基于MATLAB 实现二维delaunay 三角剖分
delaunay VTK 点绘制
Delaunay处理
vtkDelaunay3D* deln=vtkDelaunay3D::New(); deln->SetInput(pointscloud); deln->SetTolerance(0.001); deln->SetAlpha(100);
谢谢！
3.
最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三 角剖分所形成的三角形的最小角最大。具体的说是指在两个相邻的 三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角 不再增大。
• • •
vtkDelaunay2D* deln2D=vtkDelaunay2D::New(); deln2D->SetTolerance(0.001); deln2D->SetInput(pointscloud2D);
三维Delaunay算法
3D空间中任意分布的 n个离散点用直线连接起来，形成空间中既不重叠 又无间隙 的紧邻四面体集，四面体的顶点就是给定的离散场点值,以此实 现 3D数据场造型，构造出物体的表面形状。
Delaunay三角剖分的算法主要有 逐点插入法(incremental insertion)分治法(divide and conquer) 三角网生 长法(triangulation growth)、包裹法(gift wrapping) 和快速 凸包法(quickhul1)等
二、delaunay三角剖分 是特殊的三角剖分，理论基础是voronoi图。
1 2
A
4
3
Voronoi多边形内任意点到节点 P 之间的距离比到任意其他节点的距离更近。
Delaunay三角网的特性
1. 2. 唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。 空接圆：三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在
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csch 双曲余割cumsum 元素累计和cumtrapz 累计梯形积分cylinder 创建圆柱D ddblquad 二重数值积分deal 分配宗量deblank 删去串尾部的空格符dec2base 十进制转换为X进制dec2bin 十进制转换为二进制dec2hex 十进制转换为十六进制deconv 多项式除、解卷delaunay Delaunay 三角剖分del2 离散Laplacian差分demo Matlab演示det 行列式diag 矩阵对角元素提取、创建对角阵diary Matlab指令窗文本内容记录diff 数值差分、符号微分digits 符号计算中设置符号数值的精度dir 目录列表disp 显示数组display 显示对象内容的重载函数dlinmod 离散系统的线性化模型dmperm 矩阵Dulmage-Mendelsohn 分解dos 执行DOS 指令并返回结果double 把其他类型对象转换为双精度数值drawnow 更新事件队列强迫Matlab刷新屏幕dsolve 符号计算解微分方程E eecho M文件被执行指令的显示edit 启动M文件编辑器eig 求特征值和特征向量eigs 求指定的几个特征值end 控制流FOR等结构体的结尾元素下标eps 浮点相对精度error 显示出错信息并中断执行errortrap 错误发生后程序是否继续执行的控制erf 误差函数erfc 误差补函数erfcx 刻度误差补函数erfinv 逆误差函数errorbar 带误差限的曲线图etreeplot 画消去树eval 串演算指令evalin 跨空间串演算指令exist 检查变量或函数是否已定义exit 退出Matlab环境exp 指数函数expand 符号计算中的展开操作expint 指数积分函数expm 常用矩阵指数函数expm1 Pade法求矩阵指数expm2 Taylor法求矩阵指数expm3 特征值分解法求矩阵指数eye 单位阵ezcontour 画等位线的简捷指令ezcontourf 画填色等位线的简捷指令ezgraph3 画表面图的通用简捷指令ezmesh 画网线图的简捷指令ezmeshc 画带等位线的网线图的简捷指令ezplot 画二维曲线的简捷指令ezplot3 画三维曲线的简捷指令ezpolar 画极坐标图的简捷指令ezsurf 画表面图的简捷指令ezsurfc 画带等位线的表面图的简捷指令F ffactor 符号计算的因式分解feather 羽毛图feedback 反馈连接feval 执行由串指定的函数fft 离散Fourier变换fft2 二维离散Fourier变换fftn 高维离散Fourier变换fftshift 直流分量对中的谱fieldnames 构架域名figure 创建图形窗fill3 三维多边形填色图find 寻找非零元素下标findobj 寻找具有指定属性的对象图柄findstr 寻找短串的起始字符下标findsym 机器确定内存中的符号变量finverse 符号计算中求反函数fix 向零取整flag 红白蓝黑交错色图阵fliplr 矩阵的左右翻转flipud 矩阵的上下翻转flipdim 矩阵沿指定维翻转floor 向负无穷取整flops 浮点运算次数flow Matlab提供的演示数据fmin 求单变量非线性函数极小值点（旧版）fminbnd 求单变量非线性函数极小值点fmins 单纯形法求多变量函数极小值点（旧版）fminunc 拟牛顿法求多变量函数极小值点fminsearch 单纯形法求多变量函数极小值点fnder 对样条函数求导fnint 利用样条函数求积分fnval 计算样条函数区间内任意一点的值fnplt 绘制样条函数图形fopen 打开外部文件for 构成for环用format 设置输出格式fourier Fourier 变换fplot 返函绘图指令fprintf 设置显示格式fread 从文件读二进制数据fsolve 求多元函数的零点full 把稀疏矩阵转换为非稀疏阵funm 计算一般矩阵函数funtool 函数计算器图形用户界面fzero 求单变量非线性函数的零点G ggamma 函数gammainc 不完全函数gammaln 函数的对数gca 获得当前轴句柄gcbo 获得正执行"回调"的对象句柄gcf 获得当前图对象句柄gco 获得当前对象句柄geomean 几何平均值get 获知对象属性getfield 获知构架数组的域getframe 获取影片的帧画面ginput 从图形窗获取数据global 定义全局变量gplot 依图论法则画图gradient 近似梯度gray 黑白灰度grid 画分格线griddata 规则化数据和曲面拟合gtext 由鼠标放置注释文字guide 启动图形用户界面交互设计工具H hharmmean 调和平均值help 在线帮助helpwin 交互式在线帮助helpdesk 打开超文本形式用户指南hex2dec 十六进制转换为十进制hex2num 十六进制转换为浮点数hidden 透视和消隐开关hilb Hilbert矩阵hist 频数计算或频数直方图histc 端点定位频数直方图histfit 带正态拟合的频数直方图hold 当前图上重画的切换开关horner 分解成嵌套形式hot 黑红黄白色图hsv 饱和色图I iif-else-elseif 条件分支结构ifft 离散Fourier反变换ifft2 二维离散Fourier反变换ifftn 高维离散Fourier反变换ifftshift 直流分量对中的谱的反操作ifourier Fourier反变换i, j 缺省的"虚单元"变量ilaplace Laplace反变换imag 复数虚部image 显示图象imagesc 显示亮度图象imfinfo 获取图形文件信息imread 从文件读取图象imwrite 把imwrite 把图象写成文件ind2sub 单下标转变为多下标inf 无穷大info MathWorks公司网点地址inline 构造内联函数对象inmem 列出内存中的函数名input 提示用户输入inputname 输入宗量名int 符号积分int2str 把整数数组转换为串数组interp1 一维插值interp2 二维插值interp3 三维插值interpn N维插值interpft 利用FFT插值intro Matlab自带的入门引导inv 求矩阵逆invhilb Hilbert矩阵的准确逆ipermute 广义反转置isa 检测是否给定类的对象ischar 若是字符串则为真isequal 若两数组相同则为真isempty 若是空阵则为真isfinite 若全部元素都有限则为真isfield 若是构架域则为真isglobal 若是全局变量则为真ishandle 若是图形句柄则为真ishold 若当前图形处于保留状态则为真isieee 若计算机执行IEEE规则则为真isinf 若是无穷数据则为真isletter 若是英文字母则为真islogical 若是逻辑数组则为真ismember 检查是否属于指定集isnan 若是非数则为真isnumeric 若是数值数组则为真isobject 若是对象则为真isprime 若是质数则为真isreal 若是实数则为真isspace 若是空格则为真issparse 若是稀疏矩阵则为真isstruct 若是构架则为真isstudent 若是Matlab学生版则为真iztrans 符号计算Z反变换J j , K kjacobian 符号计算中求Jacobian 矩阵jet 蓝头红尾饱和色jordan 符号计算中获得Jordan标准型keyboard 键盘获得控制权kron Kronecker乘法规则产生的数组L llaplace Laplace变换lasterr 显示最新出错信息lastwarn 显示最新警告信息leastsq 解非线性最小二乘问题（旧版）legend 图形图例lighting 照明模式line 创建线对象lines 采用plot 画线色linmod 获连续系统的线性化模型linmod2 获连续系统的线性化精良模型linspace 线性等分向量ln 矩阵自然对数load 从MAT文件读取变量log 自然对数log10 常用对数log2 底为2的对数loglog 双对数刻度图形logm 矩阵对数logspace 对数分度向量lookfor 按关键字搜索M文件lower 转换为小写字母lsqnonlin 解非线性最小二乘问题lu LU分解M mmad 平均绝对值偏差magic 魔方阵maple &nb, sp; 运作Maple格式指令mat2str 把数值数组转换成输入形态串数组material 材料反射模式max 找向量中最大元素mbuild 产生EXE文件编译环境的预设置指令mcc 创建MEX或EXE文件的编译指令mean 求向量元素的平均值median 求中位数menuedit 启动设计用户菜单的交互式编辑工具mesh 网线图meshz 垂帘网线图meshgrid 产生"格点"矩阵methods 获知对指定类定义的所有方法函数mex 产生MEX文件编译环境的预设置指令mfunlis 能被mfun计算的MAPLE经典函数列表mhelp 引出Maple的在线帮助min 找向量中最小元素mkdir 创建目录mkpp 逐段多项式数据的明晰化mod 模运算more 指令窗中内容的分页显示movie 放映影片动画moviein 影片帧画面的内存预置mtaylor 符号计算多变量Taylor级数展开N nndims 求数组维数NaN 非数（预定义）变量nargchk 输入宗量数验证nargin 