高中数学(理科)知识点总结

高中数学基础知识

-----献给高2009级1班同学们

第一章 集合及简易逻辑

1、集合中元素具有确定性、无序性、互异性.

2.用描述法表示集合时，注意区分集合中的元素.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域；{(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.

3、集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况

4、集合的运算：交、并、补

5、（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n

-2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆U I 注意：

讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 6、原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ¬⇒¬；逆否命题: q p ¬⇒¬； 原命题与逆否命题真假性相同如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(可以转化为它的逆否命题来判断)

7、四种条件：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件，既不充分也不必要条件

8、小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若255p f f x x x 或，⇒

第二章 函数

1、集合A 到集合B 的映射满足：（1）集合A 中的每个元素在集合B 必须有唯一的象；（2）集合A 中多个元素在集合B 可以对应同一个象（3）集合B 的元素可以没有原象。

2、构成函数的三大要素：定义域，值域，对应法则（解析式），其中定义域指自变量的取值范围，值域指值函数的取值范围，对应法则是联系定义域与值域的纽带。

3、求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义， 域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域.

4、.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②观察法(简单函数)；③换元法(特别注意新元的范围).④判别式法； ⑤不等式法（均值不等式）⑥单调性法；⑦ 导数法(一般适用于高次多项式函数).

5、三类重要函数：分段函数（常考察分类讨论），复合函数，抽象函数（常与函数的性质考察）

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。 7、函数的性质 （1）、单调性：证明用比较法；求单调区间用导数法（注意和定义域找交集）；增函数的反

函数是增函数；复合函数的单调性法则：同则增，异则减。 （2）奇函数：)()(x f x f −=−偶函数：)()(x f x f =−证明用代入法，计算()f x −。奇函数的

图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）、周期性：()()()f x T f x x R +=∈，常数T 叫周期。()y f x =对x R ∈

时,()()f x a f x +=−或1()

()f x f x a +=−

,则()y f x =的周期T=2||a ；

8、反函数 （1）、求反函数的方法：先解方程求出x,然后x 与 y 交换位置，最后确定定义域（看原函数的值域） （2）、反函数的性质：()y f x =与函数1()y f x −=的图像关于直线y x =对称，且

1()()f a b f b a −=⇔=

9. 指数函数：)10(≠>=a a a y x

且的图象和性质

10、对数函数：

（1）、log (0,1,0)b

a a N N

b a a N =⇔=>≠> （2）对数的性质：log 10a =，log 1a a =

（3）对数的运算性质：())12)1(log log log log log log log )(log M n M N M N

M N M N M a n a a a a a a a =−=+=⋅

（4）对数函数：x y a log =，它与x a y =（1,0≠a a f ）互为反函数。

11、函数图象的几种常见变换

⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言). ⑵翻折变换：()|()|f x f x →；（下翻上）()(||)f x f x →.（左向右看齐） （3）对称变换：函数()y f x =与()y f x =−的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数

()y f x =与函数；()y f x =−的图像关于直线0y =(x 轴)对称。

第三章 数列

1.由n S 求n a ,1*

1(1)(2,)

n n n S n a S S n n N −=⎧⎪=⎨−≥∈⎪⎩ 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要 单独列出.

2.等差数列{}n a 的通项公式*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+−=+−∈

其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=

1(1)

2

n n na d −=+ 3.等差数列{a n }中，如果m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q ,特殊地，2m=p+q 时，则2a m = a p +a q ，a m 是

a p 、a q 的等差中项。

4.等比数列的通项公式：a n = a 1q n-1

(q≠0)

其前n 项的和公式11

(1)

,11,1n n a q q s q na q ⎧−≠⎪

=−⎨⎪=⎩

5.等比数列{a n }中，如果m+n=p+q,则a m a n =a p a q ,特殊地，2m=p+q 时，则a m 2

= a p a q ，a m 是a p 、a q 的等比中项。

6.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列、等比数列求和公式

1123(1)2

n n n ++++=+L ， 2135(21)n n ++++−=L ，

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通

项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构

成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，

那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =−++， ②1111(()n n k k n n k

=−++ 第四章 三角函数