组合数学 课后答案 PDF 版

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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?
解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28
甲参加的会议数为 28+5=33
3.2
:求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解:
设 A 3:被3整除的数的集合
A 5:被5整除的数的集合 A 7:被7整除的数的集合 所以 ||
=||-|
|
=
-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议,试证其中至少有2个人各自的朋友数相等
解:每个人的朋友数只能取0,1,…,n -1.但若有人的朋友数为0,即此人和其 他人都不认识,则其他人
的最大取数不超过n -2.故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n -1种可能.,根据鸽巢原理所
以至少有2人的朋友数相等.
3.4试给出下列等式的组合意义
0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑ 证明:
(1)从n 个不同元素中取k ,使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(k
n m
n m k m
n --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合(子集),i=1,…,m.
1212|...|(...)
12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0m
l =⎫ ⎪⎝⎭∑ (2)把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子,但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫
⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
令k=n-m ,设A i 为第i 个盒子有球,i=1,2,…k
12k 121|...|(...)
1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ k
j j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫
- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
∑ (3)设A i 为m+l 个元素中去m+i 个,含特定元素a 的方案集;N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

则:
10000101101211 |A |= |A |=1 m+i 1|A ||A |= m+i |A ||A | i=12|A ||A |= |A |=(|A |)...(1)1 1 i i i i i i i i l l m l m l m l N m i m i m l N l
N N N N N N N N m l m l m m +++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪
++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭=-=----=-+-+-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ -⎝⎭⎝⎭,,...,...(1)12l m l m l m l m m m l +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.5 设有3个7位的二进制数
4
3
2
1
4321
4321c c c c b b b b a a a a 6
6
5
765765c c c b b b a a a
试证存在整数i 和71,≤<≤j i j ,使得下列之一必然成立:
j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,
解:应用鸽巢原理,在每一个纵列中,含有三个元素,分别都只由两种选择0 或1,应用鸽巢原理所以必有i i i i i i c b c a b a ===,
中至少一个必然成立;成
立的时候取值的不同可以有这样几种情况:22
3⨯C =6种,而每一横行共有七个元素,
再次用鸽巢原理,必有两列是相同的 即: j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,
之一必然成立
证明:分别连接对边的中点,这样正方形被均匀的分成四个域,在正方形内任取5点,根据鸽巢原理,
证明:将边长为1的等边三角行分成4
三角形的边长为2
1
,离小于2
1。

3.8.任取11个整数,求证其中至少有两个数它们的差是10的倍
数。

解:易知任意整数的个位数的可能取值只可能为0,1,2,,9 ,共10种可能,而利用鸽巢原理,任取的11个整数中,其中至少有两个整数的个位数相同,这两个个位数相同的整数的差显然是10的倍数。

即证。

3.9 把从1到326的326个整数任意分为5个部分,试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和,或是另一个数的两倍。

解:用反证法。

设存在划分 ]326,1[5
4
3
2
1
= P
P P P P , P i 中没有数是两数之和, 即P i 中没有数是两数
之差。

设1到326中至少有66151326=+⎥⎦


⎣⎢-个元素属于P 1,并设为},,{6621a a a A =,不妨设6621a a a <<< ,若A 中存在一个元素是某两个元素之差,则满足要求。

否则,令166********,,,a a b a a b a a b -=-=-= ,令},,{6521b b b B =,显然B 中的元素仍然是1到326之间
的数,即3261<≤i b 。

根据假定B 中无一属于P 1,否则与假定矛盾。

所以B 的元素属于P 2 ,P 3 ,P 4 ,P 5。

与前面讨论类似,设B 中至少存在属于P 2的1714165=+⎥⎦


⎣⎢-个元素。

设为1721c c c <<< 。

令},,{1721c c c C =。

根据假定,C 中没有数是两数之差。

令11716132121,,,c c d c c d c c d -=-=-= ,},,{1621d d d D =,那么,对于所有16,2,1,326 =<i d i 。

易知存在整数m l ,使得m l m l k k a a a a a a c c d -=---=-=+)()(1111。

所以,D 中的元素不属于P 1,也不属于P 2,只能属于P 3 ,P 4 ,P 5。

故根据鸽巢原理,设至少存在613116=+⎦


⎣⎢-个元素属于P 3。

设为
326654321<<<<<<f f f f f f 。

令},,,,,{654321f f f f f f F =。

根据假定,F 中不存在元素是某两个
元素之差,令165132121,,,f f g f f g f f g -=-=-= 。

显然G 中的元素不属于P 3。

且, 对于g i 存在m l q p ,,,使得
m l m l q p q p i i a a a a a a c c c c c c f f g -=---=-=---=-=+)()()()(111111。

