
• 欧拉定理 • 对于任何互素的两个整数a和n，有
7
• 任何大于1的整数a都可以分解成素数幂 之积，且唯一。
ap 1 a 1 p 2 a 2 p ta t
• 其中，pi为素数，ai为正整数。
8
第三节 最大公因数
• 定义1 设a1, a2, , an是n（n≥2）个整数， 若整数d是它们之中每一个的因数，则d就 叫做a1, a2, , an的一个公因数；其中最大 的一个公因数叫做a1, a2, , an的最大公因 数。记为(a1, a2, , an)。
14
• 例（7+9）mod11 • （7×9）mod11 • 计算 97 mod 13 • 证明 13200-1 是51的倍数
15
• 例 说明 225 1是否被641整除。
•解： • 22 4，24 16，28 256，216 154，232
1 (mod 641)。
• 因此 225 1 0 (mod 641)，
a2, , an) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2。
10
最大公因数
由上我们容易得到： 定理 （裴蜀（Bézout,1730-1783）恒等式）
设a，b是任意两个不全为零的整数，则 存在s，t∈Z，使得
as bt = (a, b)
11
最大公因数
推论 (a, b)＝1的充要条件是：存在s， t∈Z，使得 as bt = 1。
17
第五节 模逆元
• 模逆元的计算可以通过扩展欧几里德算 法实现。
18
第六节 费马欧拉定理
• 费马定理 • 如果p是素数，且p不能被a整除，那么
ap1 1modp
19
• 欧拉函数 (m) • 表示比m小，且与m互素的正整数的个
数 • 欧拉函数性质： • 当m是素数时，(m)=m-1 • 当m=pq，且p、q（p≠q）均为素数时， • (m) = ( p) (q) =(p-1)(q-1)
是b的倍数，b是a的因数（约数或除
数），并且记作：ba；如果不存在整
数q使得a = bq成立，则称b不能整除a或
a不被b整除，记作：b |a。
3
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
密码学数学
1
整数性质
• 教学目的和要求 • （1）深刻理解整除、最大公因数、最小公
倍数、质数的概念，正确理解带余数除法 的意义及作用。 • （2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大 公因数。
2
第一节 整除与带余数除法
• 定义1 设a，b是整数，b 0，如果存在 整数q，使得
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a
4
第一节 整除与带余数除法
• 注： ① ab ab； ② ba bcac，此处c是任意的非零整数； ③ ba，a 0 |b| |a|； • ba且|a| < |b| a = 0。
5
第一节 整除与带余数除法
• 定理2(带余数除法)
• 设a与b是两个整数，b >0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得