生物统计学课件--17曲线拟合(回归)

将up= y`= 0 代入 y`= a + bx`， 则有 ：0 = a + bx`，
则有：x`= -a/b，
a
因为 x` = lgx，所以 x 10 b
此时的x即为半致死剂量，用LD50表示。
a
LD50 10 b
例题：用不同剂量的 射线照射小麦品种库斑克， 调查死苗率，得到以下结果：
剂量（Kr）x 14
作物种植密度与作物产量的关系 辐射强度或药物的浓度与致死率的关系
我们将数据做适当的变换，将曲线化为直线，再按 直线回归分析的方法处理，就可以求出相应的曲线 回归方程，这一分析过程，就称为曲线拟合。
为了将回归曲线直线化，首先要了解两个变量间所 呈的函数关系。 两个变量间的函数关系，可以根据专业知识去判定。 例如： 生长曲线一般呈S形曲线关系。 细菌的生长量与时间的关系为指数函数关系等。 此外还可以由散点图来判定两个变量的关系。
所以有： yˆ 25.8058 49.6832lg x
回归关系的检验可以进行回归系数或相关系数的检验。
苗床内最高气温y与空气最高气温x`（lgx）之间的线性关系
二、指数曲线的拟合 1、一般化方程：
y abx,
y a ebx
2、描述的现象：
细菌的繁殖 土壤中某些杀虫剂的分解曲线 放射性同位素的衰变 水果、蔬菜的腐败和温度的关系
x 温度 y 产卵数
y`=lgy
21
23
25
27
29
32
7
11
21
24
66 115
0.8451 1.0414 1.3222 1.3802 1.8192 2.0607
35 325 2.5119
由(x，y)的散点图可见，x 与 y 有曲线回归关系,散点分布近于指数函数曲 线的分布
将y`=lgy与x做散点图(x，lgy)，x与lgy的分布近似于线性分布。
X 28 32 40 50 60 72 80 80 85 Y 8 12 18 28 30 55 61 85 80
1、画两个变量的散点图：
由不同数据变换的散点图可见，X与Y的关系是幂函数的关系。
y a xb
按照幂函数的直线化方法，求二级数据：
SSx` 0.2658 x` 15.6245 x` 1.7361
例：在水稻塑料薄膜青苗床内空气最高温度和室外空气最高温 度资料列于下表，试求它们之间的相关关系。
序号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
X 7.2 7.9 11.8 16.9 12.0 18.7 18.9 20.2 21.8 22.7
Y 13.8 21.4 24.9 33.6 32.3 39.5 40.1 36.9 40.2 42.6
因为：a’ = lga，所以：a = 10-1.9577 = 0.0110
所以： yˆ 0.011 x1.9928
五、曲线的检验
有时将同一组数据，我们将其做指数函数或幂函数形式的变 换，都能得到X与Y的拟合曲线，并且可能在做线性回归关 系检验的时候，线性关系都显著。
那么，究竟哪一条拟合曲线是最好的呢？
一、对数函数曲线的拟合
1、对数方程的一般表达式： yˆ a b lg x
2、对数曲线 yˆ a b lg x 的图象
3、 yˆ a b lg x 直线化方法：
若令 lg x x` ，则有 yˆ a bx`
4、求 a 和 b 的值：
b SSx`y , SSx`
a y b x`
y 767.5,
y 38.375,
SSx` 0.6275
SSy 1721 .6175
x`y 1022.5943, SSx`y x`y x`y / n 31.1762
b SSx`y 31.1762 49.6832 SSx` 0.6275
a y b x` 38.375 49.68321.2918 25.8058
三、幂函数曲线的拟合
1、一般化方程： y a xb
2、幂函数 y a xb 曲线的图象
3、直线化的方法：
两边取常用对数，使之线性化，得： lg y lg a b lg x
令：lgy = y`，lgx = x`，lga = a`，则：y`= a`+bx` 上式符合直线回归方程的一般形式。 四、怎样知道利用对数转换
X：室外气温
Y：苗床内气温
首先,根据上表的数据(x，y)绘制散点图。
由散点图看x与y的关系符合曲线类型，很象b>0时的对数函数曲线 y=a+blgx，所以做x`=lgx的对数转换，并求x`=lgx。以（x`，y）作散 点图，散点近似于线性分布。
求一级和二级数据：
x` 25.835, x`1.2918,
1、概率转换：
P（u < up）= p， 其中， p 为死亡率，即为 y 值，up为y`的值。 2、对数转换：
x`= lgx，x 为辐射剂量。
则：y`=a+bx`，y`与x`间有很好的线性关系。
3、半致死剂量：
所谓的半致死剂量，即为Y=50%时的辐射或药物剂量X，用 LD50来表示，当p = y = 0.5时，P（u<up）= 0.5，则 up= 0。
第五节 曲线拟合（非线性回归分析）
（可化为直线的曲线回归方程） 一元线性回归方程是一种最简单的回归，但在实际工作 中，遇到的却也很多。因为任何一种曲线回归，在一个很小 的区间内，都可以认为是直线回归。 尽管如此，直线回归并不能代替曲线回归。 生物学中呈曲线关系的例子很多：
细菌生长的数量与时间的关系 年龄与身高的关系
答:半致死剂量为18.6（Kr）
五、曲线的检验