故G 中的元素也不属于
P 1和P 2。

则G 中的元素属于P 4 ,P 5。

对于G 中的5个元素,根据鸽巢原理,设至少存在31215=+⎥⎦


⎣⎢-个属于P 4 。

设为326321<<<h h h 。

令},,{321h h h H =。

令},{,,21132121t t T h h t h h t =-=-=。

显然,T 中的元素不属于P 1, P 2, P 3 ,P 4 ,故T 的元素属于P 5。

但根据假定121t t t -≠,令12t t u -=,则3261<≤u 且u 不属于P 5 。

同样,u 不属于P 1, P 2, P 3 ,P 4 ,即存在一个整数3261<≤u ,不属于P 1, P 2, P 3 ,
P 4 ,P 5 。

这与将1至326之间的整数任意分为5部分的假定相矛盾。

3.10 A,B,C 三种材料用作产品1,2,3的原料,但要求1禁止用B 和C 作原料,2不能用B 作原料,
3不允许用A 作原料,问有多少种安排方案?(假定每种材料只做一种产品的原料)。

解:此问题为有禁区的排列可转化为棋盘多项式求解 如图所示:
P=R =XR +R
=1+4x+42x +3x
1r =4,2r =4,3r =1 根据定理:
n!- 1r (n-1)!+2r (n-2)!-3r (n-3)!……±n r
1m 12m 2a m ≥m -1,故
≥1+2+…+m -1=
(1)2m m - , 与(1)2
m
n m <-相矛盾! 所以必有两个盒子的球数相等.
3.12 一年级有100名学生参加中文,英语和数学考试,其中92通过中文考试,75人通过英语考试,65
人通过数学考试;其中65人通过中,英文考试,54人通过中文和数学考试,45人通过英语和数学考试,求通过3门学科考试的学生数。

题解:设A 为通过中文的人数,B 为通过英语的人数,C 为通过数学的人数。

A B C A B C A B A C B C A B C
⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂
10092756565544532
A B C ⋂
⋂=---+++=
证:设全集为S
|A B| = |(S-A ) B|=|S B|-|A B|=|B|-|A B| 同理可证|A B C|=|C|-|A C|-|B C|+|A B C|
3.14 }1000,2,1{ =N ,求其中不被5和7除尽,但被3除尽的数的数目。

解: 设U 表示全集,A 3表示能被3除尽的数的集合,A 5表示能被5除尽的数的集合,A 7表示能被7除尽的数的
集合。

则所求的是 3
_
7
_
5
A
A A 。

200510005=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A ,142710007=⎥⎦

⎢⎣⎢=A , 667333100031000100010003_
3=-=⎥⎦

⎢⎣⎢-=-=A A , 2835100075=⎥

⎥⎢⎣⎢= A A , 13466200)(35535_
35=-=-=-= A A A A U A A A ,
同理,9547142)(37737_
3
7
=-=-=-= A A A A U A A
A
19928)(37575375_
3
7
5
=-=-=-= A A A A A A U A A A
A A 所以,
229
199513428667142200100010001000_
375_
37_
3575_
375_
3
753_7_5=-+++---=-+++---=-= A A A A A A A A A A A A A A A A A A 3.15.{1,2,,120}N = ,求其中被2,3,5,7中m 个数除尽的数的数目,m=0,1,2,3,4.求不超过120的素数的数目。

解:
,B,C,D N 2357120120A 60,B 4023120120C 24,D 1757120120A B 20,A C 12610120120A D 8,B C 81415A ⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⋂==⋂==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⋂==⋂==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
令分别表示中能被,,,除尽的数。

120120B D 5,C D 32135120120A B C 4,A B D 23042120120B C D 1,A C D 110570120A B C D 0210⎢⎥⎢⎥⋂==⋂==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⋂⋂==⋂⋂==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⋂⋂==⋂⋂==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⋂⋂⋂==⎢⎥⎣⎦
(1)6040241714(2)2012885356
(3)42118(4)0
αααα=+++==+++++==+++==
111213(1)
(1)(2)(3)(4)
1
11βαααα+
++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
1412*563*84*0
=-+-= 212
2(2)
(2)(3)(4)
22βααα++⎛⎫
⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
563*8032=-+= 31(3)(3)(4)3βαα+⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
808=-=
(4)(4)0
βα== 不超过120的素数数目即为:
A B C D N A B C D ⋂⋂⋂=-⋃⋃⋃
120(1)(2)(3)(4)120141568027
αααα=-+-+=-+-+=
3.16 中的至少一个数的数目,
除尽的数目,求正整数30402010n n 解:
22001200180016003040||,3060||,4040|||
|||||}20n {B }10{52205210304030
6030404040=-+=⋃⨯=⋂⨯=⨯=⋂-+=⋃==⨯=⨯=B A B A B A B A B A B A n A 的数除尽的数除尽
3.17 n 除尽60504010,20,30中至少一个数的除数,求n 的数目
解:606060501005040404040102*5,202*5,302*3*5=== A :6010的约数 B :5020的约数 C :4030的约数
|A|=61×61=3721 |B|=101×51=5151 |C|=41×31=1271 ||A B = 61×51=3111 ||B C =41×41=1681
||A C =41×41=1681 ||A B C =41×41=1681
||||||||(||||||)||A B C A B C A B B C A C A B C =++-+++ =5351
3.18 求下列集合中不是32,n n 形式的数的数目,N n ∈。

