点到直线的距离公式
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（D
）
5.完成下列解题过程： ⑴ P在x轴上，P到直线l1: x 3 y +7=0与直线 l2: 12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 30 7 1 ( 3 )
2 2
=
12x 5 0 40 12 ( 5)
2 2
171 解得： x 1 或 x 37 171 所以P点坐标为： (1,0) 或 ( ,0) 37
⑵ 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两 腰的距离之和等于一腰上的高。 证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),x∈( a , a ) y B(0,b) 可求得lAB:( bx ay ab 0 ) lCB:( bx ay ab 0 ) bx ab F |PE|=( ) 2 2 E a b bx ab x |PF|=( ) C(-a,0) O P A(a,0) 2 2 2ab a b A到BC的距离h=( ) 2 2 a b 因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
Ax0 By0 C A B
2 2
辨析反思
反思1：在使用该公式前，须将直线方程化为 一般式． 前面我们是在A,B均不为零的假设下推导 反思2： 出公式的， 若A,B中有一个为零，公式是 否仍然成立？
返回
点到直线距离公式
点 P( x0 , y0 )到直线 Ax By C 0 （其中A、B不同时为0）的距离为
l2 :Ax+By+C2=0
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
小结
点 到 直 线 的 距 离
d Ax0 By0 C A B
2 2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
尝试回忆
要记牢 哦！很 重要的！
1.点 到 直 线 的 距 离:
d
d
Ax0 By 0 C A B | C2 C1 |
2 2
2.两平行线间的距离公式:
A B
2
2
濮阳县第三中学
梁俊峰
P到l1的距离等于l1与l2的距离
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少
Q
呢？
l2
O
x
任意两条平行直线都可 以写成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0 （两平行线间 C C 2 1 Ax0 By0 C1 PQ 的距离公式） A2 B2
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
例2 ：
y
求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x
O
P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0)
l
y
P
作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2 d Q Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0 By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
1 3 C. , 3 13
（A
）
4.已知两直线3x 2 y 3 0与6 x my 1 0互相 平行，则它们之间的距 离等于
A.4
2 3 B. 13 5 3 C. 26 7 13 D. 26
O x
y
P（x0,y0)
Q
l
创设情境
已知点P（x0,y0）和直线l Ax+By+C=0, (假设A、B≠ 0) 求点P到直线l 的距离.
y P（x0,y0)
Q O x
l
返回
尝试 合作 交流
思考：最容易想到的方法是什么？
思路①. 依据定义求距离,其流程为：
求l 的垂线l 1的方程
解方程组，得交点Q的坐标 求P Q 反思：这种解法的 优缺点是什么？
PS 求出 PR 、
利用勾股定理求出 RS
根据面积相等知 d RS PR PS 得到点 P 到 l 的距离 d PQ
思路② ：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
RS
PR 2 PS 2
A2 B 2 Ax0 By0 C AB
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l
y
R d Q
O
P
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
x
d
d
Ax0 By0 C A2 B 2
注： A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0 时一般不用此公式计算距离．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
反馈练习：
1.点（3，m）到直线 l：x 3 y 4 0的距离等于1， 则m等于
A. 3
B. 3
3 C. 3
（D 3 D. 3或 3
）
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点， 则 OP的最小值是
A. 10
B.2 2
（B
）
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线 4 x 3 y 1的距离不大于 3， 则a的取值范围
教案适用于人教版高中一年级， 第二册，第三章，第三节，第一课时 直接用PPT打开
河南省濮阳县第三中学 梁俊峰 邮编 457000
人教版高中数学必修2-2
点到直线的距离公式
濮阳县第三中学
梁俊峰
点到直线的距离
点到直线的距离
点到直线的距离公式的推导过程 点到直线的距离的定义 过点 P 作直线 l 的 垂线，垂足为 Q点，线 段 PQ 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离．
O y P（x0,y0)
Q
x
l
还有其 它方法 吗？
y
思路② 利用直角三角形的面积 公式的算法
O
R
·
Q
·
d
·
S
P x0 , y0
l : Ax By C 0
·
x
过 程 设 计：
过点 P 作
x 轴、y 轴的垂线 l 交于点 S、 R
方法② 利用直角三角形面 积公式的算法框图
用 x0、y0 表示点 S、 R 的坐标
