第十二章动量矩定理授课时间
第12章 动量矩定理
n
n
Lo Lx i Ly j Lz k
其中， Lz ( LO ) z
z
M (m v )
i i
质点（系）对 O点的动量矩在通过该点的 任意轴上的投影，等于质点（系）对该轴的动
量矩。
已知A、 B两物块的质量分别为 mA、 mB ，它们的 速度为v，轮的质量不计，半径为 R。求系统对轮 心 O的动量矩。 v O O B A
i 1
n
(i)
d ri mi vi n (e) 0 ，于是 ri Fi dt i 1
dLo dt
M
i 1
n
o
( Fi
(e)
)
质点系动量矩 定理的投影式
4、质点系动量矩守恒
dLx n (e) M x ( Fi ) dt i 1 n dL y (e) M y ( Fi ) dt i 1 n dLz (e) M z ( Fi ) dt i 1
J z mi R R
2 2
mi mR z
R
2
mi
3、均质圆板对中心轴的转动惯量 dr
以薄圆环作为质量微元
r O
O
R
d m 2 r d r S
R
2
其中
S m/ R
4
2
R J z 2 r S d r r 2S 4 0
1 2 J z mR 2
1、质点的动量矩定理
d d dr d MO (m v ) ( r m v ) m v r (m v ) dt dt dt dt
dr d ( m v ) F ，且 O为定点， v 根据动量定理 dt dt
理论力学 哈尔滨工业大学 第12章
对 z 轴的动量矩 Mz (m ) 等于 [m ]xy 对点O的矩。 v v 对点 的矩。 的矩
Mz (m ) v 是代数量，从 是代数量，
z 轴正向看，逆时针为正，顺 轴正向看，逆时针为正，
时针为负。 时针为负。
[MO(m )]z = Mz (m ) v v
单位： 单位：kg·m2/s 2．质点系的动量矩 ． 对点的动量矩
O
d [Jω+m ] = M −m sinθ ⋅ R vR g dt
(e MO ) =a ， 得 dt R
M −m 2 sinθ R gR a= 2 J +m R
水轮机转轮， 例12-2 水轮机转轮，进口水速度 求水流对转轮的转动力矩。 求水流对转轮的转动力矩。
v ×m = 0 v
因此
d MO(m ) = MO(F) v dt
称为质点的动量矩定理： 称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对 质点的动量矩定理 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 投影式： 投影式： d Mx (m ) = Mx (F) v dt d My (m ) = My (F) v dt
解：J1α1 = M1 − F′R J2α2 = F R2 −M2 t t 1
α1 R = i12 = 2 ，得 因 F′ = F ， t t α2 R 1
M2 M− 1 i12 α1 = J J1 + 22 i12
R 2 , M , M2 1 R 1
，求： 1 。 α
§12-4 刚体对轴的转动惯量
kgm简单形状物体的转动惯量计算1均质细直杆对一端的转动惯量1均质细直杆对一端的转动惯量2均质薄圆环对中心轴的转动惯量2均质薄圆环对中心轴的转动惯量3均质圆板对中心轴的转动惯量3均质圆板对中心轴的转动惯量3
理论力学(哈工大版)第十二章动量矩定理(全面版)资料
理论力学(哈工大版)第十二章动量矩定理（全面版）资料第八章 动量矩定理8-1 质点系的动量矩（待强化） 一．动量矩的概念质点对点O 的动量矩：v m r v m m O ⨯=)( 质点对轴 z 的动量矩：)()(xy O z v m m v m m = 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正质点对点O 的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：[])( )(v m m v m m z z O = kg·ｍ2/s 。
二．质点系的动量矩 质系对点O 动量矩：i i i i i OO v m r v m mL ⨯==∑∑)(质系对轴z 动量矩：[]z Oii zz L v m m L)(==∑三．质点系的动量矩的计算c c c mv r L L ⨯+=0质点系对任意定点O 的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi ，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi `，所得结果是一样的。
四、刚体的动量矩 1．平动刚体C C C O O v m r v m m L ⨯==)( )(C z z v m m L =2．定轴转动刚体ωZ z J L =3．平面运动刚体C C C C C O m m L v O C L v r L +⨯=+⨯= ω⋅+=C C z z J v m m L )(平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
8-2 动量矩定理（待强化） 一．质点的动量矩定理)()]([ , )(F m v m F r v r O O m dtdm dt d =⨯=⨯ 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
理力12(动力学)-动量矩定理
§ 12-2 动量矩定理
动量矩守恒定理
d M O (mv ) M O ( F ) dt
MO (F ) 0
M x (mv ) 恒量 M y (mv ) 恒量 M (mv ) 恒量 z
M O (mv ) 恒矢量
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1 n
29
第 十二 章 动量矩定理
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n d ( J z ) M z ( Fi ) dt i 1 n d Jz M z (Fi ) dt i 1