(){}
410,,3,2,11
解:{}
46
||},463,2,1{;100||},1003,2,1{;
10000||,10,,3,2,133332
2
2
2
4======B B C B A A B C 内元素为1 (100000)
4=⋂C B 通过程序验证既是2次方又是3次方的 44610010000||||||+--=⋂+--C B C B A 即为所求
(){}43310,110,102 +
解: {}
37
11046||},4612,11,10{;
69132100||},10032{;
90011100010000||,10,,110,10333322433=+-===+-===+-=+=B B C B A A
1=⋂C B
137699001||||||+--=⋂+--C B C B A 即为所求
3.19 {1000,1001,…,3000},求其中是4的倍数但不是100的倍数的数的数目。

解:A 为4的倍数的整数
B 为100的倍数的整数
|A
|=|A|-|A
|=
= 480
×3.20 在由a,a,a,b,b,b,c,c,c 组成的排列中,求满足下列条件的排列数 (1)不存在相邻3元素相同 (2)相邻两元素不相同
解:(1)设S 为总共的排列数,a A 为3个a 相邻的排列,b A 为3个b 相邻的排列,c A
为3个c 相邻
的排列;
所以不存在相邻3元素相同为
a b c A A A =a b c S A A A -
9!
3!3!3!
7!514803+33!
3!3314804206061114
a b c a b b c a c a b c
A A A A A A A A A A A A =---+++-=-⨯⨯-=-+-= !
!!
(2)设S 为总的排列数,a A 为2个以上a 相邻的排列,b A 为2个以上b 相邻的排列,c A 为2个以
上c 相邻的排列; 所以不存在相邻3元素相同为
a b c A A A =a b c S A A A -
9!
3!3!3!
8!7614803+33!32322222
1480168063090340
a b c a b b c a c a b c
A A A A A A A A A A A A =---+++-=-⨯⨯-
=-+-= !!
!!!!!!!! ×3.21:求从O (0,0)点到(8,4)点的路径数。

已知(2,1)到(4,1)的线段,(3,1)到(3,2)的线段被封锁。

解:由题意设 A 1:从(0,0)点到(8,4)点经过(2,1)到(3,1)的线段.
A 2:从(0,0)点到(8,4)点经过(3,1)到(3,2)的线段. A 3:从(0,0)点到(8,4)点经过(3,1)到(4,1)的线段.
从(0,0)点到(8,4)点经过(2,1)到(4,1)的线段,根据乘法原理
||=C(1,2+1)*C(4-1,8-3+4-1)=C(1,3)*C(3,8)=3*56=168;
||=C(1,3+1)*C(4-2,8-3+4-2)=C(1,4)*C(2,7)=4*21=84;
||=C(1,3+1)*C(4-1,8-4+4-1)=C(1,4)*C(3,7)=4*35=140;
||= C(1,2+1)*C(4-1,8-4+4-1)= C(1,3) *C(3,7) =3*35=105;
||= C(1,2+1)*C(4-2,8-3+4-2)= C(1,3) *C(2,7) =3*21=63;
||=0;
||=0;
||=C(4,12)-( ||+||+||)+(||+||+||)-||
=495-(168+84+140)+(105+63+0)-0
=271
3—22 求满足条件 x
1+x
2
+x
3
=20, 3≤x
1
≤9,0≤x
2
≤8,7≤x
3
≤17 的整数解数目.
解:作变量代换
a=x
1-3,b=x
2
,c=x
3
-7 0≤a≤6, 0≤b≤8, 0≤c≤10
则方程变为 a+b+c=10
设s为这个方程的非负整数解集合∣s∣=C(10+3-1,10)=66
设p
1为性质 a≥7,p
2
为性质b≥9,p
3
为性质c≥11
令A
i 为s中满足性质p
i
(i=1,2,3)的集合,
则问题归结为求∣A
1∩A
2
∩A
3
∣.可求得是方程a+b+c=10(a≥7,b≥0,c≥0)的整数解集合,通过作代换
z 1=a-7,z
2
=b,z
3
=c 可得
∣A
1
∣=C(3+3-1,3)=10 ,
类似可得∣ A
2∣=C(1+2,1)=3 , ∣A
3
∣=0
∣A 1∩A 2∣=0 ∣A 1∩A 3∣=0 ∣A 2∩A 3∣=0 ∣A 1∩A 2∩A 3∣=0
∣ A 1∩A 2∩A 3∣=66-13=53
3.23 求满足下列条件
X1+X2+X3=20
6<=X1<=15, 5<=X1<=20, 10<=X1<=25
解:设y1=x1-6.y2=x2-5,y3=x3-10, 则有y1+y2+y3=x1+x2+x3-21=19 设r1=9-y1, r2=15-y2, r3=25-y3
则有r1+r2+r3=49-(y1+y2+y3)=49-19=20 即r1+r2+r3=20
r1>=0, r2>=0, r3>=0
解的数目为231
201203=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+
3.24 求满足下列条件的整数解数目:
123420x x x x +++=,
115x ≤≤,207x ≤≤,348x ≤≤,426x ≤≤
解:设111y x =-,22y x =,334y x =-,442y x =-,则有
1234123414213y y y y x x x x +++=-++-+-=
104y ≤≤,207y ≤≤,304y ≤≤,404y ≤≤
则该问题的非负整数解S ,1341161656013133S +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
====
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,令S 中具有15y ≥的子集为1A ,28y ≥的子集
为2A ,35y ≥的子集为3A ,45y ≥的子集为4A 。