有时将同一组数据，我们将其做指数函数或幂函数形式的变 换，都能得到X与Y的拟合曲线，并且可能在做线性回归关 系检验的时候，线性关系都显著，那么，究竟哪一条拟合曲 线是最好的呢？
一般情况下，以剩余平方和或称之为误差平方和的大小来判
断，即SSe最小时的拟合曲线为最好的曲线。
SSx` 0.057 a y`b x` 0.262 12.105261.292 15.378 yˆ` 15.37812.10526x`
yˆ` 15.37812.10526x`
a = -15.378 , b = 12.10526
LD50
15.378
10 12.10625
101.270
18.62
n
2
必须用 SSe yi yˆi 来计算，
i1
不可以用 SSe SSy SSx2y / SSx 来计算。
可以对一组数据尝试进行多种拟合，找出SSe最小，其为最好的拟合曲线。
一般情况下，以剩余平方和或称之为误差平方和的大小来判
断，即SSe最小时的拟合曲线为最好的曲线。
n
必须用 SSe yi yˆi 2 来计算， i 1
不可以用 SSe SSy SSx2y / SSx 来计算。
可以对一组数据尝试进行多种拟合，找出SSe最小，其为最好 的拟合曲线。
四、概率对数变换
因此，对转换后的数据（褐色）进行线性分析：
yˆ` a bx`
求二级数据：
x` 9.043, x` 1.292, SSx` 0.057 y` 1.837 , y` 0.262 , SSy` 8.577 SSx`y` x`y`x`y`/ n 0.690 b SSx`y` 0.690 12.10526
SSy` 1.0824 y` 13.5202 y` 1.5022
SSx`y` x`y`x`y`/ n 0.5297
b SSx`y` 0.5297 1.9928 SSx` 0.2658
a` y`b`x`1.50221.99281.7361 1.9577
Y’ 对 X’ 的回归方程为：yˆ` 1.9577 1.9928x`
16
18
20
22
死苗率（%）y 6
10
40
70
80
24
26
93
95
Байду номын сангаас
x`=lgx 1.146 1.204 1.255 1.301 1.342 1.380 1.415
y`=up
-1.555 -0.842 -0.253 0.524 0.842
1.476 1.645
利用原始数据绘制散点图，x与y为S形曲线形状， 将y与x做概率转换和对数转换，则两者的散点图呈 线性关系。
X 与 lgy 的分布近似于线性分布，做线性回归：
lg y lg a x lg b, y` a`b`x
解：x 192 , x 27.4286 , SSx 147 .7143 y` 10.981, y` 1.5687 , SSy` 2.0925 SSxy` x y`x y`/ n 17.4510 b` SSxy` 17.4510 0.1181 SSx 147.7143 a` y`b`x 1.5687 0.1181 27.4286 1.6706
3、直线化的方法： y a bx ,
方程的两边取常用对数，有 lg y = lga + x·lgb 另lgy = y`，lga = a`，lgb = b`，则有：y`=a`+b`x
4、指数曲线 yˆ abx 的图象
例：棉花红铃虫的产卵数与温度有关，试根据下表数据，建立棉花红铃 虫产卵数与温度的回归方程。
最好的方法依然是绘制两个变量的散点图，如果散 点不符合直线或狭长形的椭圆，则可在双边对数纸上， 再将散点绘制出来，若散点的分布符合线性或狭长椭圆， 则可以进行x与y的双对数转换。
例题：在突变实验中，用不同剂量的射线，照射植物的种子，结果苗期高 度与成活株之间有一定的关系。用X射线照射大麦的种子，记处理株第一 叶平均高度占对照株高度的百分数为X，存活百分数为Y，得到以下结果， 试对两者的关系进行分析。
X` 0.8573 0.8976 1.0719 1.2279 1.0792 1.2718 1.2765 1.3054 1.3385 1.3560
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 22.9 23.1 23.3 23.6 23.8 27.0 27.6 28.6 30.7 31.4 Y 44.6 36.6 35.1 44.4 44.1 43.9 48.3 48.5 46.3 50.4 X` 1.3598 1.3636 1.3674 1.3729 1.3765 1.4314 1.4409 1.4564 1.4871 1.4969
在辐射育种和药理学实验中，经常遇到寻找半致死剂量的 问题。
致死率（y）与剂量（x）间的关系曲线往往呈S形。在半致 死处，曲线的斜率最大，与死亡率的交点最清楚，因此在 实际工作中，常常采用半致死剂量这一标准。
确定半致死剂量，最常用的方法就是概率对数转换，当我们 把死亡率做概率转换，辐射剂量做对数转换后，两者会呈很 好的线性关系。
a 10a` 101.6706 0.0214 b 10b` 100.1181 1.3125
yˆ 0.0214 1.3125 x
350
300
250
200
150
100
50
0
15
20
25
30
35
40
回归关系的检验：可以利用 b` 或者 r 进行检验，主要是对线 性关系的检验，线性回归或相关显著，则指数回归关系的拟 合就显著。