函数输入宗量数nargout 函数输出宗量数ndgrid 产生高维格点矩阵newplot 准备新的缺省图、轴nextpow2 取最接近的较大2次幂nnz 矩阵的非零元素总数nonzeros 矩阵的非零元素norm 矩阵或向量范数normcdf 正态分布累计概率密度函数normest 估计矩阵2范数norminv 正态分布逆累计概率密度函数normpdf 正态分布概率密度函数normrnd 正态随机数发生器notebook 启动Matlab和Word的集成环境null 零空间num2str 把非整数数组转换为串numden 获取最小公分母和相应的分子表达式nzmax 指定存放非零元素所需内存O oode1 非Stiff 微分方程变步长解算器ode15s Stiff 微分方程变步长解算器ode23t 适度Stiff 微分方程解算器ode23tb Stiff 微分方程解算器ode45 非Stiff 微分方程变步长解算器odefile ODE 文件模板odeget 获知ODE 选项设置参数odephas2 ODE 输出函数的二维相平面图odephas3 ODE 输出函数的三维相空间图odeplot ODE 输出函数的时间轨迹图odeprint 在Matlab指令窗显示结果odeset 创建或改写ODE选项构架参数值ones 全1数组optimset 创建或改写优化泛函指令的选项参数值orient 设定图形的排放方式orth 值空间正交化P ppack 收集Matlab内存碎块扩大内存pagedlg 调出图形排版对话框patch 创建块对象path 设置Matlab搜索路径的指令pathtool 搜索路径管理器pause 暂停pcode 创建预解译P码文件pcolor 伪彩图peaks Matlab提供的典型三维曲面permute 广义转置pi （预定义变量）圆周率pie 二维饼图pie3 三维饼图pink 粉红色图矩阵pinv 伪逆plot 平面线图plot3 三维线图plotmatrix 矩阵的散点图plotyy 双纵坐标图poissinv 泊松分布逆累计概率分布函数poissrnd 泊松分布随机数发生器pol2cart 极或柱坐标变为直角坐标polar 极坐标图poly 矩阵的特征多项式、根集对应的多项式poly2str 以习惯方式显示多项式poly2sym 双精度多项式系数转变为向量符号多项式polyder 多项式导数polyfit 数据的多项式拟合polyval 计算多项式的值polyvalm 计算矩阵多项式pow2 2的幂ppval 计算分段多项式pretty 以习惯方式显示符号表达式print 打印图形或SIMULINK模型printsys 以习惯方式显示有理分式prism 光谱色图矩阵procread 向MAPLE输送计算程序profile 函数文件性能评估器propedit 图形对象属性编辑器pwd 显示当前工作目录Q qquad 低阶法计算数值积分quad8 高阶法计算数值积分(QUADL) quit 推出Matlab 环境quiver 二维方向箭头图quiver3 三维方向箭头图R rrand 产生均匀分布随机数randn 产生正态分布随机数randperm 随机置换向量range 样本极差rank 矩阵的秩rats 有理输出rcond 矩阵倒条件数估计real 复数的实部reallog 在实数域内计算自然对数realpow 在实数域内计算乘方realsqrt 在实数域内计算平方根realmax 最大正浮点数realmin 最小正浮点数rectangle 画"长方框"rem 求余数repmat 铺放模块数组reshape 改变数组维数、大小residue 部分分式展开return 返回ribbon 把二维曲线画成三维彩带图rmfield 删去构架的域roots 求多项式的根rose 数扇形图rot90 矩阵旋转90度rotate 指定的原点和方向旋转rotate3d 启动三维图形视角的交互设置功能round 向最近整数圆整rref 简化矩阵为梯形形式rsf2csf 实数块对角阵转为复数特征值对角阵rsums Riemann和S ssave 把内存变量保存为文件scatter 散点图scatter3 三维散点图sec 正割sech 双曲正割semilogx X轴对数刻度坐标图semilogy Y轴对数刻度坐标图series 串联连接set 设置图形对象属性setfield 设置构架数组的域setstr 将ASCII码转换为字符的旧版指令sign 根据符号取值函数signum 符号计算中的符号取值函数sim 运行SIMULINK模型simget 获取SIMULINK模型设置的仿真参数simple 寻找最短形式的符号解simplify 符号计算中进行简化操作simset 对SIMULINK模型的仿真参数进行设置simulink 启动SIMULINK模块库浏览器sin 正弦sinh 双曲正弦size 矩阵的大小slice 立体切片图solve 求代数方程的符号解spalloc 为非零元素配置内存sparse 创建稀疏矩阵spconvert 把外部数据转换为稀疏矩阵spdiags 稀疏对角阵spfun 求非零元素的函数值sph2cart 球坐标变为直角坐标sphere 产生球面spinmap 色图彩色的周期变化spline 样条插值spones 用1置换非零元素sprandsym 稀疏随机对称阵sprank 结构秩spring 紫黄调春色图sprintf 把格式数据写成串spy 画稀疏结构图sqrt 平方根sqrtm 方根矩阵squeeze 删去大小为1的"孤维"sscanf 按指定格式读串stairs 阶梯图std 标准差stem 二维杆图step 阶跃响应指令str2double 串转换为双精度值str2mat 创建多行串数组str2num 串转换为数strcat 接成长串strcmp 串比较strjust 串对齐strmatch 搜索指定串strncmp 串中前若干字符比较strrep 串替换strtok 寻找第一间隔符前的内容struct 创建构架数组struct2cell 把构架转换为元胞数组strvcat 创建多行串数组sub2ind 多下标转换为单下标subexpr 通过子表达式重写符号对象subplot 创建子图subs 符号计算中的符号变量置换subspace 两子空间夹角sum 元素和summer 绿黄调夏色图superiorto 设定优先级surf 三维着色表面图surface 创建面对象surfc 带等位线的表面图surfl 带光照的三维表面图surfnorm 空间表面的法线svd 奇异值分解svds 求指定的若干奇异值switch-case-otherwise 多分支结构sym2poly 符号多项式转变为双精度多项式系数向量symmmd 对称最小度排序symrcm 反向Cuthill-McKee排序syms 创建多个符号对象T ttan 正切tanh 双曲正切taylortool 进行Taylor逼近分析的交互界面text 文字注释tf 创建传递函数对象tic 启动计时器title 图名toc 关闭计时器trapz 梯形法数值积分treelayout 展开树、林treeplot 画树图tril 下三角阵trim 求系统平衡点trimesh 不规则格点网线图trisurf 不规则格点表面图triu 上三角阵try-catch 控制流中的Try-catch结构type 显示M文件U uuicontextmenu 创建现场菜单uicontrol 创建用户控件uimenu 创建用户菜单unmkpp 逐段多项式数据的反明晰化unwrap 自然态相角upper 转换为大写字母V vvar 方差varargin 变长度输入宗量varargout 变长度输出宗量vectorize 使串表达式或内联函数适于数组运算ver 版本信息的获取view 三维图形的视角控制voronoi Voronoi多边形vpa 任意精度（符号类）数值W wwarning 显示警告信息what 列出当前目录上的文件whatsnew 显示Matlab中Readme文件的内容which 确定函数、文件的位置while 控制流中的While环结构white 全白色图矩阵whitebg 指定轴的背景色who 列出内存中的变量名whos 列出内存中变量的详细信息winter 蓝绿调冬色图workspace 启动内存浏览器X x , Y y , Z zxlabel X轴名xor 或非逻辑yesinput 智能输入指令ylabel Y轴名zeros 全零数组zlabel Z轴名zoom 图形的变焦放大和缩小ztrans 符号计算Z变换。
动态增删点的二维Delaunay三角剖分
动态增删点的二维Delaunay三角剖分王中辉;闫浩文【摘要】在已有算法基础上,利用动态辅助矩形,通过局部更新实现了任意位置、任意顺序的动态增删点的二维Delaunay三角剖钊分,同时给出了详细的数据结构和算法步骤,并在Visual C++ 6.0环境下实现了该算法.算法思路简捷,易于编程,生成的三角网形态优良,符合Delaunay三角形的性质.【期刊名称】《兰州交通大学学报》【年(卷),期】2010(029)006【总页数】5页(P161-165)【关键词】Delaunay三角剖分;动态增点;动态删点;局部更新【作者】王中辉;闫浩文【作者单位】兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州,730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】P2080 引言在众多的平面点集三角剖分中,Delaunay三角剖分生成的三角网是最接近于规则化的[1],因此它已成为目前研究应用最广的一种剖分方法.然而现阶段有关这方面的研究成果多是基于离散点数量已知的静态剖分,向已有三角网络中动态增点与删点的Delaunay三角剖分却少有研究[2-4].文献[2]通过求解点集的凸包实现了动态增点的三角剖分,但对凸包边界的修改及点的支撑线的计算增加了该算法的复杂度.文献[3]和文献[4]基于凸耳消元法对数据点进行动态删除,但该方法在删除三角网的边界点时易产生错误的剖分结果.本文在已有算法的基础上设计了具有拓扑关系的数据结构,并通过局部更新实现了点的动态增加和删除.1 数据结构本文算法中用到的数据结构定义如下:1.1 点数据结构用来存放各数据点的坐标.1.2 边数据结构用来存放生成三角网的过程中所用到的边的信息.1.3 三角形数据结构用来存放最终生成的三角形及相互间的拓扑关系.为了便于执行添加、删除及查找等操作,本文算法使用了Visual C++6.0提供的动态数组存放点、边及三角形元素.2 动态增点的Delaunay三角剖分2.1 Watson算法原理Law son逐点插入法在新增一点时需要分点在三角形内和三角形边上两种情况处理,在每插入一点后都需要递归的使用LOP方法对所有的三角形进行优化[5].针对该算法的不足,Watson提出了一种改进的算法,在插入一个点时,只判断它被哪些已存在的三角形外接圆所包含,将这些三角形删除,只保留这些三角形的外边界,形成一个插入多边形,该多边形包含了新插入的点,将新插入的点依次与插入多边形的每个顶点连接,便形成了新的Delaunay三角剖分[6],该过程如图1所示.图1 动态增点的过程Fig.1 The process of dynam ic points addition2.2 动态辅助矩形的构造本文动态增点的算法是在Watson算法的基础上设计的,但有时新增点也可能落在已构建的三角网络之外,如图2a所示,图中实线部分为已有点集的Delaunay三角网络,P为新增点.显然,对于这种情况将无法直接使用上述方法在该点周围形成一个插入多边形进行局部三角剖分.