数字信号习题作业课件

由已知可得：f (n) x(n) * y(n) y(n)x(n m)
N 1
m N 1
anmu(n m) an amu(n m)
m0
m0
当 n 0 时，f (n) 0
当
0
n
N
1
时，f
(n)
n
an am
m0
an
1 an1 1 a1
an1 -1 a 1
。
当
n
N
时，
f
(n)
N 1
习题1.14
❖ 确定下列系统的因果性与稳定性
❖ （3） y(n) x(n n0 )
❖ （4） h(n) 0.5n u(n)
（3）y(n) x(n n0 )
当 n0 0时，该系统是因果的，
当 n0 0 时，该系统是非因果的，
又当x(n)有界，则y(n)也有界
故该系统是稳定系统。
（4）h(n) 0.5n u(n)
作业习题讲解
郭建伟
第一部分
数字信号处理（第二版）吴镇扬 第一章 第三章
习题1.2
❖ 判断下列序列是否是周期序列，若是，确定其周 期长度
❖
（1）
x(n)
c os (3
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
❖
（2）
x(n)
sin(n
7
)
c
os
4
(n )
4
7
解答习题1.2
❖ 解：(1)由 x(n) cos(3 n )
❖ 可得 N 2 14
F(z)z n1dz 1
c
2j
c (1
1 az 1
zN )(1
z
1
)
z
n1dz
1
z n1 z n1N dz 1
z n1 z n1N dz
2j c(1 az1)(1 z 1) 2j c( z a)(z 1)
当 n N 时，C内两个极点：a，1
f (n) a n1 a n1N a 1
0
f
(n)
an1 1 a 1
an1 an1N
a 1
n0 0 n N 1
n N 1
习题1.20
❖ 讨论一个具有下列系统函数的线性时不变性因果系
统
X
(z)
1 a1z 1 1 az1
❖ （1）对于什么样的a值范围系统是稳定的？
❖ （2）如果0 a 1，画出零极点图，并标出收敛
区域。
1
z n1dz 1
z n1
dz
2j c
2j c(1 az1)(1 z1)
2j c( z a)(z 1)
。
C内极点：a，1，
a n1
1n1
a n1 1
f (n)
a 1 (1 a) a 1
当n 0 时，C内极点：a，1，还有z=0多阶极点，不好求。 采用留数辅助定理，C外无极点，因此，
f (n) 0
1n1 1n1N (1 a)
a
n 1 aN 1 a 1
当 0 n N 1 时，C内极点：a，1，还有z=0多阶极点， 不好求。
考虑有
Y( z) 1 1 z 1
| z | 1
F(z)
X (z)Y(z)
1 1 az1
1 1 z1
1 (1 az1)(1
z 1 )
f (n) 1 F(z)zn1dz 1
习题1.11（2）
（2）由 y(n) x2 (n)可得
T[ax(n) bx(n)] a2 x12 (n) 2abx1(n)x2 (n) b2 x22 (n)
T[ax1(n)] T[bx2(n)] ax12(n) bx22(n) 所以 T[ax1(n) bx2(n)] T[ax1(n)] T[bx2(n)] y(n)为非线性 又T[x(n n0 )] x2 (n n0 ) y(n n0 ) 故y(n)为时不变
an am
m0
an
1 aN 1 a1
Z变换法（留数法）
由已知可得
X( z) 1 1 az1
| z | a Y( z) 1 z N 1 z 1
而 F(z) X (z)Y(z) 1 1 zN
1 zN
1 az1 1 z 1 (1 az1)(1 z 1)
| z | 1
所以
f (n) 1
2j
因为 n 0 时，h(n)=0,所以h(n)是因果系统
又
h(n) | 0.5n |
1
2
n
n0
1 0.5
所以h(n)是稳定的
习题1.17
❖ 分别用直接卷积和z变换求 f (n) x(n)* y(n) ❖ （3）
x(n) anu(n) y(n) RN (n) 0 | a | 1
习题1.17（直接法）
习题3.4
由周期卷积公式 ~f (n) N1 ~x (m)~y(n m) N1 ~x (n m)~y (m)
m0
m0
F~(k) DFS [ ~f (n)] N 1 ~f (n)WNkn n0
习题3.6
❖ 计算下列有限长序列x(n)的DFT，假设长度为N。 ❖ （2）
7
4
w3
❖ 故为x(n)周期序列，且最小周期为14
❖ （２）由 x(n) sin(n) cos(n)
❖ 可得
N1
2
w1
4
8,
N2
2
w2
14
7
❖ 那么它们的最小公倍数为56
❖ 故为x(n)周期序列，且最小周期为56
习题1.11
❖ 下列系统中，y(n)表示输出，x(n)表示输入，试确 定系统是否是线性系统？是否是时不变系统？
❖ （3）在Z平面上用图解证明该系统是一个全通系统， 亦即频率响应的幅度为一常数。
习题1.20
（1）由已知可得
X (z)
1 a 1 z 1 1 az 1
z 1 a
z a
所以其极点为z=a,故为使系统稳定，应使|a|<1;
（2）当0<a<1时，极点 z=a，零点z= a1
由 az1 1 可得收敛域为 z a
❖ （1）
y(n) 2x(n) 5
❖ （2）
y(n) x2 (n)
习题1.11（1）
（1）由 y(n) 2x(n) 5 可得
T[ax1(n) bx2 (n)] 2ax1(n) 2bx2 (n) 5
T[ax1(n)] T[bx2 (n)] 2ax1(n) 2bx2 (n) 10 故 T[ax1(n) bx2 (n)] T[ax1(n)] T[bx2 (n)] 所以y(n)为非线性 又 T[x(n n0 )] 2x(n n0 ) 5 y(n y0 ) 所以y(n)为时不变
所以可画出零极点图和收敛域。
（3）
|H(ejw)|=|AB|/|AC|=1/a 即全通
习题3.4
❖设
x(n)
1 0
0n3 others
~x (n)
x(n 8r)
r
1 0 n 7 y(n) 0 others
~y (n)
y(n 8r)
r
❖ 求 ~x(n)、~f (n)周期卷积序列 ~y(n)，以及F~(k)。