问题转化为求1234A A A A ⋂⋂⋂。

对于1A ,相当于
1234(5)13y y y y ++++= 或 12348y y y y +++=
具有性质1A 的非负整数解的数目为
18411111165883A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
同理,256A =,3165A =,4165A = 1213554162013553A A --+-⎛⎫⎛⎫⋂===
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,13310A A ⎛⎫⋂== ⎪⎝⎭,146203A A ⎛⎫
⋂== ⎪⎝⎭
23310A A ⎛⎫⋂== ⎪⎝⎭,246203A A ⎛⎫⋂== ⎪⎝⎭,34310A A ⎛⎫
⋂== ⎪⎝⎭

1231342341240A A A A A A A A A A A A ⋂⋂=⋂⋂=⋂⋂=⋂⋂=, 12340A A A A ⋂⋂⋂=
12341234
560(16556165165201201201)72
A A A A S A A A A ⋂⋂⋂=-⋃⋃⋃=-+++------=
3.25证明满足下列条件:1x +2x +3x +4x =r (n i k x i ,.......,2,1,1=≤≤)
的整数解数目为⎪⎪⎭

⎝⎛--++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=11)1()1(0n n i k r i n i
n
i
答案: 设i A 为{1+≥k x i }
由r x x x x n =++++ (32)
1
得:r x k y x x x n i =++++++++......1 (321)
推出:
)1(.........321+-=++++++k r x y x x x n i
-⎪⎪⎭

⎝⎛-+=⋂⋂⋂⋂r n r A A A A n 1|......|321
⎪⎪⎭

⎝⎛⋂⋂⋂-++⋂⋂+⋂+-=>>>==∑∑∑∑∑∑|...|)1(......||||||211
111n n n
i i j j k k j i i j j i n i n
i i A A A A A A A A A
=............
)1(21)1(22)1(1)1(1+⎪⎪⎭

⎝⎛+--++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k r n k r n k r n k r n
=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=11)1()1(0n n i k r i n n
i i 3.26 试证满足下条件: n
,,2,1i ,k x 1r x x x i n 21 =≤≤=+++
的整数解为
()∑=⎪⎪⎭

⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-n 0
i i 1n 1ki r i n 1 证明:设1x y i i -= ∴n ,,2,1i ,1k y 0i =-≤≤ k y i ≥
∴ n 21A A A N =
整数解为
()∑=⎪⎪⎭

⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 0
i i 1n 1ki r i n 1 ×3.27 求n 对夫妻排成一行,夫妻不相邻的排列数。

解:令i A =第i 对夫妻相邻而坐的集合,n i ,...,2,1=,所问的问题为求
n n n
i i
j j i n i i n A A A A A A N A A A ⋂⋂⋂-+-⋂+-=⋂⋂⋂∑∑∑=>=...)1( (2111)
21
=
)!12(2)1(0--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=h n h n h n
h n (圆桌)
×3.28设p,q N ∈,p 是奇数,现有pq 个珠子,着q 种颜色,每种颜色有p 个珠子,假定相同颜色的珠子无区别,试分别
求满足以下条件的珠子的排列数。

(1) 同颜色的珠子在一起 (2) 同颜色的珠子处于不同的块 (3) 同颜色的珠子最多在两个块 解:
1)由于是同颜色的珠子放在一起,有q !种方案。

2) 3)
3.29 将r 个相同的球放进n 个不同的盒子,无一空盒,求方案数。

根据可重复组合公式,组合意义即是,将r 个相同的球放进n 个不同的盒子,无一空盒, 所以总方案数为(n+r-1 r ).
×3.30 试证:
⎪⎪⎭

⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑--=1111
0)1(n r r i r n i n n i i
证明:令A 1表示第一个盒子为空; A 2
表示第二个盒子为空;
A n
表示第n 个盒子为空
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+111i n i r n r i r n
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11i n i r n i n 表示从n 个不同的盒子中取出i 个为空盒,则剩下的n-i 盒子不为空。

|...|
'
'
2'
1
A A A N
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑--=111
0)1(i n i r n i n n i i
(的非表示A A I I '
)
表示的几何意义是R 个相同的球放入n 个不同的盒子中,不许有空盒。

⎪⎪⎭

⎝⎛--11n r 表示的几何意义是R 个相同的球放入n 个不同的盒子中,不许有空盒。

几何意义相同所证成立。

×3.31 设B 是A 的子集,| A | = n,| B | = m,求A 的子集中包含B 的数目,设子集的元素数目为r, m ≤r ≤n 。

解:
A 的子集中包含
B 的那部分,即为在A-B 中任取值的组合数,可为取1,2,3…….n-m 个
所以,A 的子集中包含B 的数目为∑-=-m
n k k m
n C。