为此,本文算法在对点集进行三角剖分之前构造了一个能够包含所有待加点的辅助矩形,以矩形的4个顶点A、B、C、D作为辅助节点,并将它们与其它数据点一起进行三角剖分,这样便可保证所有的新增点都落在已有三角网络之内,从而使用一致的方法实现动态增点的Delaunay三角剖分.由于在整个构网过程中,矩形的4个顶点都参与了剖分,因此当剖分结束时只需把顶点不是辅助节点的所有三角形输出,便可得到点集最终的Delaunay三角网络,如图2b中的实线部分所示.图2 三角网络外的动态增点Fig.2 The dynam ic points addition outside triangulation net辅助矩形的构造过程如下:1)计算所有待加点的横坐标的最小值X min及最大值,纵坐标的最小值及最大值,以(+K)为左上角顶点,( -K)为右下角顶点构建矩形(其中K为任意正的位移值);2)将该矩形沿任一对角线划分为两个三角形并将它们加入到三角形数组,将矩形的4个顶点加入到点数组,形成初始Delaunay三角网.在后续的增点过程中,若新增点 P(xp,yp)落在辅助矩形之外,即或x或≤或 ,则只需修改相应的、X max、Y max的值,即令:使得该点包含在辅助矩形之内即可.辅助矩形的这种动态构造不会影响原有数据点所形成的三角网,它只是改变了以4个辅助节点为顶点的辅助三角形,如图2中虚线部分所示,而辅助三角形在最后的输出结果中是不出现的.2.3 点的动态增加过程该过程的详细算法步骤描述如下:1)若新增点P落在辅助矩形之外,则利用2.2所述方法动态修改辅助矩形,使点P包含在该辅助矩形之内;2)清空边数组,取三角形数组的第一个元素;3)判断点P是否在该三角形的外接圆内,若不在,转步骤4);否则,在边数组中查找该三角形的每一条边,如果该边已经存在,置它的权值为2,否则置它的权值为1并将其加入到边数组中,删除该三角形;4)若三角形数组没有遍历完,取下一个元素,转步骤3);否则将所有权值为1的边的两端点与新增点P按逆时针方向连接形成的三角形加入到三角形数组中,并调整它们同其它三角形之间的拓扑关系.5)输出顶点不是辅助节点的所有三角形,得到增加新点P后的Delaunay三角网.3 动态删点的Delaunay三角剖分以往算法通常都是基于凸耳消元法对数据点进行动态删除[3-4],但在对三角网的边界点进行删除时,有时会出现错误的剖分结果.如图3b所示,按照凸耳消元法的算法规则,当在该图中删除边界点P的凸耳CDA后,原始点集的剖分结果(图中实线部分所示)出现了错误.由于算法自身的限定,使得凸耳消元法无法正确处理该类问题.本文的做法是:首先将所有与待删除点组成三角形的其它数据点构成一个删除多边形,然后利用多边形的Delaunay三角剖分方法对其进行局部构网,最后输出顶点不是辅助节点的所有三角形,便得到动态删点后的Delaunay三角网.而在对三角网的边界点进行删除时,如图3c所示,首先是查找边界点P的删除多边形ABCD中与辅助节点A相连的两个数据点B、D,然后以它们的连线BD为界将多边形ABCD划分为左右两个多边形PL和PR,分别对它们进行Delaunay三角剖分,便可得到原始点集的正确剖分结果.图3 边界点的动态删除Fig.3 The dynam ic deletion o f boundary points3.1 删除多边形的构造结合图4a,删除多边形的构造过程描述如下:1)根据点与三角形之间的拓扑关系查找与待删除点P关联的任意一个三角形△CDP,并将该三角形的顶点C加入到删除多边形的顶点数组,之后再根据三角形之间的拓扑关系按逆时针方向顺序查找下一个与点P关联的三角形△DEP,并将其顶点D加入到删除多边形的顶点数组,重复此过程,直到下一个要查找的三角形为起始三角形△CDP为止;2)删除数据点P及与其关联的所有三角形,得到顶点按逆时针方向排列的删除多边形CDEFA,如图4b所示.若待删除点是边界点,还应按前述方法将该点的删除多边形划分为两个多边形. 3.2 删除多边形的Delaunay三角剖分本文采用基于凹凸顶点判定的多边形Delaunay三角剖分算法[7]对删除多边形CDEFA进行局部剖分,结果如图4c所示.该过程的主要算法步骤描述如下:1)按逆时针方向存储删除多边形的顶点(这在3.1构建删除多边形时已处理完),计算出删除多边形的凹凸顶点;2)对多边形顶点数组中每个凸顶点B,设由其前后顶点A,C组成的三角形为△ABC,若△ABC不包含多边形上其它的顶点,则将其保存到三角形数组中,并从多边形顶点数组中删除顶点B,重新计算受影响的顶点的凹凸性,重复该过程,直到多边形顶点数组为空时结束;图4 动态删点的过程Fig.4 The process of dynam ic points deletion3)按最大-最小内角准则,对三角网进行LOP优化,得到删除多边形的Delaunay三角剖分,同时调整它们与其它三角形之间的拓扑关系.在上述步骤中,对多边形顶点凹凸性的计算可按如下方法进行:将多边形的顶点按逆时针方向排列,设B(X2, )为多边形的任意一个顶点,B的前驱顶点为,后继顶点为C(X3,Y 3),计算:若其结果大于零则表明顶点B为凸点,反之小于零则为凹点.4 实验结果本文算法已在Visual C++6.0环境下编程实现,实验结果如图5所示.可以看出该算法能够较好地实现动态增删点的Delaunay三角剖分,得到的三角网格符合Delaunay三角形的要求.与文献[2]的方法相比,本文算法思路简捷,降低了算法的复杂度,易于编程实现;与文献[3]和文献[4]相比,本文算法在删除三角网的边界点时,避免了可能的错误剖分结果.图5 动态增点与删点的程序运行结果Fig.5 The program running result of dynam ic points addition and deletion5 结论本文在Watson算法和多边形的Delaunay三角剖分算法基础上,利用动态辅助矩形,通过局部更新实现了任意位置、任意顺序的动态增点与删点算法.经实验证明该方法是行之有效的,具有一定的实际应用价值.由于Voronoi图和Delaunay三角网相互对偶[8],因此本文算法也可以直接应用于对Voronoi图的动态增删点操作. 参考文献:【相关文献】[1] 武晓波,王世新,肖春生.Delaunay三角网的生成算法研究[J].测绘学报,1999,28(1):28-35.[2] 唐泽圣,徐志强.二维点集三角剖分的动态生成与修改[J].计算机辅助设计与图形学学报,1990(3):1-8.[3] 贾晓林,吴立新,王彦兵.二维Delaunay三角网局部更新:点插入与点删除[J].地理与地理信息科学,2004, 20(5):28-31.[4] 孟亮,方金云,贾文涛.二维Delaunay三角网的动态更新[J].计算机应用,2007,27:143-145.[5] Law son C L.Software for C1 surface interpolation. M athematica l SoftwareⅢJ,Rice[M].New York:Academic Press,1977:161-172.[6] W atson D puting the n-dimension delaunay tessellation with application to voronoi po ly topes[J]. Computer Journal,1981,24(2):167-172.[7] 马小虎,潘志庚,石教英.基于凹凸顶点判定的简单多边形Delaunay三角剖分[J].计算机辅助设计与图形学学报,1999,11(1):1-3.[8] 陈静静,闫浩文,高三营.运用加权Voronoi图进行点集剖分的两种方法[J].兰州交通大学学报,2008,27 (3):154-156.。
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用一、本文概述随着计算几何和计算机图形学的发展，三维空间Delaunay三角剖分算法已成为一种重要的空间数据处理和分析技术。
本文旨在全面深入地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的原理、实现方法以及应用领域。
本文将对三维空间Delaunay三角剖分算法的基本概念和性质进行详细的阐述，包括其定义、性质、特点以及与其他三角剖分算法的比较。
接着，本文将重点探讨三维空间Delaunay三角剖分算法的实现方法，包括增量法、分治法和扫描转换法等，并分析它们的优缺点和适用范围。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法在各个领域的应用进行详细的介绍和分析。
这些领域包括计算机科学、地理信息系统、地质学、气象学、生物医学等。
通过具体的应用案例，本文将展示三维空间Delaunay三角剖分算法在实际问题中的应用价值和效果。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法的未来发展方向进行展望，探讨其在新技术和新领域中的应用前景和挑战。
本文旨在全面系统地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的理论和实践，为其在实际问题中的应用提供有力的支持和指导。
二、三维空间Delaunay三角剖分算法的基本原理Delaunay三角剖分算法是一种广泛应用于二维空间的数据处理算法，它的核心目标是将一组离散的二维点集剖分为一系列互不重叠的三角形，且这些三角形满足Delaunay性质。
简单来说，Delaunay 性质要求任何一个三角形的外接圆内部不包含该三角形之外的任何数据点。
初始化：为每个点分配一个初始的三角形。
这通常是通过连接每个点与它的两个最近邻点来完成的，形成一个初始的三角形网格。
合并三角形：接下来，算法会尝试合并相邻的三角形，以形成更大的三角形。
在合并过程中，算法会检查新形成的三角形是否满足Delaunay性质。
如果满足，则合并成功；如果不满足，则放弃合并，并标记这两个三角形为“已处理”。