J z M z (Fi )
i 1
n d J z 2 M z (Fi ) dt i 1 2
θ W2
FN
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-1
ω O FN W2t v M FOy
解： 取小车与鼓轮组成质点系，视小车
为质点。以顺时针为正，此质点系对O轴 的动量矩为
FOx W1
LO J m2vR
作用于质点系的外力除力偶M，重力W1 和 W2外，尚有轴承O的反力FOx和FOy ，轨道 对小车的约束力FN 。 其中W1 ，FOx ，FOy 对 O轴力矩为零。将W2 沿轨道及其垂直方向 分解为W2t和W2N， W2N与FN相抵消。
F0
r1
α
r2
LOz J O m1v1r1 m2v2 r2
考虑到 v1 = r1 ， v2 = r2 ，则得 m0g
A B
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )
2 2
( b)
v1
外力主矩仅由重力 m1g 和 m2g 产生，有
v2 m2g m1 g
十二章动量矩定理
F mv
M0(F)
o
Ｑ
y
x
由牛顿第二定律
m
dv dt
F
d dt
(mv)
F
r
d dt
(mv)
r
F
d (r mv) r d(mv) dr mv
dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dt dt
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第十二章 动量矩定理
d (r mv) r F dt
M0(mv) m0(F)
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第十二章 动量矩定理
C
m2
IOZ M
式中
M
m1
O
IOZ
1 3
m1L2
1 2
m2
r
2
m2L2
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第十二章 动量矩定理
代入已知值得：
IOZ
1 10 0.32 3
1 40 0.152 2
40 0.32
4.35kg m2
M 20 4.6rad / s2
IOZ 4.35
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第十二章 动量矩定理
dt
M y (mv)]
my (Fe )
d [
dt
M z (mv)]
mz (Fe )
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第十二章 动量矩定理
【典型题精解】
例12-1 滑块Ａ，Ｂ质量分别为２Ｋｇ，0.5Ｋｇ，用长１
米的绳连接，在水平光滑滑竿上滑动，绳和竿的质量不计。
竿绕铅垂轴转动，轴的摩擦也不计。当 rA 0.6m 时，滑块 Ａ以速度０.４ｍ／Ｓ沿竿向外运动，竿的角速度 0.5rad / s
求此时竿的角加速度。
1m
B rB
第十二章 动量矩定理
x
Z
求： J z
例题
杆质量为 m1 ，长度为 l
O
l
圆盘质量为 m2 ，直径为 d
J 求：系统的 O
§12-3 动量矩定理
一、质点的动量矩定理 二、质点系的动量矩定理 三、质点系相对于定轴的动量矩定理 四、动量矩守恒定理 五、实例
一、质点的动量矩定理
MO
mv
z
MO F
O
F
rA
mv
d
d LO
dt
M
e O
对质点系中，第i个质点
z mivi
F1
d dt
M
O
mi
vi
MO
Fii
对质点系，有
MO
Fi e
F2
m2
O ri
mi m1
n
i1
d dt
M
O
mi vi
n M O Fii
i1
n M O Fie
i1
y
n
注意到：
M O Fii 0
即：质点的动量对于固定点O 的矩称为质点对于点O的动量
x m3 mn
矩。
MO mivi ri m vi
2、质点对定轴的动量矩
M z mivi MO mivi z
二、质点系的动量矩
1、质点系对定点的动量矩
MO
z
mv
O
m2
ri
mi vi
mi m1
y
质点系中所有质点对于点O 的动量矩的矢量和，称为质 点系对点O的动量矩。
LO M O mivi
i
x m3 mn
ri mivi i
2、质点系对定轴的动量矩 Lz M z mivi
工程力学(上)电子教案第十二章重点教材
第十二章 动量矩定理第一、二节 质点和质点系的动量矩 动量矩定理教学时数：2学时教学目标：1、 对动量矩的概念有清晰的理解2、 熟练的计算质点系的动量矩教学重点：质点系的动量矩 质点系的动量矩定理教学难点：质点系的动量矩定理 教学方法：板书＋PowerPoint教学步骤： 一、引言由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。
由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。
若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质心运动定理）描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。
它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。
刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。
它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
二、质点和质点系的动量矩 1、质点的动量矩设质点M 某瞬时的动量为v m ，质点相对固定点O 的矢径为r，如图。
质点M 的动量对于点O 的矩，定义为质点对于点O 的动量矩，即()v m r v m M L O O ⨯==()v m M O垂直于△OMA ，大小等于△OMA 面积的二倍，方向由右手法则确定。