×3.32
()()()
()()()()()()0
1
01(1)()!,()!()!
.m
i m n i i
r
i m n m n r r m n m
m r
n m n r r m -=--=--=
++--∑n-m n-r
01m 左边右边=(-1)(-1)
…+
(-1)左边=右边。

×3.33 试证
(1))0,,(),,(k r k n D k r k r n D --⎪⎪⎭

⎝⎛=
(2) ),1,1()1()1,1,1(),,(k r n D n k r n D k r n D ---+---=
)}1,2,2(),2,1(){1(-------+k r n D k r n D r
其中,)1,,(-r n D 定义为0.
(3) ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--=-k n k n n nD k n n D k
n )
1(),1,1(),,(
(4)0),,,(),,(≥---⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛t t k t r t n D t r k r n D t k
(5)n k r n D k r n rD k r n D <-+--=r ),,,1(),1,1(),,(其中
(6) n r
i D n n D i n i n D i r r n n D =--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
-∑=)0,,(),0,,()0,,(0其中
),,(k r n D 是3.6节中推广了的错排。

证明:
(1) 此题可由组合含义证明。

等式左边:相当于从n个不同元素中取r个进行排列,其中只有k个元素在原来的位置这样的方案数,为
(,,)D n r k 。

等式右边:相当于首先在r个元素中取k个元素,为r k ⎛⎫
⎪⎝⎭,然后在n-r 个元素中取r-k 个,对r-k 个元
素进行完全错排,为(,,0)D n k r k --,故总的方案数为(,,0)r D n k r k k ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭。

左右两端显然相等,证毕。

(2) (5)此题可由组合含义证明。

从n个不同元素中取r个进行排列,其中只有k个元素在原来的位置的方案数((,,)D n r k )可以分为两种情况:即是否包含元素a(a为任意元素)。

第一种情况是包含元素a,则只需在剩下的n-1个元素中取r-1个即可,
然后进行只有k个元素不变的错排,方案数为(1,1,)rD n r k --;第二种情况是不包括元素a,则需要在剩下的n-1个元素中取r个元素,进行只有k个元素不变的错排,方案数为(1,,)D n r k -。

所以总的方案数为:
(1,1,)(1,,)rD n r k D n r k --+-,即(,,)(1,1,)(1,,)D n r k rD n r k D n r k =--+-,证毕。

×3.34 N n ∈,设n p 表示在{1,2,…,n}的全排列中,排除了k ,紧随以k+1,k=1,2,…,k+1, 试证:N n D D P n n n ∈+=-,1 解: ×3.35
()()()()11122()(,,),()(2)!(3)(1)(1)(1)!
n n n n k n k
n n n n n n D k D n n k D k D D D D n k D k n D n +-==++=++=+=试证(1)……+
×3.36 设D n (k)=D(n,n,k),试证 (a )
∑==n
k n
!n )k (kD
(b )D n (0) - D n (1)=(-1)n
(c )∑==n
0k n 2
!n )k (D 1)
-(k …
(d )∑==+n
r
k n
!n )k (1)D
r -1)...(k -k(k 其中r ≤n 。

3.37 试证对于素数
p ,1≥i ,p
p p i i i
1
)(--

证明:根据定理 若p p
p a
a
a
n k
k
(2)
1
2
1
=
)(n φ=)1
1)...(1
1)(1
1(2
1
p
p
p
k
n -
-
-
p
是素数
∴)11()(p p p i
i
-=
φp
p i i 1
--
=
所证成立。

×3.38 试证:
(1)n =∑d | n Φ(n)
(2) Φ(m,n) Φ(n)= Φ(m) Φ(n)h,其中m,n ∈N,h=(m,n)
(3) n ∈N,n>=3, Φ(n)通常是偶数。

解:(1)因为Φ(n)=n ∑d | n μ(d)/d 所以Φ(n)= ∑d | n μ(d)n /d
所以我们设n=f(n), Φ(n)=g(n)
根据反演定理,可得n =∑d | n Φ(n).
(2)因为Φ(m,n)=mn ∑d1,d2 | m,n μ(d1,d2)/d1,d2 根据第一问,可得必然存在一个中间的数h,使得
Φ(m,n) Φ(n)= Φ(m) Φ(n)h,其中m,n ∈N,h=(m,n)成立。

×3.39
n 2≥,证明若n 有k 个不同的奇偶因子,则
(1)-k 2n n ⨯≥)(φ (2))(n |2k φ
(3)=)(2n φ)(n φ ,n 是奇数 =)(2n φ)(n 2φ ,n 是偶数
解:此题不会。

×3.40 从集合{}Z Y X U L K J D C B A ,,,,,,,,,,,9,8,7,6,5,4,3,2,1=φ中随机抽取28次,求出现块1987
CUBAJULY 的几率。

解:
3.42 一组有1990个人,每个人至少有1327个朋友,试证其中4位,使得彼此都是朋友。

答案:
从1990中取出一个人a ,剩下1989个人,则这个人a 至少认识1989中的1327个人,定义为friend1,还剩下1989-1327=662个人不认识定义为strenge1。