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csch 双曲余割cumsum 元素累计和cumtrapz 累计梯形积分cylinder 创建圆柱D ddblquad 二重数值积分deal 分配宗量deblank 删去串尾部的空格符dec2base 十进制转换为X进制dec2bin 十进制转换为二进制dec2hex 十进制转换为十六进制deconv 多项式除、解卷delaunay Delaunay 三角剖分del2 离散Laplacian差分demo Matlab演示det 行列式diag 矩阵对角元素提取、创建对角阵diary Matlab指令窗文本内容记录diff 数值差分、符号微分digits 符号计算中设置符号数值的精度dir 目录列表disp 显示数组display 显示对象内容的重载函数dlinmod 离散系统的线性化模型dmperm 矩阵Dulmage-Mendelsohn 分解dos 执行DOS 指令并返回结果double 把其他类型对象转换为双精度数值drawnow 更新事件队列强迫Matlab刷新屏幕dsolve 符号计算解微分方程E eecho M文件被执行指令的显示edit 启动M文件编辑器eig 求特征值和特征向量eigs 求指定的几个特征值end 控制流FOR等结构体的结尾元素下标eps 浮点相对精度error 显示出错信息并中断执行errortrap 错误发生后程序是否继续执行的控制erf 误差函数erfc 误差补函数erfcx 刻度误差补函数erfinv 逆误差函数errorbar 带误差限的曲线图etreeplot 画消去树eval 串演算指令evalin 跨空间串演算指令exist 检查变量或函数是否已定义exit 退出Matlab环境exp 指数函数expand 符号计算中的展开操作expint 指数积分函数expm 常用矩阵指数函数expm1 Pade法求矩阵指数expm2 Taylor法求矩阵指数expm3 特征值分解法求矩阵指数eye 单位阵ezcontour 画等位线的简捷指令ezcontourf 画填色等位线的简捷指令ezgraph3 画表面图的通用简捷指令ezmesh 画网线图的简捷指令ezmeshc 画带等位线的网线图的简捷指令ezplot 画二维曲线的简捷指令ezplot3 画三维曲线的简捷指令ezpolar 画极坐标图的简捷指令ezsurf 画表面图的简捷指令ezsurfc 画带等位线的表面图的简捷指令F ffactor 符号计算的因式分解feather 羽毛图feedback 反馈连接feval 执行由串指定的函数fft 离散Fourier变换fft2 二维离散Fourier变换fftn 高维离散Fourier变换fftshift 直流分量对中的谱fieldnames 构架域名figure 创建图形窗fill3 三维多边形填色图find 寻找非零元素下标findobj 寻找具有指定属性的对象图柄findstr 寻找短串的起始字符下标findsym 机器确定内存中的符号变量finverse 符号计算中求反函数fix 向零取整flag 红白蓝黑交错色图阵fliplr 矩阵的左右翻转flipud 矩阵的上下翻转flipdim 矩阵沿指定维翻转floor 向负无穷取整flops 浮点运算次数flow Matlab提供的演示数据fmin 求单变量非线性函数极小值点（旧版）fminbnd 求单变量非线性函数极小值点fmins 单纯形法求多变量函数极小值点（旧版）fminunc 拟牛顿法求多变量函数极小值点fminsearch 单纯形法求多变量函数极小值点fnder 对样条函数求导fnint 利用样条函数求积分fnval 计算样条函数区间内任意一点的值fnplt 绘制样条函数图形fopen 打开外部文件for 构成for环用format 设置输出格式fourier Fourier 变换fplot 返函绘图指令fprintf 设置显示格式fread 从文件读二进制数据fsolve 求多元函数的零点full 把稀疏矩阵转换为非稀疏阵funm 计算一般矩阵函数funtool 函数计算器图形用户界面fzero 求单变量非线性函数的零点G ggamma 函数gammainc 不完全函数gammaln 函数的对数gca 获得当前轴句柄gcbo 获得正执行"回调"的对象句柄gcf 获得当前图对象句柄gco 获得当前对象句柄geomean 几何平均值get 获知对象属性getfield 获知构架数组的域getframe 获取影片的帧画面ginput 从图形窗获取数据global 定义全局变量gplot 依图论法则画图gradient 近似梯度gray 黑白灰度grid 画分格线griddata 规则化数据和曲面拟合gtext 由鼠标放置注释文字guide 启动图形用户界面交互设计工具H hharmmean 调和平均值help 在线帮助helpwin 交互式在线帮助helpdesk 打开超文本形式用户指南hex2dec 十六进制转换为十进制hex2num 十六进制转换为浮点数hidden 透视和消隐开关hilb Hilbert矩阵hist 频数计算或频数直方图histc 端点定位频数直方图histfit 带正态拟合的频数直方图hold 当前图上重画的切换开关horner 分解成嵌套形式hot 黑红黄白色图hsv 饱和色图I iif-else-elseif 条件分支结构ifft 离散Fourier反变换ifft2 二维离散Fourier反变换ifftn 高维离散Fourier反变换ifftshift 直流分量对中的谱的反操作ifourier Fourier反变换i, j 缺省的"虚单元"变量ilaplace Laplace反变换imag 复数虚部image 显示图象imagesc 显示亮度图象imfinfo 获取图形文件信息imread 从文件读取图象imwrite 把imwrite 把图象写成文件ind2sub 单下标转变为多下标inf 无穷大info MathWorks公司网点地址inline 构造内联函数对象inmem 列出内存中的函数名input 提示用户输入inputname 输入宗量名int 符号积分int2str 把整数数组转换为串数组interp1 一维插值interp2 二维插值interp3 三维插值interpn N维插值interpft 利用FFT插值intro Matlab自带的入门引导inv 求矩阵逆invhilb Hilbert矩阵的准确逆ipermute 广义反转置isa 检测是否给定类的对象ischar 若是字符串则为真isequal 若两数组相同则为真isempty 若是空阵则为真isfinite 若全部元素都有限则为真isfield 若是构架域则为真isglobal 若是全局变量则为真ishandle 若是图形句柄则为真ishold 若当前图形处于保留状态则为真isieee 若计算机执行IEEE规则则为真isinf 若是无穷数据则为真isletter 若是英文字母则为真islogical 若是逻辑数组则为真ismember 检查是否属于指定集isnan 若是非数则为真isnumeric 若是数值数组则为真isobject 若是对象则为真isprime 若是质数则为真isreal 若是实数则为真isspace 若是空格则为真issparse 若是稀疏矩阵则为真isstruct 若是构架则为真isstudent 若是Matlab学生版则为真iztrans 符号计算Z反变换J j , K kjacobian 符号计算中求Jacobian 矩阵jet 蓝头红尾饱和色jordan 符号计算中获得Jordan标准型keyboard 键盘获得控制权kron Kronecker乘法规则产生的数组L llaplace Laplace变换lasterr 显示最新出错信息lastwarn 显示最新警告信息leastsq 解非线性最小二乘问题（旧版）legend 图形图例lighting 照明模式line 创建线对象lines 采用plot 画线色linmod 获连续系统的线性化模型linmod2 获连续系统的线性化精良模型linspace 线性等分向量ln 矩阵自然对数load 从MAT文件读取变量log 自然对数log10 常用对数log2 底为2的对数loglog 双对数刻度图形logm 矩阵对数logspace 对数分度向量lookfor 按关键字搜索M文件lower 转换为小写字母lsqnonlin 解非线性最小二乘问题lu LU分解M mmad 平均绝对值偏差magic 魔方阵maple &nb, sp; 运作Maple格式指令mat2str 把数值数组转换成输入形态串数组material 材料反射模式max 找向量中最大元素mbuild 产生EXE文件编译环境的预设置指令mcc 创建MEX或EXE文件的编译指令mean 求向量元素的平均值median 求中位数menuedit 启动设计用户菜单的交互式编辑工具mesh 网线图meshz 垂帘网线图meshgrid 产生"格点"矩阵methods 获知对指定类定义的所有方法函数mex 产生MEX文件编译环境的预设置指令mfunlis 能被mfun计算的MAPLE经典函数列表mhelp 引出Maple的在线帮助min 找向量中最小元素mkdir 创建目录mkpp 逐段多项式数据的明晰化mod 模运算more 指令窗中内容的分页显示movie 放映影片动画moviein 影片帧画面的内存预置mtaylor 符号计算多变量Taylor级数展开N nndims 求数组维数NaN 非数（预定义）变量nargchk 输入宗量数验证nargin 函数输入宗量数nargout 函数输出宗量数ndgrid 产生高维格点矩阵newplot 准备新的缺省图、轴nextpow2 取最接近的较大2次幂nnz 矩阵的非零元素总数nonzeros 矩阵的非零元素norm 矩阵或向量范数normcdf 正态分布累计概率密度函数normest 估计矩阵2范数norminv 正态分布逆累计概率密度函数normpdf 正态分布概率密度函数normrnd 正态随机数发生器notebook 启动Matlab和Word的集成环境null 零空间num2str 把非整数数组转换为串numden 获取最小公分母和相应的分子表达式nzmax 指定存放非零元素所需内存O oode1 非Stiff 微分方程变步长解算器ode15s Stiff 微分方程变步长解算器ode23t 适度Stiff 微分方程解算器ode23tb Stiff 微分方程解算器ode45 非Stiff 微分方程变步长解算器odefile ODE 文件模板odeget 获知ODE 选项设置参数odephas2 ODE 输出函数的二维相平面图odephas3 ODE 输出函数的三维相空间图odeplot ODE 输出函数的时间轨迹图odeprint 在Matlab指令窗显示结果odeset 创建或改写ODE选项构架参数值ones 全1数组optimset 创建或改写优化泛函指令的选项参数值orient 设定图形的排放方式orth 值空间正交化P ppack 收集Matlab内存碎块扩大内存pagedlg 调出图形排版对话框patch 创建块对象path 设置Matlab搜索路径的指令pathtool 搜索路径管理器pause 暂停pcode 创建预解译P码文件pcolor 伪彩图peaks Matlab提供的典型三维曲面permute 广义转置pi （预定义变量）圆周率pie 二维饼图pie3 三维饼图pink 粉红色图矩阵pinv 伪逆plot 平面线图plot3 三维线图plotmatrix 矩阵的散点图plotyy 双纵坐标图poissinv 泊松分布逆累计概率分布函数poissrnd 泊松分布随机数发生器pol2cart 极或柱坐标变为直角坐标polar 极坐标图poly 矩阵的特征多项式、根集对应的多项式poly2str 以习惯方式显示多项式poly2sym 双精度多项式系数转变为向量符号多项式polyder 多项式导数polyfit 数据的多项式拟合polyval 计算多项式的值polyvalm 计算矩阵多项式pow2 2的幂ppval 计算分段多项式pretty 以习惯方式显示符号表达式print 打印图形或SIMULINK模型printsys 以习惯方式显示有理分式prism 光谱色图矩阵procread 向MAPLE输送计算程序profile 函数文件性能评估器propedit 图形对象属性编辑器pwd 显示当前工作目录Q qquad 低阶法计算数值积分quad8 高阶法计算数值积分(QUADL) quit 推出Matlab 环境quiver 二维方向箭头图quiver3 三维方向箭头图R rrand 产生均匀分布随机数randn 产生正态分布随机数randperm 随机置换向量range 样本极差rank 矩阵的秩rats 有理输出rcond 矩阵倒条件数估计real 复数的实部reallog 在实数域内计算自然对数realpow 在实数域内计算乘方realsqrt 在实数域内计算平方根realmax 最大正浮点数realmin 最小正浮点数rectangle 画"长方框"rem 求余数repmat 铺放模块数组reshape 改变数组维数、大小residue 部分分式展开return 返回ribbon 把二维曲线画成三维彩带图rmfield 删去构架的域roots 求多项式的根rose 数扇形图rot90 矩阵旋转90度rotate 