第七章平面波的反射与透射

问题：确定反射波的各参数
方法：由边界条件可以确定
边界条件：在自由界面上位移不受任何限制，即应力等于零；
即在x=0的平面上，对于y与t的任意值有
x xy xz 0
由广义胡克定理和几何方程可以得到：
[
]x x0
t
2
u x
x0
0
[ xy ]x0
u
y
v
x
x
0
0
[
]xz x0
u z
w x
x0
地震P波(纵波)和S波(横波)运行时弹性岩石运动的形态
纵波：间隔形成压缩带（密集带）和膨胀带（稀疏带），传播 方向与振动方向一致，波速―― Vp
横波：传播方向与振动方向相垂直，波速――Vs 水平面内分量：称SV波 垂直面内分量：称SH波
§7-1平面波在自由界面上的反射
自由界面：指地表应力为零的界面，半无限 弹性体的界面就是自由界面。由于地球表 面大气压相对于地球内部压力来说是十分 小的，在讨论中可把大气压忽略不计，于 是地球表面可以看作自由界面。
地球物理场论 I
吉林大学 韩复兴
第七章 平面波的反射与透射
在无限弹性介质中有无旋波（纵波）和等容波（横波）这两种弹性波 的传播。
但是实际介质内部，一般都会存在分界面。如地表表面、岩层的分界 面。
通常把实际地层称为层状介质。本章研究弹性波在传播的过程中遇到 分界面的情况。
纵波和横波 地震波到达之处,介质就产生形变。由力学定律知道，任何 小的形变都可以分解为两部分：一部分表示胀缩，即变体积而不变形状；另 一部分表示畸变，即变形状而不变体积。
• 如果平面波的传播方向与z轴垂直（即在xoy面或平行于 xoy的平面内），弹性动力学问题中的场变量都依赖于x和 y两维，此时弹性动力学问题为二维问题，这 时讨论分层 介质波传播问题就是讨论这样二维弹性动力学问题。
§7-1平面波在自由界面上的反射
一、平面纵波在自由界面上的反射 设半无限弹性介质的自由表面为yoz面，z轴与图面垂直。
三点说明
• 因为地球介质在短暂力（如爆炸）的作用下，在离开震源 稍远的大部分地区 可看成弹性体，并且地球半径比地震 波波长大得多，所以可将地球看作半无限大弹性介质，同 时，可近似将地震波视为平面波。
• 任何复杂的波都可看成一系列不同振幅，不同频率及波长 谐波的叠加，因此仅讨论一个平面谐波入射到自由界面的 情形即可。
改写为 U 1A 1sin (tf1 xg 1y)
f1cVops1;g1sVinp1
设入射波为拉伸波，即质点的运动方向与波的前进方 向相反，于是可以知道在入射波中质点的位移分量为：
u 1 U 1c o s1 ,v 1 U 1sin1
假设与自由界面作用后，只有纵波反射，且反射纵波
的位移函数为：
u 3 U 3sin2 ,v 3 U 3c o s2
入射纵波、反射纵波、反射横波同时存在，在自由界面上 质点的位移分量为：
u u 1 u 2 u 3 ;v v 1 v 2 v 3
U 1A 1sin (tf1 xg 1y) u 1 U 1c o s1 ,v 1 U 1sin1
U 2 A 2 s in (t f2 x g 2 y 1 )u 2 U 2c o s2 ,v 2 U 2s in2
u 1 U 1c o s1 ,v 1 U 1sin1 u 2 U 2c o s2 ,v 2 U 2s in2
代入边界条件可以得到：
A 1( V 2 p [c A o 1ss2 in 2 1 )c 1o cso (s ( t t g1 g y1)y ) A 2 A (2 si n2 2 c 2o cso2 s ( 2t)c o g s(2 yt 1 g )2 ]y 0 1)0
形变传播时，两部分的传播速度不同。在震源附近，两部分还未分开， 所以波经过处的形变是复杂的。在较远的地方，波阵面就分成两个。胀缩波 传播较快，波阵面上的质点位移和传播方向一致，所以叫做纵波，一般用字 母P(Primary)表示。较慢的叫畸变波,质点位移和传播方向垂直，所以叫做 横波,一般用字母S(shear)表示。在均匀的介质中，波阵面在震源附近是曲 面，但在相当距离后就趋近于平面。为简单起见，现只讨论平面波。
假定yoz面的左边为真空，由于没有传播振动的介质，故不会 产生透射问题，全部入射波都在界面上被反射。
P1入射纵波
P1S1反射横波 P11反射纵波
设一平面纵波与x轴夹角为α1的方向入射到自由界面； 设入射纵波中质点的位移函数（即波动方程的解）为：
2U t2
Vp2
2U r2
U 1A 1sin(txcos1V pysin1)
U 2 A 2 s in (t f2 x g 2 y 1 )
f2
cV ops2;g2
sin2
Vp
f2前面的负号原因：反射波相对于x轴而言，是正向传播。
δ1为常数，表示由反射所引起的相位改变。
仍假设反射波为拉伸波，在此波动中质点的位移分量为：
u 2 U 2c o s2 ,v 2 U 2s in2
对于y的任意值，为了使第一式得到满足，必须有
(1)g1g2(即 11); (2)10,A 1A2或 1,A 1A2
上面两式是等价的，说明经过自由界面的反射，位移的位相 改变了π，但是将其代入第二式却不能使第二式得到满足。 于是我们可以知道仅有一反射的纵波，是不能同时满足边界 上无正应力和无剪应力的边界条件的。
现在我们证明还有一反射的横波，入射纵波、反射纵波、反 射横波代入可以同时满足边界上的边界条件。
设反射横波的传播方向与x轴的夹角为β2，相应于此波质点 的位移函数为：
U 3 A 3 s in (t f3 x g 3 y 2 )
f3cV oss2;g3sV inຫໍສະໝຸດ Baidu2
考虑到横波中质点的位移与传播方向垂直，且假定z方向无 运动，因此振动必然发生在oxy平面内，这样，在次波动中质 点的位移分量为：
0自 然 满 足
在此波动中，质点的位移函数与z无关，且位移在z方向的分量 w=0
因为在自由界面上既有入射波带来的位移，又有反射 波带来的位移。所以在假定只有反射纵波的时候，有
uu1u2;vv1v2
U 1A 1sin (tf1 xg 1y) U 2 A 2 s in (t f2 x g 2 y 1 )