如果在a 认识的1327个人中又存在一个人b ,他也认识的人也为1327个,因为friend1中只有662个人所以,b 认识的人中一定有至少两个在a 认识的friend1里,所以至少有4位彼此是朋友! 3.43 边长为1的等边三角形内任意5个点,至少有两点,其间距离最多为1/2。

解:把边长为1的等边三角形分成四个边长为1/2的等边三角形,如图所示
则根据鸽巢原理,这五点中必有两点落在同一个边长为1/2的等边三角形中。

而边长为1/2的等边
三角形中任意两点间的距离都小于1/2。

3—45 边长为1的正方形内任取9点,试证存在3个不同的点,由此构成的三角形面积不超过1/8. 解: 如下图.
把1 × 1的正方形分成四个(1/2)× (1/2)的正方形,根据鸽巢原理,((10-1)/4)+1=3,则这10点中必有三点落在同一个小正方形中,而小正方形内的任三点构成三角形面积最大为1/8.所以构成的三角形面积不超过1/8.
3.46:给任何5个整数,试证必存在3个数的和被3除尽。

解:所有整数可分为3类,mod3=0,mod3=1,mod3=2,分别标记为A,B,C.
如果在这五个数中,任何一类的个数大于等于3,那么在这个类中任取三个元素,它们的和一定能被三整除。

如果没有任何一类的个数大于等于3,那么只能是2,2,1的组合.
如果A 类元素只有一个,那么B 类,C 类各有2个元素。

A ,B ,C 各类各取一个,它们的和一定
能被三整除。

如果B 类元素只有一个,那么A 类,C 类各有2个元素。

A ,B ,C 各类各取一个,它们的和一定能被三整除。

如果C 类元素只有一个,那么A 类,B 类各有2个元素。

A ,B ,C 各类各取一个,它们的和一定能被三整除。

3.47 A 是n+1个数的集合,试证其中必存在两个数,它们的差被n 除尽。

解:如果n+1个元素有相同的值,那么命题自然得证 如果每两个元素之间都有不同的值,那么如下
假设a 为集合中最小的数,现在有值为0,1,2,…,n-1个盒子,现在对于A 中的每个数i a 进行如下运算
K=i (a )mod a n -
把i a 放入K 值对应的盒子当中,所以根据鸽巢原理,必有一个盒子内有两个元素,不妨设为i a 和j a ,因为他们满足i (a )mod a n -=j (a )mod a n -,所以i a 和j a 满足i j a a mod 0n -=,所以一定存在两个元素的差被n 除尽 3.48 A={a 1,a 2,…,a 2k+1},k ≥1,a i 是正整数,k=1,2,…,2k+1,试证A 的任意排列:
122k+1i i i a a a ,,
恒有
j
2k+1
i j j 1
a a =∏
(-)
为偶数
证明:另n=|A|=2k+1,则A 中奇数和偶数个数不相等。

如果
j
2k+1i j j 1
a a =∏
(-)中全为“奇数-偶数”或“偶数-奇数”
的形式,则A 中奇数和偶数个数相等,与前面矛盾。


j
2k+1i j j 1
a a =∏
(-)
中必有“奇数-奇数”或“偶数-偶数”的形式,即
j
2k+1i j j 1
a a =∏
(-)为偶数。

3.49 A 是{
}n 2,,3,2,1 中任意n+1个数,试证明至少存在一对 A b a ∈,,使下面
解:假设取出任意n+1个数,将它们每一个都拆成2的几次幂乘以一个奇数
的形式;那么一共能拆出n+1个奇数(每个数对应一个奇数)。

然而,在上述A 集合之中,2n 个元素一共只有n 个奇数。

所以根据鸽巢原理,能够得出上述n+1个奇数中至少有两个是相等的。

而这两个数必然一个能被另一个整除。

—〉得证。

×3.52.空间2n 个点,1n >,试证用条线段任意连接这2n 个点,必然出现一个三角形,并证明用2n 条线连接,则可能
不出现三角形。

解:将这2n 个点分成两个集合,,A B ,||,||,2A a B b a b n ==+=,则使得A 中每个点都与B 中每个点都有一条边相连,总的需要的边数为ab,易知当a=b=n 时需要的边数最多且为2n ,又因为总共有21n +条线段,则在集合A,B 中一定存在某两个点之间有边,即证必然出现一个三角形。

当a=b=n 时,用2n 条线段相连时,上述情况则不出现三角形。

×3.53 三维空间中9个坐标为整数的点,试证在两两相连的线段内,至少有一个坐标为整数的内点。

解: 三维空间中,任意两坐标为整数的点,若这两点相连的线段内不存在坐标为整数的内点,则对于x,y,z 这三
个坐标轴,这两点至少在一个坐标上的差值正好是1。

那么,在这9个坐标为整数的点中,任取一点,与这个点的三个坐标中,存在差值正好是1的共有7类,即:与x 轴差值正好是1,与y 轴差值正好是1,与z 轴差值正好是1,与x,y 轴差值都是1,与x,z 轴差值都是1,与y,z 轴差值都是1,与x,y,z 轴差值都是1。