指定的原点和方向旋转rotate3d 启动三维图形视角的交互设置功能round 向最近整数圆整rref 简化矩阵为梯形形式rsf2csf 实数块对角阵转为复数特征值对角阵rsums Riemann和S ssave 把内存变量保存为文件scatter 散点图scatter3 三维散点图sec 正割sech 双曲正割semilogx X轴对数刻度坐标图semilogy Y轴对数刻度坐标图series 串联连接set 设置图形对象属性setfield 设置构架数组的域setstr 将ASCII码转换为字符的旧版指令sign 根据符号取值函数signum 符号计算中的符号取值函数sim 运行SIMULINK模型simget 获取SIMULINK模型设置的仿真参数simple 寻找最短形式的符号解simplify 符号计算中进行简化操作simset 对SIMULINK模型的仿真参数进行设置simulink 启动SIMULINK模块库浏览器sin 正弦sinh 双曲正弦size 矩阵的大小slice 立体切片图solve 求代数方程的符号解spalloc 为非零元素配置内存sparse 创建稀疏矩阵spconvert 把外部数据转换为稀疏矩阵spdiags 稀疏对角阵spfun 求非零元素的函数值sph2cart 球坐标变为直角坐标sphere 产生球面spinmap 色图彩色的周期变化spline 样条插值spones 用1置换非零元素sprandsym 稀疏随机对称阵sprank 结构秩spring 紫黄调春色图sprintf 把格式数据写成串spy 画稀疏结构图sqrt 平方根sqrtm 方根矩阵squeeze 删去大小为1的"孤维"sscanf 按指定格式读串stairs 阶梯图std 标准差stem 二维杆图step 阶跃响应指令str2double 串转换为双精度值str2mat 创建多行串数组str2num 串转换为数strcat 接成长串strcmp 串比较strjust 串对齐strmatch 搜索指定串strncmp 串中前若干字符比较strrep 串替换strtok 寻找第一间隔符前的内容struct 创建构架数组struct2cell 把构架转换为元胞数组strvcat 创建多行串数组sub2ind 多下标转换为单下标subexpr 通过子表达式重写符号对象subplot 创建子图subs 符号计算中的符号变量置换subspace 两子空间夹角sum 元素和summer 绿黄调夏色图superiorto 设定优先级surf 三维着色表面图surface 创建面对象surfc 带等位线的表面图surfl 带光照的三维表面图surfnorm 空间表面的法线svd 奇异值分解svds 求指定的若干奇异值switch-case-otherwise 多分支结构sym2poly 符号多项式转变为双精度多项式系数向量symmmd 对称最小度排序symrcm 反向Cuthill-McKee排序syms 创建多个符号对象T ttan 正切tanh 双曲正切taylortool 进行Taylor逼近分析的交互界面text 文字注释tf 创建传递函数对象tic 启动计时器title 图名toc 关闭计时器trapz 梯形法数值积分treelayout 展开树、林treeplot 画树图tril 下三角阵trim 求系统平衡点trimesh 不规则格点网线图trisurf 不规则格点表面图triu 上三角阵try-catch 控制流中的Try-catch结构type 显示M文件U uuicontextmenu 创建现场菜单uicontrol 创建用户控件uimenu 创建用户菜单unmkpp 逐段多项式数据的反明晰化unwrap 自然态相角upper 转换为大写字母V vvar 方差varargin 变长度输入宗量varargout 变长度输出宗量vectorize 使串表达式或内联函数适于数组运算ver 版本信息的获取view 三维图形的视角控制voronoi Voronoi多边形vpa 任意精度（符号类）数值W wwarning 显示警告信息what 列出当前目录上的文件whatsnew 显示Matlab中Readme文件的内容which 确定函数、文件的位置while 控制流中的While环结构white 全白色图矩阵whitebg 指定轴的背景色who 列出内存中的变量名whos 列出内存中变量的详细信息winter 蓝绿调冬色图workspace 启动内存浏览器X x , Y y , Z zxlabel X轴名xor 或非逻辑yesinput 智能输入指令ylabel Y轴名zeros 全零数组zlabel Z轴名zoom 图形的变焦放大和缩小ztrans 符号计算Z变换。
Delaunay三角剖分及MATLAB实例
Delaunay三⾓剖分及MATLAB实例⼀.原理部分1.三⾓剖分与Delaunay剖分的定义如何把⼀个离散⼏何剖分成不均匀的三⾓形⽹格，这就是离散点的三⾓剖分问题，散点集的三⾓剖分，对数值分析以及图形学来说，都是极为重要的⼀项处理技术。
该问题图⽰如下：1.1 三⾓剖分定义【定义】三⾓剖分：假设V是⼆维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段，E为e的集合。
那么该点集V的⼀个三⾓剖分T=(V,E)是⼀个平⾯图G,该平⾯图满⾜条件：1、除了端点，平⾯图中的边不包含点集中的任何点。
2、没有相交边。
//边和边没有交叉点3、平⾯图中所有的⾯都是三⾓⾯，且所有三⾓⾯的合集是散点集V的凸包。
//：⽤不严谨的话来讲，给定⼆维平⾯上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。
1.2 Delaunay三⾓剖分的定义在实际中运⽤的最多的三⾓剖分是Delaunay三⾓剖分，它是⼀种特殊的三⾓剖分。
先从Delaunay边说起：【定义】Delaunay边：假设E中的⼀条边e(两个端点为a,b)，e若满⾜下列条件，则称之为Delaunay边：存在⼀个圆经过a,b亮点，圆内（注意是园内，圆上最多三点共圆）不含点集V中任何其他的点，这⼀特性⼜称空圆特性。
【定义】Delaunay三⾓剖分：如果点集V的⼀个三⾓剖分T只包含Delaunay边，那么该三⾓剖分称为Delaunay三⾓剖分。
1.3 Delaunay三⾓剖分的准则要满⾜Delaunay三⾓剖分的定义，必须符合两个重要的准则：1、空圆特性：Delaunay三⾓⽹是唯⼀的（任意四点不能共圆），在Delaunay三⾓形⽹中任⼀三⾓形的外接圆范围内不会有其它点存在。
如下图所⽰：2、最⼤化最⼩⾓特性：在散点集可能形成的三⾓剖分中，Delaunay三⾓剖分所形成的三⾓形的最⼩⾓最⼤。
从这个意义上讲，Delaunay三⾓⽹是“最接近于规则化的”三⾓⽹。
Delaunay三角剖分的几种算法综述
Ｄｅ ｕ ａ － 剖 分 ｌ ｎｙ５ ａ
约束三 角剖分
、
引 言
Ｄ ｌ ｎｙ ｅ ｕ ａ 三角剖 分广泛地应用在 有限元分析 、 ａ 信息可视化 、 计算机 图形学等领域 。Ｄ ｌ ｎｙ ｅ ｕ ａ 三角 网具有 优 良的几 何特性 ， ａ 如空外 圆性 质 、 最 小角最大 的性质等 ， 公认的最 优三角 网ｕ 当前 ， 是 。 构建三角 网的算 法 可以分为 ３ ： 类 分治法 、 逐点插 入法和三角 网生长法。分治法 的效 率 最 高 ； 逐点插入法实现简单高效 ， 占用内存较小 ， 但它 的时 间复杂度差 ， 三角网生长法 由于效率 相对较低 ， 前采用较少 。约束 Ｄ ｌ ｎ ｙ 目 ｅ ｕ ａ 三 ａ 角剖分 具 Ｄ ｌ ｎｙ 慊 ｅ ｕ ａ 三角剖分的优点 ， 广泛应用在地学及计算机领 ａ 并 域 。Ｄｅ ｕ ａ 剖分是一种三角剖分 的标准 ， ｌ ｎｙ ａ 实现它有多种算法 。 二 、 ｅａ ｎ ｙ Ｄ ｌｕ ａ 三角剖分的常见算法 １ ａ ｓｎ ． ｗ ｏ 算法 Ｌ 逐点插入 的Ｌ ｗ ｏ 算法是 Ｌ ｗ ｏ 在 １７ 年提出的 ， ａ ｓｎ ａ ｓｎ ９ ７ 该算法思路简 单， 易于编程实 现。基本原 理为 ： 首先 建立一个 大的三角形或 多边形 ， 把所有数据点包 围起来 ， 向其 中插入一点 ， 点与包含它的三角形三个 该 顶点 相连 ， 形成 三个新 的三角形 ， 后逐个对 它们进行空外 接圆检测 ， 然 同时用 Ｌ ｗ ｏ 设计 的局部优化 过程 Ｌ Ｐ 行优化 ， ａｓ ｎ Ｏ进 即通过 交换对角线 的方法来保证所形成 的三角 网为 Ｄ ｌｕ ａ 三角 网。 ｅ ｎｙ ａ 上述 基 于散点 的构 网算 法理 论严 密 、 唯一性好 ， 网格 满足 空 圆特 性 ， 为理想 。由其逐点 插入 的构网过程 可知 ， 到非 Ｄ ｌ ｎｙ 较 遇 ｅａ ａ 边时 ， ｕ 通过删 除调 整 ， 可以构造形成新 的 Ｄ ｌｕ ａ 边 。在完成 构网后 ， ｅａｎｙ 增加新 点时 ， 无需对所 有的点进行重新构 网， 只需对 新点的影响三角形范 围进 行局部联 网 ， 局部联 网的方 法简单易 行。 同样 ， 且 点的删除 、 移动也可 快速动态地进行 。但 在实际应用 当中， 当点集较 大时构网速度也较慢 ， 如果点集范 围是非 凸区域或者存在 内环 ， 则会产生非法三角形 。
Delaunay三角剖分的问题
Delaunay三⾓剖分的问题最近接触到计算Delaunay三⾓剖分的问题，也算是计算⼏何的⼀个经典问题了。
按照别⼈的算法，也⾃⼰实现了个，发现点集⼤的时候，程序计算起来特慢。
后来分析发现，别⼈程序号称的都是O(nlogn)的，我的却成了O(n*n)的，算法都是⼀样，后来才发现是数据结构的问题，看来程序＝算法＋数据结构，有道理。
闲着，就整理了些相关知识，组织如下：1.Delaunay三⾓剖分&Voronoi图定义2.计算Delaunay三⾓剖分的算法及分析3.例⼦程序&代码⼤话点集的三⾓剖分（Triangulation），对数值分析（⽐如有限元分析）以及图形学来说，都是极为重要的⼀项预处理技术。
尤其是Delaunay三⾓剖分，由于其独特性，关于点集的很多种⼏何图都和Delaunay三⾓剖分相关，如Voronoi图，EMST 树，Gabriel图等。
Delaunay三⾓剖分有⼏个很好的特性：1.最⼤化最⼩⾓，“最接近于规则化的“的三⾓⽹。
2.唯⼀性（任意四点不能共圆）。
概念及定义⼆维实数域(⼆维平⾯)上的三⾓剖分定义1：假设V是⼆维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。
那么该点集V的⼀个三⾓剖分T=(V,E)是⼀个平⾯图G，该平⾯图满⾜条件：1.除了端点，平⾯图中的边不包含点集中的任何点。
2.没有相交边。
3.平⾯图中所有的⾯都是三⾓⾯，且所有三⾓⾯的合集就是点集V的凸包。
那什么是Delaunay三⾓剖分呢?不过是⼀种特殊的三⾓剖分罢了。
从Delaunay边说起。
Delaunay边定义2：假设E中的⼀条边e（两个端点为a,b），e若满⾜下列条件，则称之为Delaunay边：存在⼀个圆经过a,b两点，圆内不含点集V中任何的点，这⼀特性⼜称空圆特性。
Delaunay三⾓剖分定义3：如果点集V的⼀个三⾓剖分T只包含Delaunay边，那么该三⾓剖分称为Delaunay三⾓剖分。
matlab插值法
样条插值是一种分段插值方法，它在每个小区间上使用低 次多项式进行插值，同时保证整个插值函数的连续性和光 滑性。
MATLAB中实现插值法
MATLAB提供的插值函数
MATLAB提供了多种内置函数来实现不同类型的插值，如`interp1`、`interp2`、`interp3` 等，分别用于一维、二维和三维数据的插值。
03
二维数据插值方法
网格数据插值
线性插值