）
5.完成下列解题过程： ⑴ P在x轴上，P到直线l1: x 3 y +7=0与直线 l2: 12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 30 7 1 ( 3 )
2 2
=
12x 5 0 40 12 ( 5)
2 2
171 解得： x 1 或 x 37 171 所以P点坐标为： (1,0) 或 ( ,0) 37
⑵ 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两 腰的距离之和等于一腰上的高。 证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),x∈( a , a ) y B(0,b) 可求得lAB:( bx ay ab 0 ) lCB:( bx ay ab 0 ) bx ab F |PE|=( ) 2 2 E a b bx ab x |PF|=( ) C(-a,0) O P A(a,0) 2 2 2ab a b A到BC的距离h=( ) 2 2 a b 因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
Ax0 By0 C A B
2 2
辨析反思
反思1：在使用该公式前，须将直线方程化为 一般式． 前面我们是在A,B均不为零的假设下推导 反思2： 出公式的， 若A,B中有一个为零，公式是 否仍然成立？
返回
点到直线距离公式
点 P( x0 , y0 )到直线 Ax By C 0 （其中A、B不同时为0）的距离为
l2 :Ax+By+C2=0
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
小结
点 到 直 线 的 距 离
d Ax0 By0 C A B
2 2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
尝试回忆
要记牢 哦！很 重要的！
1.点 到 直 线 的 距 离:
d
d
Ax0 By 0 C A B | C2 C1 |
2 2
2.两平行线间的距离公式:
A B
2
2
濮阳县第三中学
梁俊峰
P到l1的距离等于l1与l2的距离
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少
Q
呢？
l2
O
x
任意两条平行直线都可 以写成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0 （两平行线间 C C 2 1 Ax0 By0 C1 PQ 的距离公式） A2 B2
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
例2 ：
y
求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x
O
P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0)
l
y
P
作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2 d Q Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0 By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
1 3 C. , 3 13
（A
）
4.已知两直线3x 2 y 3 0与6 x my 1 0互相 平行，则它们之间的距 离等于
A.4
2 3 B. 13 5 3 C. 26 7 13 D. 26
O x
y
P（x0,y0)
Q
l
创设情境
已知点P（x0,y0）和直线l Ax+By+C=0, (假设A、B≠ 0) 求点P到直线l 的距离.
y P（x0,y0)
Q O x
l
返回
尝试 合作 交流
思考：最容易想到的方法是什么？
思路①. 依据定义求距离,其流程为：
求l 的垂线l 1的方程
解方程组，得交点Q的坐标 求P Q 反思：这种解法的 优缺点是什么？
PS 求出 PR 、
利用勾股定理求出 RS
根据面积相等知 d RS PR PS 得到点 P 到 l 的距离 d PQ
思路② ：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
RS
PR 2 PS 2
A2 B 2 Ax0 By0 C AB
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l
y
R d Q
O
P
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
x
d
d
Ax0 By0 C A2 B 2
注： A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0 时一般不用此公式计算距离．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
反馈练习：
1.点（3，m）到直线 l：x 3 y 4 0的距离等于1， 则m等于
A. 3
B. 3
3 C. 3
（D 3 D. 3或 3
）
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点， 则 OP的最小值是
A. 10
B.2 2
（B
）
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线 4 x 3 y 1的距离不大于 3， 则a的取值范围
教案适用于人教版高中一年级， 第二册，第三章，第三节，第一课时 直接用PPT打开
河南省濮阳县第三中学 梁俊峰 邮编 457000
人教版高中数学必修2-2
点到直线的距离公式
濮阳县第三中学
梁俊峰
点到直线的距离
点到直线的距离
点到直线的距离公式的推导过程 点到直线的距离的定义 过点 P 作直线 l 的 垂线，垂足为 Q点，线 段 PQ 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离．
O y P（x0,y0)
Q
x
l
还有其 它方法 吗？
y
思路② 利用直角三角形的面积 公式的算法
O
R
·
Q
·
d
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S
P x0 , y0
l : Ax By C 0
·
x
过 程 设 计：
过点 P 作
x 轴、y 轴的垂线 l 交于点 S、 R
方法② 利用直角三角形面 积公式的算法框图
用 x0、y0 表示点 S、 R 的坐标