那么,对于剩下的8个点,若存在一点a 不满足这7种情况,那么a 点与这个点相连的线段内必有一个坐标为整数的内点。

若剩下的8个点都属于这7种情况之一,那么,运用鸽巢原理,则至少存在两个点属于这7种情况中的同一个情况,那么,这两点中必存在一个坐标为整数的内点。

3.54 二维空间的(x,y )点的坐标x 和y 都是整数的点称为格点。

任意5个格点的集合A ,试证A 中
至少存在两点,它们的中点也是格点。

解:集合A={(1x ,1y ),(2x ,2y ),(3x ,3y ),(4x ,4y ),(5x ,5y )}
i x ,i y 均为整数 (i x ,i y )有四种情况,分别是:奇偶,偶奇,奇奇,偶偶。

问题就转化为(
2
i j
x x +,
2
i j
y y +)也为整数。

即(i j x x +,i j y y +)也为整数
5个点,4种情况,根据鸽巢原理必有两个点是相同类型 又因为奇+奇=偶,偶+偶=奇,故得证。

×3.55 令A 为从等差数列1,4,7,10…100中选择20个不同的数,试证其中至少存在两个数,他们的和为100. 题解:假设20个数中任意两个数的和都不为104
a n +
b m ≠104 即 1+(n-1)3 + 1+(m-1)3≠104 即n+m ≠34
1≤n ≤20, 1≤m ≤20 2≤n+m ≤40 即n+m 可以为34 即矛盾,成立。

×3.56 平面上6个点,不存在3点共一条直线,其中必存在3点构成一个三角形,有一内角小于30°。

题解:这道题是Ramsey 数的变形,三点构成一个三角,某个点对应的这个角度>30 或<=30就相当于三个人之间是相互认识或是相互不认识.
反证法: 假设题设不成立.即所有构成的角度都>30度;
假设1分别与23456(不妨设顺时针围绕在1周围) 的夹角都>30度, 则总度数>150; 合理;
继续: 三角形124中1点的度数>60 ;又因为2>30 且 4>30 则三内角和>180 ,矛盾,得证!
×3.57n 是大于等于3的整数,则下列数的集合{2-1,22-1,32-1,……,12n --1}中存在一数被n 除进。

×3.58 这两个人均不认识。

×3.59.{1,2,14,15}S ⊆ ,A 和B 是S 的不相交子集。

若A 和B 的元素之和不等,即属于A 的元素之和不等于属
×3.60 下列m*n 矩阵的元素是实数
mn
m m n n a a a a a a a a a
2
1
2222111211
每行的最大元素与最小元素之差不超过d>0.对梅列元素重新排列成递减序列,即最大元素在第一行,最小元素在第m 行,是证明经过重新排列后的矩阵,每行最大元素与最小元素之差仍然不超过d 。

3.61 n 个单位各派两名代表出席一个会议,2n 位代表围着一圆桌坐下,试问 (1) 各单位的代表并排坐着的方案有多少? (2) 各单位的两人互不相邻的方案数又等于多少? 解:(1). (1)!*2n n -
(2). 令i A 第i 个单位的代表相邻而坐的集合,1,2,,i n =
12121
1
||||||(1)||n n
n
n
n i i j n i i j i
A A A N A A A A A A ==>∴=-+-+-∑∑
∑ ||i A =2(22)!n -
||i j A A =22(23)!n -
12||n A A A =2(1)!n n -
故各单位的两人互不相邻的方案数:02()(21)!n
h n h h n h =--∑
3.62 一层书架有m 层,分别放置m 类不同种类的书,每层n 册,现将书架上的图书全部取出清理,清理过程中
要求不打乱所在的类别。

试问: ()1m 类书全不在各自原来层的方案数有多少? 解:m 个对象的错排问题 :()()m m n m m !!11!21!111!⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-
()2每层的n 本书都不在原来的位置上的方案数等于多少? 解:如果某类书不在原来的层上,则对该层的n 本书全排列即可;
如果某类书在原来的层上,则对n 本书进行错排即可:
()()()k
m n k k k
m m
k n n n k k C -=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-+-⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-⨯⨯∑!1121!111!!!11!
21!111!0
()3m 层书都不在原来层次,每层n 本书也不在原来位置上的方案数?
解:()()m
n m n n m m ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-!11!21!111!!11!
21!111! 3.63 (m+1)行
列的格子同m 种颜色着色,每格着一色,其中必有一个四角相同颜色的格子。

证:每列有(m+1)行,只有m 种颜色,故一列中必有两格同色.同色的2个格子的行号有种取法.有m 种
色,故有种同色模式,现有列,必有两列的同色模式相同.即由这两列的对应行上有4个
格子同色,正好是一个矩形的4个角上的格子.
3.64 两名教师分别对6名学生进行面试(每位教师各负责一门课),每名学生面试时间固定,试问共有多少种面试
的顺序。