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对固定坐标轴的动量矩等于质点对坐标原点的动量矩在相应坐标轴上的投影，即 ()d mv v m M L xy Z z ==质点对固定轴的动量矩是代数量，其正负号可由右手法则来确定。
动量矩是瞬时量。
在国际单位制中，动量矩的单位是s m kg /2⋅ 2、质点系的动量矩（1）质点系对固定点的动量矩设质点系由n 个质点组成，其中第i 个质点的质量为i m ，速度为i v ，到O 点的矢径为i r，则质点系对O 点的动量矩（动量系对点的主矩）为：()∑∑⨯==i i i i i O O v m r v m M L即：质点系对任一固定点O 的动量矩定义为质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和。
第12章——动量矩定理
12.1 质点和质点系的动量矩
一、简单形状刚体的转动惯量 z
1. 均质细杆
设均质细杆长 l，质量为m，O
取微段 dx, 则
x
x
dx
l
dm mdx l
Jz
l m d x x2 1 ml2
0l
3
Jz1
l
2 l
2
m l
d
x
x2
1 12
ml 2
z1
x l C x dx
2
12.1 质点和质点系的动量矩
对点的：
LO MO(mv) ( miri )vC MO(mvC )
对轴的：
Lz M z (mvC )
12.1 质点和质点系的动量矩
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
Lz M z (mivi ) miviri miri2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
i 1
12.2 动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO
n i 1
MO (Fi(e) )
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
12.2 动量矩定理
设作用在刚体上的外力可向质
心所在平面简化为一平面力系，由
y y'
质心运动定理和相对质心的动量矩 定理得
D
C
x'
maC F (e)
理论力学课件第十二章 动量矩定理
v F (e)
i
v vvv
F
外力的矢量和为：
F (e) i
Fox
Foy
F
0
不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动的问题。
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的
矢径大小平方的乘积之和。
Jz miri2
单位： kg m2 z
一、简单形状刚体的转动惯量
0 2R
J z mR2
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量
可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：
dm m 2rdr 2m rdr
R 2
R2
dJ dm r 2 2m r3dr
y
z
R2
dr
Jz
dm r2
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
mR2
z
z
J ZC
1 12
ml 2
O
l
C
x
2
J z
1 12
ml 2
m
1 2
2
1 3
ml 2
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
例12-4：求钟摆对过点O的轴的转动惯量。 解： 杆对过点对过点O
ml 2
圆盘对过其质心轴的转动惯量：
Jc
1 mR2 2
杆对过点对过点O的轴的转动惯量，
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的Z轴上的 投影等于质点系对该轴的动量矩。
§ 12-2 质点和质点系的动量矩
4、刚体的动量矩 （1）平移刚体
刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作
合肥工业大学《理论力学》l第十二章动量矩定理
Mz
ε
ε∝ Mz
当Mz= 0 时， ε= 0，刚体作匀速转动或静止。
刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变 的难易程度转。动惯量是刚体转动时的惯性度量。
请比较 Jz = ∑Mz 与 m a = ∑F 。
§4 刚体对轴的转动惯量
一、转动惯量的概念
转动惯量是刚体转动时的惯性度量， 它 等 于 刚 体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方 的乘积之和，即
z
解：分析小球受力。
r2 B
∵ ∑MZ(F(e)) = 0， ∴ LZ = const ! 初瞬时(A处)，
v2 F
r1
T
LZA = mv1r1， B处， LZB = mv2r2， ∴ mv1r1 = mv2r2
A mg v1
而 r1 =2r2 得 v2 = 2v1
解毕。
二、质点系的动量矩定理
设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi， 速度为vi， 受力：外力Fi(e) 、内力Fi(i) ，则 根 据 质 点 的动量矩定理，有
d dt
Mo
(mi vi
)
Mo
( Fi ( i )
)
Mo
( Fi ( e )
)
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，
则
内力系主矢 = 0
n
i1
d dt
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(i) )