基于已知网格点上的数据，通过 线性插值方法计算未知点的值。 这种方法简单快速，但可能不够 精确。
双三次插值
使用周围的16个网格点上的数据 ，构建一个双三次多项式来逼近 未知点的值。这种方法比线性插 值更精确，但计算量较大。
散点数据插值
最近邻插值
将未知点的值设置为距离其最近的已知点的值。这种方法简 单快速，但可能导致不连续的结果。
信号调制与解调中应用
信号调制
在通信系统中，插值法可用于实现信号的调制处理，将基带信号 转换为适合在信道中传输的已调信号。
信号解调
接收端在接收到已调信号后，可以使用插值法对信号进行解调处理 ，还原出原始的基带信号。
符号同步与定时恢复
在数字通信系统中，插值法可用于实现符号同步和定时恢复，确保 接收端能够准确地提取出传输的符号信息。
07
总结与展望
回顾本次课程重点内容
插值法基本概念
插值法是一种通过已知数据点估算未知数据点的方法，广泛应用于 数据分析和科学计算领域。
MATLAB插值法实现
通过MATLAB提供的插值函数，如`interp1`、`interp2`、`interp3` 等，实现一维、二维和三维数据的插值计算。
插值法应用场景
图像修复与增强中应用
Delaunay三角剖分
Delauney三角网剖分算法原理：分为三步：一、凸包生成：1）求出如下四点：min(x-y)、min(x+y)、max(x-y)、max(x+y)并顺次放入一个数组，组成初始凸包；2）对于凸包上的点I，设它的后续点为J，计算矢量线段IJ右侧的所有点到IJ的距离，求出距离最大的点K；3）将K插入I,J之间，并将K赋给J；4）重复2，3步，直到点集中没有在IJ右侧的点为止；5）将J赋给I，J取其后续点，重复2，3，4步，当遍历了一次凸包后，凸包生成完成。
二、环切边界法凸包三角剖分：在凸包数组中，每次寻找一个由相邻两条凸包边组成的三角形，在该三角形的内部和边界上都不包含凸包上的任何其他点，然后去掉该点得到新的凸包链表，重复这个过程，最终对凸包数组中的点进行三角剖分成功。
三、离散的内插：1）建立三角形的外接圆，找出外接圆包含待插入点的所有三角形，构成插入区域；2）删除插入区域内的三角形公共边，形成由影响三角形顶点构成的多边形；3）将插入点与多边形所有顶点相连，构成新的Delaunay三角形；4）重复1，2，3，直到所有非凸包上的离散点都插入完为止。
功能实现流程：1. 在绘图菜单栏下添加一个子菜单项为Delauney，并且在工具栏上添加一个工具项。
设置text为Delaunay三角剖分，name为delaunay等属性，添加单击事件，并为单击事件代码2.为事件函数添加如下代码Graphics gra = panel1.CreateGraphics();List<Point_T> pts = new List<Point_T>();foreach (Geometry_T geo in choosegeos.Geofeatures){if (geo.GetType() == typeof(Point_T)){Point_T pt = (Point_T)geo;pts.Add(pt);}}List<Tin> deltins = DelauneyTin(pts);//根据多点构建delauney三角网foreach (Tin tin in deltins){Point[] ctin = new Point[3];for (int i = 0; i < 3; i++){cp = new Point((int)tin.Pthree[i].X, (int)tin.Pthree[i].Y); ctin[i] = cp;}gra.DrawPolygon(Pens.Red, ctin);}3．三角形TIN的数据结构public class Tin{Point_T[] pthree = new Point_T[3];Line_T[] lthree = new Line_T[3];public Line_T[] Lthree{get { return lthree; }set { lthree = value; }}public Point_T[] Pthree{get { return pthree; }set { pthree = value; }}public Tin(){ }public Tin(Point_T p1, Point_T p2, Point_T p3){pthree[0] = p1;pthree[1] = p2;pthree[2] = p3;lthree[0] = new Line_T(p1, p2);lthree[1] = new Line_T(p2, p3);lthree[2] = new Line_T(p3, p1);}}4.圆的数据结构public class Circle_T:Geometry_T{private Point_T cpt;public Point_T Cpt{get { return cpt; }set { cpt = value; }}double radius;public double Radius{get { return radius; }set { radius = value; }}public Circle_T(){ }public Circle_T(Point_T pt, double r){cpt = pt;radius = r;}}5.实现Delaunay三角剖分算法1）public List<Tin> DelauneyTin(List<Point_T> pts)//根据多点构建delauney三角网；分三步：构建凸包；凸包剖分；离散点内插{Graphics gra = panel1.CreateGraphics();List<Tin> deltins = new List<Tin>();List<Point_T> envpts = EnvelopeTin(pts);//构建凸包//for (int i = 0; i < envpts.Count - 1; i++)//{// gra.DrawLine(Pens.Black, new Point((int)envpts[i].X,(int)envpts[i].Y), new Point((int)envpts[i + 1].X, (int)envpts[i + 1].Y));//}//gra.DrawLine(Pens.Black, new Point((int)envpts[0].X, (int)envpts[0].Y), new Point((int)envpts[envpts.Count - 1].X, (int)envpts[envpts.Count - 1].Y));List<Point_T> dispts = new List<Point_T>();//非凸包上的离散点foreach (Point_T pt in pts){if (!envpts.Contains(pt)){dispts.Add(pt);}}List<Tin> envtins = EnvelopeDivision(envpts);//凸包剖分//foreach (Tin tin in envtins)//{// Point[] ctin = new Point[3];// for (int i = 0; i < 3; i++)// {// cp = new Point((int)tin.Pthree[i].X, (int)tin.Pthree[i].Y);// ctin[i] = cp;// }// gra.DrawPolygon(Pens.Blue, ctin);//}deltins = TinInsert(envtins, dispts);//离散点内插return deltins;}2）public List<Point_T> EnvelopeTin(List<Point_T> pts)//构建凸包{List<Point_T> envpts = new List<Point_T>();List<Point_T> othpts = new List<Point_T>();foreach (Point_T pt in pts){othpts.Add(pt);}//构建以x-y，x+y最大最小值组成的初始矩形框CompareXaddY comxandy = new CompareXaddY();CompareXsubY comxsuby = new CompareXsubY();pts.Sort(comxsuby);envpts.Add(pts[0]);envpts.Add(pts[pts.Count - 1]);othpts.Remove(pts[0]);othpts.Remove(pts[pts.Count-1]);pts.Sort(comxandy);if(!envpts.Contains(pts[0])){envpts.Insert(1, pts[0]);}if (!envpts.Contains(pts[pts.Count - 1])){envpts.Add(pts[pts.Count - 1]);}othpts.Remove(pts[0]);othpts.Remove(pts[pts.Count-1]);//构建以x-y，x+y最大最小值组成的初始矩形框int i = 0;int tag = 0;bool over = true;while(i<envpts.Count){Line_T cline;if (i==envpts.Count-1){cline = new Line_T(envpts[i], envpts[0]);}else{cline = new Line_T(envpts[i], envpts[i + 1]);}double dismax=0;for (int j = 0; j < othpts.Count ;j++ ){if (IsLeftPoint(othpts[j], cline)){double distance = PointToLine(othpts[j], cline);if (distance > dismax){dismax = distance;tag = j;over = false;}}}if (over){i++;}else{//envpts.RemoveAt(i);envpts.Insert(i+1, othpts[tag]);over = true;}}return envpts;}public List<Tin> EnvelopeDivision(List<Point_T> pts)//凸包剖分{List<Tin> envtins = new List<Tin>();List<Point_T> cpts = new List<Point_T>();foreach (Point_T pt in pts){cpts.Add(pt);}while (cpts.Count > 2){int tag = 0;double minangle = 120;for (int i = 0; i < cpts.Count; i++){double angle;if (i == 0){angle = CalcuAngle(cpts[cpts.Count - 1], cpts[i], cpts[i + 1]);}else if (i == cpts.Count - 1){angle = CalcuAngle(cpts[i-1], cpts[i], cpts[0]);}else{angle = CalcuAngle(cpts[i-1], cpts[i], cpts[i + 1]);}if ((angle - 60) < minangle){minangle = angle - 60;tag = i;}}int btag=tag-1;int atag=tag+1;if (tag == 0){btag = cpts.Count - 1;}else if (tag == cpts.Count - 1){atag = 0;}Tin ctin = new Tin(cpts[btag], cpts[tag], cpts[atag]);envtins.Add(ctin);cpts.RemoveAt(tag);}return envtins;}public List<Tin> TinInsert(List<Tin> tins, List<Point_T> pts)//离散点内插 {List<Tin> deltins = new List<Tin>();List<Tin> ctins = new List<Tin>();//临时凸包foreach (Tin tin in tins){ctins.Add(tin);}foreach (Point_T pt in pts)//对离散点遍历，内插{List<Point_T> cpts = new List<Point_T>();//临时点集foreach (Tin tin in ctins)//找到外接圆包含离散点的三角形{Circle_T ccir = DelauneyCicle(tin);//构造外接圆if (IsPointInCircle(pt, ccir))//点是否包含在圆内{//for (int i = 0; i < 3; i++)//{// if (!cpts.Contains(tin.Pthree[i]))// {// cpts.Add(tin.Pthree[i]);//记录当前点// }//}deltins.Add(tin); //记录保存当前三角形}}//List<Point_T> ecpts = EnvelopeTin(cpts);//求点集（外接圆包含离散的三角形）的凸包？，接下来，插入点，构建新三角网//for (int j = 0; j < ecpts.Count;j++ )//{// Tin tin;// if (j == ecpts.Count-1)// {// tin = new Tin(ecpts[j], ecpts[0], pt);// }// else// {// tin=new Tin(ecpts[j],ecpts[j+1],pt);// }// ctins.Add(tin);//}List<Line_T> eli = BorderTin(deltins);foreach (Line_T line in eli){Tin tin = new Tin(line.Frompt, line.Topt, pt);ctins.Add(tin);}foreach (Tin tin in deltins)//改变临时三角网（删除deltins保存的三角网）{ctins.Remove(tin);}deltins.Clear();}return ctins;}3）public bool IsLeftPoint(Point_T pt, Line_T line)//点在线的左边;叉积大于{bool yes = false;if ((pt.X - line.Frompt.X) * line.ParaA + (pt.Y - line.Frompt.Y) * line.ParaB > 0){yes = true;}return yes;}public double CalcuAngle(Point_T fp, Point_T mp, Point_T tp)//首，中，尾三点构成的夹角{double angle = 0;Point_T vector1 = new Point_T(fp.X - mp.X, fp.Y - mp.Y);Point_T vector2 = new Point_T(tp.X - mp.X, tp.Y - mp.Y);angle = Math.Acos((vector1.X * vector2.X + vector1.Y * vector2.Y) /(Math.Sqrt(vector1.X * vector1.X + vector1.Y * vector1.Y) *Math.Sqrt(vector2.X * vector2.X + vector2.Y * vector2.Y)));return angle;}public Circle_T DelauneyCicle(Tin tin)//构建三角形的外接圆{double x1 = tin.Pthree[0].X;double x2 = tin.Pthree[1].X;double x3 = tin.Pthree[2].X;double y1 = tin.Pthree[0].Y;double y2 = tin.Pthree[1].Y;double y3 = tin.Pthree[2].Y;double x = ((y2 - y1) * (y3 * y3 - y1 * y1 + x3 * x3 - x1 * x1) - (y3 - y1) * (y2 * y2 - y1 * y1 + x2 * x2 - x1 * x1))/ (2 * (x3 - x1) * (y2 - y1) - 2 * ((x2 - x1) * (y3 - y1)));double y = ((x2 - x1) * (x3 * x3 - x1 * x1 + y3 * y3 - y1 * y1) - (x3 - x1) * (x2 * x2 - x1 * x1 + y2 * y2 - y1 * y1))/ (2 * (y3 - y1) * (x2 - x1) - 2 * ((y2 - y1) * (x3 - x1)));Point_T cpt = new Point_T(x, y);double radius=Math.Sqrt(Math.Pow((x1-x),2)+Math.Pow((y1-y),2));Circle_T cir = new Circle_T(cpt,radius);return cir;}public bool IsPointInCircle(Point_T pt, Circle_T cir){if(Math.Sqrt(Math.Pow((pt.X-cir.Cpt.X),2)+Math.Pow((pt.Y-cir.Cpt.Y),2))<cir.Radius) {return true;}elsereturn false;}public List<Line_T> BorderTin(List<Tin> tins){List<Line_T> borli = new List<Line_T>();for (int i = 0; i < tins.Count; i++){for (int t = 0; t < 3; t++){bool tag = false;Line_T cl = tins[i].Lthree[t];for (int j = 0; j < tins.Count; j++){if (j!=i&&IsContainByTin(cl, tins[j])){tag = true;}}if (!tag)borli.Add(cl);}}return borli;}public bool IsContainByTin(Line_T li, Tin tin){for (int i = 0; i < 3; i++){if ((li.Frompt == tin.Lthree[i].Frompt || li.Frompt ==tin.Lthree[i].Topt) && (li.Topt == tin.Lthree[i].Topt || li.Topt ==tin.Lthree[i].Frompt)){return true;}}return false;}6.实现两个排序类CompareXsubY（x-y排序）和CompareXaddY（x+y 排序），仿照CompareX写功能操作步骤：先在面板上绘制多个点；框选部分点；按下实现Delaunay三角网剖分工具，Delaunay三角网剖分成功。
python中scipy库delaunay的simplices用法
python中scipy库delaunay的simplices用法Python中的SciPy库提供了许多用于科学计算和数据分析的功能，其中包括Delaunay三角剖分算法的实现。
在SciPy库中，Delaunay对象的simplices属性提供了三角剖分的结果，即每个三角形的顶点索引。
本文将介绍如何在Python中使用SciPy库中的Delaunay对象以及如何利用simplices属性来获取三角剖分的信息。
首先，我们需要导入SciPy库和相关模块：```pythonimport numpy as npfrom scipy.spatial import Delaunay```接下来，我们需要创建一组二维点坐标作为输入数据：```pythonpoints = np.array([[0, 0], [1, 0], [0, 1], [1, 1]])```然后，我们可以使用Delaunay对象对这组点进行三角剖分：```pythontri = Delaunay(points)```现在，我们可以通过simplices属性获取三角剖分的结果：```pythonprint(tri.simplices)```simplices属性返回一个二维数组，其中每一行表示一个三角形，每个元素表示一个点的索引。
例如，如果我们有四个点进行三角剖分，那么simplices的输出可能如下所示：```[[0 2 1][1 2 3]]```这表示了两个三角形，第一个三角形的顶点索引为0、2和1，第二个三角形的顶点索引为1、2和3。
通过使用Delaunay对象的simplices属性，我们可以轻松地获取三角剖分的结果，并进一步分析和处理这些结果。
在实际应用中，Delaunay三角剖分算法常用于网格生成、形状识别、插值等领域，对于处理空间数据具有重要的作用。
总之，Python中SciPy库的Delaunay对象的simplices属性提供了方便的接口来获取三角剖分的结果，为科学计算和数据分析提供了强大的支持。
matlab 曲面三角剖分
一、概述Matlab是一种用于数学计算、数据分析和可视化的强大软件工具。
曲面三角剖分是在三维空间中创建曲面网格的过程，常用于工程、地质、医学等领域。
在Matlab中，曲面三角剖分可以通过多种方法实现，本文将介绍在Matlab中实现曲面三角剖分的方法和技巧。
二、Matlab中的曲面三角剖分在Matlab中，曲面三角剖分通常使用triangulation函数来实现。
该函数可以将点云数据转换为三角形网格数据，从而创建曲面的三角剖分。
在使用triangulation函数之前，我们需要准备好曲面的点云数据，可以通过手动输入或者读取外部文件获取点云数据。
三、创建点云数据1. 手动输入点云数据在Matlab中，可以使用数组或者矩阵来手动输入曲面的点云数据。
我们可以定义一个包含曲面上各个点的坐标的数组，例如:x = [0, 1, 2, 3];y = [0, 1, 2, 3];z = [0, 0, 0, 0];这些点的坐标可以表示为空间中的一个平面，通过triangulation函数，可以将这些点转换为三角形网格数据，实现曲面的三角剖分。
2. 读取外部文件获取点云数据除了手动输入外，还可以通过读取外部文件获取曲面的点云数据。
在实际应用中，曲面的点云数据通常是通过CAD软件、三维扫描仪等设备获取的。
在Matlab中，可以通过导入外部文件的方式将点云数据导入到Matlab环境中，然后使用triangulation函数进行三角剖分。
四、triangulation函数的使用一旦准备好曲面的点云数据，就可以使用triangulation函数进行曲面的三角剖分。