解:先对第一门课的学生进行排列,然后再排第二门课的顺序,那么第二门课程的排序就将成为一个错排问
题,对每一个第一门课的排列,都对应一系列的错排,即如下 第一门课的顺序有6!种;
第二门课的顺序有(根据例3-10,错排问题): D 6=6! ( (1/2!)-(1/3!)+(1/4!)-(1/5!)+(1/6!) )=265; 故总顺序有6!×265种.
3.65:X={0,1,2,3……9,10} 从X 中任意取7个元素,则其中必有两个元素之和等于10. 解:|X|=11,分为6组{0,10},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{5}.从这11个数中去7个根据鸽巢原理必有一组取两个数且去两个数的组不能是{5}(因为{5}只有一个元素),无论在其他五组中那个组里,取两个数它们的和都是10,所以得证。

3—66 每边长为3的等边三角形内径取10个点,试证至少有一对点距离小于1.
解: 如图:
解: 把边长为3的三角形分成9个边长为1的三角形,根据鸽巢原理,((10-1)/9)+1=2.则10个点中必有两点落在同一小三角形内,而小三角形中任意两点距离小于1.证毕
解:利用反证法,假设,没有两个人有相同的任务数。

假设第一个人的任务数为1m ,第二个人的任务数为2m ,……,第r 个人的任务数为r m 。

则有
12r m m m n +++= ,12r m m m ≠≠≠ 。

则有,12(1)01212r r r r m m m n -+++-=≤+++= ,与假设(1)
2
r r n -<矛盾。

则证毕。

3.69 试证(mn)!被n
m )!(整除。

答案:
组合意义证明: (mn)!的意义是把mn 个有区别的球,放到mn 个无区别的盒子里,且盒子不允许为空,而且每个盒子里有m 个球的方案数。

它等价于把mn 个球分成n 份,每份m 个球,然后去掉重复的每个盒子里m 个球的全排列,
一个这样的全排列有n 个,所以去掉n
m )!(个全排列,得
n
m )!((mn)!
,方案数一定为整数。

×3.71 n ,...,2,1的全排列中不出现相邻两数相邻的排列数等于多少? 解:())!1(),1(,1--+=
-+n r r n p r r n C
×3.72 0,1,2,3,4,5,6,n-1的圆排列,求不出现相邻数相邻的排列数,包括n-1和0作为相邻数. 解:根据容斥原理 假设i A 表示i 和i+1相邻,我们要求的为 (n-1)!-
∑=n 1i i
||A + ∑∑==⋂n i j j
i n 1i |A |A -∑∑
∑===⋂⋂n i j k j i n
j
k n 1i |A A |A +…………
3.73 4位十进制数a,b,c,d ,试求满足
a+b+c+d=31的数的数目.
解:这个问题可以看做是,r 个误区别的球,放进n 个盒子,无一空盒,且可以重复的,所以数目为(n+r-1 r ),
n=4,r=31, 所以计算的数目为:598.
3.74 4位十进制数a b c d ,满足a+b+c+d=17,,64,53,42,31≤≤≤≤≤≤≤≤d c b a 试求这样数的数目。

解: 令A=a-1,B=b-2,C=c-3,D=d-4
则,20,20,20,20≤≤≤≤≤≤≤≤D C B A
A+B+C+D=7
这样的数的数目有四个。

3.75 已知n 是正整数,d 1=1,d 2,…,d r =n 的除数,即 d i |n ,i=1,2, …,r,试证:
n
d
i
d i
=∑)(φ
证:利用Mobius 反演定理,有φ(n)=n*∑∑
=n
d n
d d n
d d
d //*)()
(μμ
=>
φ(n)=g(n)
d
n
d n f =)(
=>f(n)=n =>f(n)= ∑∑
=
n
d n
d d d g //)()(φ=n
即:n=
∑n
d d /)(φ
其中求和是对n 的所有除数,包括1和n 进行的。

证明:
11112
1(,)11(,)()11*11,n>1n ,(()()()n**(1)(111(1(1))(1)k k i i I j I c k j i i I k k j i j I c k j i i i I d n d n p p p P d d d n n n d d d P n n P p αααμφμμμμ∈=∈∈==∈∈====∏==+=+∏+-=∏-∏∑∑∑∑∑∑∑∑12k
d|112k d|n
d|n d|n 当时,(1)=1,等式右端1*左右相等。

当时,=p p …p 记……)等式右端)=.
3.77 设f 满足∑=
=n d d f n g n f m f mn f |)()(),()()(,试证:)()()(n g m g mn g = 解:∑∑∑∑∑∑==⋅=
m d m d m d m d m d m
d d d f d f d f d f d f n m g ||21||21||21121212)()()()()())(( )()(|2
121mn g d d f mn d d ==∑ , 证毕。

解:因为:)(n τ表示n的正除数的数目
所以:|()1d n
n τ=∑
令: ()()()1
f n n
g n τ=⎧⎨=⎩ 则:||()1()d n d n f n g n ==∑∑
根据反演定理,有: |()()()1d n n g n d f d μ==∑,证毕。

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