n i1
Mo (Fi(e) )
所以得
ddtindd1tMin1o
M(moi
v(mi )i
Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
zF
B
设质点质量为m，受力F， MO(mv)
12.动量矩定理
FNx
B B R J2
G2
FBx
a
FN y
由对B点的动量矩定理 由对 点的动量矩定理
z2 r2 α1 ∴ α1 = iα2 Q = =i = z1 r1 α2
M −m i gR α2 = J1i 2 + J2 + m 2 R
J2α2 + mR2α2 = FNx ⋅ r2 − mgR (2)
r2 = ir1
n d (J zω) = ∑Mz (F i ) dt i =1
去掉微分符号即是 J zα = ∑Mz (Fi )
i =1 n
n
&& : 用角坐标的导数可写成 J zϕ = ∑Mz (F i )
i =1
上式称为刚体绕定轴转 动的微分方程
通风机的转动部分以初角速度ωo 绕中心轴转 例一 . (书上 习12 – 9 )通风机的转动部分以初角速度 书上 通风机的转动部分以初角速度 空气的阻力矩与角速度成正比, 为常数. 动 , 空气的阻力矩与角速度成正比 即 M = kω , k为常数 若转动部 为常数 分对转轴的转动惯量为J 分对转轴的转动惯量为 . 问: 经过多少时间其转动的角速度减少为初角速度的一半 ? 又在此 时间内共转了多少转 ?
v
O
取整个系统为研究对象, 解: 取整个系统为研究对象 受力及运 动分析如图
θ
v
O 由对 点的动量矩定理 M d (JOω + m2vR) = −m2 gRsinθ + M Fy dt R ω a JO + m2 R⋅ a = M − m2 gRsinθ R O Fx M − m2 gR2 sinθ R M a= JO + m2 R2 m1 g
第12章 动量矩定理
§12-3 动量矩定理
例 题 5
两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对水平转轴O的
转动惯量是 JO ；鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 ，且 m1 > m2。试求鼓轮的角 加速度(与例12－1类似）。
r1 r2
w
A
B
§12-3
动量矩定理
例 题 5
解: 1、选系统（含鼓轮，重物 A , B）为研究对象
2、运动分析 设鼓轮的角速度为w， 物 A的速度：v1= r1w 物 B的速度：v2= r2w
2
y
FO
r1 r2
w
mg
3、受力分析 重力 mg，m1g ， m2g 轴O处约束力 FO
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )w
2
v1 A m1 g v2
y
m
w
C
平面运动＝随C平动＋绕C转动
ri
O
rC
x
LC J C ωk , 为动量偶
第12章 动量矩定理
§12-2 刚体对轴的转动惯量
§12-2 刚体对轴的转动惯量
z
2-1 定义
J z ri mi
2
ri
vi
mi
i
均质连续体：
w
O x
y
J z M r dm
2
单位：kg· m2
3、 质点系动量矩守恒定理
若
e M O ( Fi ) 0 e M z ( Fi ) 0
dL O e MO dt
则 LO 常矢 则 Lz 常量
即：当质系所受合外力对某定点（或某定轴）的 矩为零，则质系对该点（或该轴）的动量矩保持 不变 —— 质系动量矩守恒定律。
第12章动量矩定理
n
质点系对O点的动量矩在通过O点任一轴上的投影等于 质点系对该轴的动量矩。
L L
O z
zபைடு நூலகம்
4
3．平动和转动刚体的动量矩
a 、刚体平动时可将其全部质量集中于质心，做为一个质点
计算动量矩。 L M (mv ) O O C
Lz M z (mvC )
b、刚体绕定轴转动 n n Lz M z mi vi mi vi ri
i 1
z
mi ri ri mi ri2
i 1
n
i 1
O’
ri mi
mi v i
定义：刚体对z轴转动惯量：
J z mi ri
则：
2
反映质量关于z的分布情况。
Lz J z
5
绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的
转动惯量与转动角速度的乘积。
6
d [ M O ( mv )] M O ( F ) 1．质点的动量矩定理 dt 将此式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d [ M x ( mv )] M x ( F ) dt d [ M y ( mv )] M y ( F ) dt d [ M z ( m v )] M z ( F ) dt
0——称角振幅
周期
T 2
JO mga
——称初相位
19
例12-7：已知飞轮对O的转动惯量JO，以角速度0绕O轴转动，制动时，
闸块给轮正压力FN，已知闸块与轮之间的动滑动摩擦系数为f，轮半
径为R，轴承的摩擦忽略不计，求制动所需时间。
R O
20
例12-7：已知飞轮对O的转动惯量JO，以角速度0绕O轴转动，制动时，
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第十二章动量矩定理§12-1 质点和质点系的动量矩
§12-2动量矩定理
目的与
要求
掌握质点和质点系的动量矩的概念，动量矩定理的应用。
重点与
难点
重点：动量矩定理的应用。
难点：动量矩定理的应用。
教学基本内容方法及手段§12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点O的动量矩
对z 轴的动量矩
单位:kg·m2/s
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
对轴的动量矩
电教
30分钟
()
O
M mv r mv