triangulation函数的基本语法如下:tri = triangulation(x, y, z);其中x、y、z是曲面上各个点的坐标，tri是表示三角形网格数据的三角剖分对象。
五、绘制曲面三角剖分图形在使用triangulation函数创建三角剖分对象后，可以通过plot函数将曲面的三角剖分图形绘制出来。
matlab delaunay算法提取离散点边界的方法
matlab delaunay算法提取离散点边界的方法MATLAB Delaunay算法提取离散点边界的方法在现代科学和工程领域，我们经常会遇到需要处理离散点数据的情况。
地理信息系统、医学图像处理、地震学和遥感技术等领域都需要对离散点数据进行分析和处理。
而其中一个常见的问题就是如何从离散点数据中提取边界。
在MATLAB中，我们可以使用Delaunay算法来解决这个问题。
下面，我将深入探讨MATLAB中使用Delaunay算法提取离散点边界的方法并共享我的个人观点和理解。
1. Delaunay算法简介Delaunay三角剖分是一种将离散点集合转换为三角形网格的方法，它具有许多重要的性质，其中之一就是能够有效地提取离散点的边界。
在MATLAB中，我们可以使用`delaunay`函数来进行Delaunay三角剖分，该函数返回离散点的连接信息，也就是三角形的顶点索引。
接下来，我们可以根据这些连接信息来提取边界。
2. 提取离散点边界的方法在MATLAB中，我们可以通过以下步骤来提取离散点数据的边界：2.1 构建Delaunay三角形我们使用`delaunay`函数对离散点数据进行三角剖分，得到三角形的连接信息。
2.2 寻找边界三角形接下来，我们需要寻找属于边界的三角形。
一种简单的方法是遍历所有三角形，对每个三角形的边界进行检查，如果有边是不被其他三角形共享的，则将该三角形标记为边界三角形。
2.3 提取边界我们可以根据边界三角形的连接信息，提取离散点数据的边界。
这可以通过简单地将边界三角形的顶点连接起来来实现。
3. 我对提取离散点边界的方法的理解从我个人的角度来看，MATLAB中使用Delaunay算法提取离散点边界的方法具有一定的优势。
Delaunay三角剖分可以很好地保持三角形的形状，因此提取的边界也比较准确。
MATLAB提供了丰富的函数和工具，使得实现这一方法变得相对简单。
不过，需要注意的是，这种方法可能对于特定形状和分布的离散点数据并不适用，因此在实际应用中需要谨慎选择。
二维Delaunay三角剖分在地质建模中的稳定化研究
二维Delaunay三角剖分在地质建模中的稳定化研究张琳;孔祥铭;张尧尧【摘要】二维三角剖分是要将平面内的一些散点以及线段组成的集合剖分成不均匀的三角形网格,使得三角网格中只含有Denaulay边和Denaulay三角形.在地质建模中,由于数据规模和数据大小通常非常大,因此计算的浮点误差也会有很大的影响,在使用Triangle生成CDT时,往往因为这种误差,导致程序崩溃.文章将讨论这种误差的产生原因,进而提出改进算法,使Triangle更加稳定,满足实际需求.【期刊名称】《中国高新技术企业》【年(卷),期】2010(000)024【总页数】3页(P53-55)【关键词】三角剖分;Denaulay;vironoi图;Triangle;地质建模【作者】张琳;孔祥铭;张尧尧【作者单位】华北电力大学,北京102206;华北电力大学,北京102206;华北电力大学,北京102206【正文语种】中文【中图分类】TP391三角剖分问题是计算几何和计算机辅助设计与分析中的一个重要问题。
Delaunay 三角剖分是二维平面内的最优三角剖，它在有限元分析、信息可视化、计算机图形学等应用领域有着重要应用。
当前，对平面三角剖分及其约束条件下的三角剖分主要有分治、逐点插入三角网格插入法，大多约束三角剖分算法也是基于此基础之上。
在分析研究区域(二维) 的离散数据时，都可以尝试一下采用Delaunay 三角网或Voronoi 图的分析途径。
如GIS 中的网络分析。
描述地表形态的一种最佳方法，是地表(地貌和地物) 数字化表现的手段和分析工具。
当然，它的应用不仅适用于地学，而且活跃于所有与二维分析有关的领域，而且还将活跃于地图信息识别领域。
Triangle是用C语言编写的程序，可以生成二维的Delaunay三角剖分、Constraint Delaunay三角剖分和Voronoi图。
Triangle的计算速度快，存储效率高，并且稳定。
基于MATLAB实现二维delaunay三角剖分
ｅｅ ｎ）－ ｌ ｍｅ ｔ；题 。 ｌ ］
群 等 。
Ｄ ｌ ｎｙ ｅ ｕ ａ 三角剖分（ ａ 简称 Ｄ ） 目前最流行的通用的全 自动网格生成方法之一 。 Ｔ有两 Ｔ是 Ｄ 个重要特性 ：最大一 最小角特性和空外接 圆特性。Ｄ 的最大． Ｔ 最小角特性使它在二维情况下 自动地避免了生成小内角的长薄单元 。 因此特别适用于有限元网格生成 。 大体上可将 Ｄ Ｔ算
１ ２ ｍ ｓ ｇｉ ｄ函数 ． ｅｈ ｒ
为了在任意 凸多边形内产生一个点集，可 以利用 Ｍａａ ｔｂ中的 ｍ ｓｇｉ ｌ ｅｈｒ ｄ命令 。其用法如
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３ ４
３
５１
其 输入 为矩 形 的 Ｘ 、Ｙ方 向上 的范 围 ，输 出为两个 向量 ，分 别表 示 ｘ和 Ｙ方 向上满 足一 定 间 距 的点 的坐 标 。
１ ３ ｉ ｐ ｌ ｇ ｎ函 数 ． ｎ ｏｙ ｏ ’
ｉｐ ｌｇ ｎ函数 的作用 是判 断 一个 点是 否存 在 于一 个 多边 形 内 。它 的用法 是 ， ｎ ｏｙ ｏ
【 Ｏ ＝ｉｐ ｌｇ ｎＸ， ， Ｖｙ ） Ｉ Ｎ］ ｎ ｏｙ ｏ （ Ｙ Ｘ ， ｖ Ｎ
其 输入 值 Ｘ 和 Ｙ 分别表 示 点集 中每 个 点 的 ｘ和 Ｙ坐标 值 ，而 Ｘ Ｖ和 ｙ ｖ则分 别 表示 多边 形 定 点的 ｘ和 Ｙ坐标 值 。若 点集 中某 一 点在 多边 形 内则其返 回值 Ｉ 为 １ Ｎ ，若 不在 则 Ｉ 为 ０ Ｎ ，若 某 一 点在 多边 形 的边 界上 则 ＯＮ 为 １ ，若 不在 边界 上 则 Ｏ 为 ０ Ｎ 。
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基于MATLAB 实现二维delaunay 三角剖分
刘锋涛凡友华
（哈尔滨工业大学深圳研究生院深圳518055）
【摘要】在已知凸多边形的顶点坐标的前提情况下，利用MATLAB 中的meshgrid 函数产生多边形附近矩形区域内的网格点的坐标，然后再利用inpolygon 函数判断哪些点位于多边形内和哪些点位于多边形的边界上。
在此基础上利用delaunay 函数来完成delaunay 三角剖分。
【关键词】delaunay 三角剖分；MATLAB
网格划分是有限元分析前处理中的关键步骤，网格划分的密度以及质量对有限元计算的精度、效率以及收敛性有着重要的影响作用。
自20世纪70年代开始，关于有限元网格生成方法的研究已经取得了许多重要成果，提出许多有效的算法。
Ho-Le 对网格生成方法进行了系统的分类[1]。
许多学者也对网格生成的方法进行了综述，如我国的学者胡恩球等[2]、关振群等[3]。
Delaunay 三角剖分(简称DT)是目前最流行的通用的全自动网格生成方法之一。
DT 有两个重要特性：最大-最小角特性和空外接圆特性。
DT 的最大-最小角特性使它在二维情况下自动地避免了生成小内角的长薄单元。
因此特别适用于有限元网格生成。
大体上可将DT 算法分为三大类：分治算法，逐点插入法和三角网生长法。
经典DT 技术已经相当成熟，近年来的研究重点是约束DT 的边界恢复算法，以及如何克服算法退化现象所产生的薄元(sliver element)问题[3]。
然而，实现DT 有限元网格生成，对于非计算机图形学专业的工程师来说还是很复杂的。
在处理一些对有限元网格划分质量不过的问题时，如极限分析的有限元方法，可以采用一些更为简单的方法来实现。
在Matlab 计算软件中，已有一个成熟的函数delaunay 可以实现对一系列点的DT 划分。
因此，本文基于Matlab 的delaunay 等一些函数来完成一个凸多边形的DT 网格划分。
1MATLAB 中的函数
1.1delaunay 函数
delaunay 函数可以按照DT 网格划分的要求将一个点集中的点划归某一个有限网格所有。
它在Matlab 中的用法如下：
=delaunay(,) or,
=delaunay(,,)
TRI x y TRI x y options 其输入为点集中所有点的横、纵坐标向量x 和y ，返回值为一个的矩阵，矩阵中每一3m ×行表示DT 网格中一个三角形网格的三个顶点。
1.2meshgird 函数
为了在任意凸多边形内产生一个点集，可以利用Matlab 中的meshgrid 命令。
其用法如下：
[,] = meshgrid(,)
X Y x y
其输入为矩形的x、y方向上的范围，输出为两个向量，分别表示x和y方向上满足一定间距的点的坐标。
1.3inpolygon函数
inpolygon函数的作用是判断一个点是否存在于一个多边形内。
它的用法是，
IN ON X Y xv yv
[] = inpolygon(,,,)
其输入值X和Y分别表示点集中每个点的x和y坐标值，而xv和yv则分别表示多边形定点的x和y坐标值。
若点集中某一点在多边形内则其返回值IN为1，若不在则IN为0，若某一点在多边形的边界上则ON为1，若不在边界上则ON为0。
1.4基于MATLAB的简单DT方法
在MATLAB中，基于delaunay函数、meshgrid函数和inpolygon函数完成DT网格划分的步骤是：
（1）定义一个多边形，并求出多边形顶点最大的x、y坐标值。
（2）以最大的x、y坐标值作为x和y方向上的长度构造一个矩形。
（3）利用meshgrid函数在构造的矩形区域内构造出一个点集，其密度可以根据需要进行加密。
（4）利用inpolygon函数判断点和多边形的位置关系，求出位于多边形内和边界上的点。
（5）再利用delaunay函数将在多边形内和边界上的点进行三角形划分，之后，可以利用trimesh 函数将图形绘制出，并可以得出三角形的顶点坐标和编号。
2一个简单的例子
任意定义一个凸多边形，如图1。
按照2.4节中的步骤，对其进行网格划分，划分结果见图2。
部分主要的程序见附录。
图1定义的多边形图2delaunay网格划分结果从图2中，可以看出凸多边形内部的三角形划分结果比较理想，但是边界处出现了很薄的三角形单元，并且内部的网格划分的密度一致。
然而，对于一些对网格质量要求不高的具体问题还是可以忍受的。
3讨论
此种方法主要是基于Matlab中现有的函数命令来实现DT网格划分的，因此对于那些不熟悉计算机图形学基础知识的工程技术人员而言，很容易掌握并自己编程实现。
这也是使
用该方法的主要目的。
然而，在此方法中还存在着几个问题：
（1）此种方法只能用于凸多边形的DT划分；
（2）网格划分结果不能实现在同一个区域内不同网格密度的划分；
（3）边界处网格划分的结果不理想，有很薄的三角形单元出现。
若对以上三个要求的不高，则此种方法可以发挥其简单易用的优势，使DT网格划分技术更加容易掌握。
参考文献
[1]K.Ho-Le.Finite element mesh generation method:A review and puter Aided Design,1988,20(1):27~38
[2]胡恩球,张新访,向文,周济.有限元网格生成方法发展综述.计算机辅助设计与图形学学报.1997, 9(4):378~383
[3]关振群,宋超,顾元宪,隋晓峰.有限元网格生成方法研究的新进展.计算机辅助设计与图形学学报. 2003,15(1):1~14。