=⨯
r r r r
()
O
M mv r mv
=⨯
r r r r
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O z z
M mv M mv
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1
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1
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n
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i
L M m v
=
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r
[]
O z z
L L
=
r
O x y z
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r
r r r
即
（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心,作为一个质点来计算.
（2） 刚体绕定轴转动
转动惯量
§12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理，设O 为定点,有
其中，
因此， 称为质点的动量矩定理:质点对某定点的 动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对 同一点的矩. 投影式:
2. 质点系的动量矩定理
由于
20分钟
20分钟
10分钟
()
z z C L M mv =r
()
O O C L M mv =r r r i
i i i i z z r v m v m M L ∑=∑=)(2
i i i i i r m r r m ∑=∑=ωω2i i z r m J ∑=ω
z z J L =d d ()()d d O M mv r mv t t =⨯r r r r d d ()d d r mv r mv t t
=⨯+⨯r r r r d ()d mv F t
=r r
（O 为定点）
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()()d ()()()d i e O i i O i O i M m v M F M F t =+r r r r r r
()()d ()()()d i e O i i O i O i M m v M F M F t ∑=∑+∑r r r s r r
()
()0
i O i M F ∑=r r d d d ()()d d d O O i i O i i L M m v M m v t t t
∑=∑=r
r r r r
授课时间 第 25 次课，第 3 周星期 1 第 5、6 节 课时 2
授课方式
理论课√ 讨论课□ 习题课□ 实验课□ 上机课□ 技能课□ 其他□
授课题目
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
§12-4 刚体对轴的转动惯量
目的与要求 掌握刚体绕定轴的转动微分方程的应用，平行轴定理的应用。
重点与难点
重点：平行轴定理的应用，转动惯量的计算。
难点：平行轴定理的应用。
教学基本内容
方法及手段
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 主动力： 约束力：
即： 或： 或：
§12-4 刚体对轴的转动惯量
单位：kg·m2 1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量 （2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量 （3）均质圆板对中心轴的转动惯量
电教
30分钟
12,,,n
F F F r r r L L 12
,N N F F r r d
()()()d i z z i z N J M F M F t
ω=∑+∑r r ()z i M F =∑r
d ()d z z i J M F t ω=∑r ()
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ϕ
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31ml
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1
mR J O =
授课方式 理论课√ 讨论课□ 习题课□ 实验课□ 上机课□ 技能课□ 其他□
授课题目
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
§12-6 刚体的平面运动微分方程
目的与要求 掌握质点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程的应用。
重点与难点
重点：刚体平面运动微分方程的应用。
难点：刚体平面运动微分方程的应用。
教学基本内容
方法及手段
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 1．对质心的动量矩
由于 得 有
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算质
点系对于质心的动量矩其结果相同.
对任一点O 的动量矩：
2 相对质心的动量矩定理
电教
30分钟
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i i L M m v r m v '==⨯∑∑r r r r r
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