第五章 刚体力学基础

§5.1
刚体和刚体的基本运动
一、什么是刚体？
橡皮泥
不锈钢
刚体：受力时形状和体积都不发生改变的物体
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体可以看作是由许多质 点组成的，每一个质点叫 做刚体的一个质元，刚体 这个质点系的特点是： 在外力作用下各质元之间 的相对位置保持不变。
mj
mi
w w0 t 4π rad/s
飞轮边缘上一点 线速度：
v rw 2.5m/s
2
切向加速度：a r 0.105m s
2 2
法向加速度：an v / r rw 31.6m s
大学物理 第三次修订本
2
15
第5章 刚体力学基础 动量矩
例2 设圆柱型电机转子由静止经300s后达 18000r/min已知转子的角加速度α与时间成 正比。 求: 转子在这段时间内转过的圈数。 解： 因角加速度α 随时间而增大, ct 设
在刚体转动过程中，如果转轴固定不动，则称这种 转动为定轴转动。
特点：
① 各质元的线速度、加速度 不同。 ② 由于各质元的相对位置保持 不变，且都绕同一转轴作圆 周运动，因此具有相同的角 速度和角加速度；在相同的 时间内有相同的角位移。
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩 大小： 方向：
大学物理 第三次修订本
h θ
F Fn
F
23
第5章 刚体力学基础 动量矩
力不在垂直于轴的平面内
z
r
F//
M z ( F ) F r sin F h Fτ r
2.力对点的力矩
h θ
F
F
A
Fn
F
MO r F
M O rF sin
dvk mk Fk f k dt 在圆规迹切线方向
作用在 mk上的外力 Fk ，内力 f k
z
w
o
mk
vk
mk ak mk rk Fk f k
两边乘以rk，并对整个刚体求和
2 k k
( m r ) Fk rk f k rk
12
第5章 刚体力学基础 动量矩
例1一飞轮的半径为 0.2m, 转速为150转／分 , 经30s均匀减速后停止。 求: (1)角加速度和飞轮转的圈数。 (2) t = 6s时的角速度;飞轮边缘上一点的线 速度、切向加速度和法向加速度。
2π 150 1 解： 5π rad s （ 1） w 0 60 w - w0 0 5 π π 1 rad s t 30 6
k k k
大学物理 第三次修订本
26
第5章 刚体力学基础 动量矩
( m r ) Fk rk f k rk
2 k k k k k
其中
F r
k k k k
k
M z 称为合外力矩 ； 0 内力矩之和为零；
f r
k
k
令 J z m r ，称为刚体对z轴的转动惯量。

质量为线分布
dm dl
其中、、分别 为质量的线密度、 面密度和体密度。
质量为面分布
质量为体分布
dm ds
dm dV
线分布
面分布
大学物理 第三次修订本
体分布
32
第5章 刚体力学基础 动量矩
注意
J r dm
2 M
只有对于几何形状规则、质量连续且均
匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体 的转动惯量
所以
2w 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75
大学物理 第三次修订本
17
第5章 刚体力学基础 动量矩
任意时刻的角速度 1 2 1 π 2 π 2 3 w ct t t rad s 2 2 75 150 d π 2 3 w t rad s 由角速度的定义： d t 150 t π π 2 3 3 rad s t 得到： d t d t 150 150 0 0
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、刚体的运动
运动的基本形式：平动和转动
回顾
质点的平动与转动
问题
刚体不是质点而是一类特殊的质点系， 它的平动和转动是如何定义的？
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
⑴刚体的平动
刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动
mj mj mj mi
mi mi
mj
m imj mi mj mi
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
rj
O
mj
rij
i
选取参考点O，则：
m ri
rj ri rij (1)
rij c
v j vi
对（1）式求导
a j ai
对质量连续分布的刚体则应无限分割
w

R M
mi
J lim mi ri
n
n
2
r dm
M
i 1 2
注 意
dm为质元质量， r为质元到转轴之间的垂直距离。
大学物理 第三次修订本
31
第5章 刚体力学基础 动量矩 刚体对某一转轴的转动惯量等于每 2 J r dm 个质元的质量与这一质元到转轴的 M 距离平方的乘积之总和。
大学物理 第三次修订本
28
第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 转动定律与牛顿第二定律比较：
M J 、 F ma M F , J m, a
两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效 应的。 dw dv M J J F ma m dt dt (2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚 体的转动惯性。
大学物理 第三次修订本
29
第5章 刚体力学基础 动量矩
三、转动惯量的计算
刚体对固定转轴的转动惯量的定义为：
m3
w R3 R2
R1
m2
J J z mi ri
i 1
n
2
m1
对离散物体：
J z m R m2 R m3 R
2 1 1 2 2
2 3
大学物理 第三次修订本
30
第5章 刚体力学基础 动量矩
第5章 刚体力学基础 动量矩
第5章 刚体力学基础动量矩
大学物理 第三次修订本
1
第5章 刚体力学基础 动量矩
第5章 刚体力学基础动量矩
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
大学物理 第三次修订本
2
第5章 刚体力学基础 动量矩
v rw 0.50 6.00 3.00m s
大学物理 第三次修订本
1
21
第5章 刚体力学基础 动量矩
（2）M点2s末时的切向加速度和法向加速度
at r 0.50 3.00 1.50 m s
an rw 0.5 (6.00) 18.0 m s
大学物理 第三次修订本
33
第5章 刚体力学基础 动量矩
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解:
J r dm
2
dl
R
2
R dm R dm mR
2 2
注意：J是可加的，所
以若为薄圆筒（不计厚 度）结果相同。
大学物理 第三次修订本
1、刚体定轴转动的角速度
刚体在dt 时间内 转过的角位移
w
可用带正负号的标量来表示: 取转轴为Z轴，当角速 度指向Z轴正向时，w>0；指向Z轴负向时， w<0。
也可如下确定角速度的正负：取转轴为Z轴，面对Z 轴观察，逆时针转动， w>0；顺时针转动， w<0。
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
（2）飞轮 12 s 内转过的角位移 1 2 0 w0t t 2 1 2 40 π 12 5π (12) 840 π rad 2 在 12s内转子转过的转数 0 N 420 圈 2π
大学物理 第三次修订本
20
第5章 刚体力学基础 动量矩
2、刚体定轴转动的角加速度 大小：
方向：加速时与w同向，减速时与w反向
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
3、定轴转动的速度与加速度
离转轴的距离为r的质元的线速度和刚体的角速度 的关系为：
其加速度与刚体的角加速度 和角速度之间的关系为：
切向加速度： 法向加速度：
特例：匀加速转动
大学物理 第三次修订本
2 2
2
2
（3）半径中点为 r r / 2 0.25m
v r w 0.25 6.00 1.50m s
1
2 at r 0.25 3.00 0.75 m s
2 2 2 an r w 0.25 (6.00) 9.0m s
转子300s内转过的圈数： π 3 4 300 3 10 圈 N 2π 2π 450
大学物理 第三次修订本
18
第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 设发动机飞轮的角速度在12s内由1200r/min 均匀地增加到3000r/min，试求：（1）飞轮的角 加速度α；（2）在这段时间内发动机飞轮转过 的圈数。
2 k k
则
J z M z
或
dw Jz Mz dt
27
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
M z J z
刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量 与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外 力对该轴力矩的代数和。
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 — 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。
大学物理 第三次修订本
22
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。 力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
可用刚体上任意一点的运动来代表整个 刚体的平动。一般用质心。
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
⑵ 转动
刚体运动过程中，如果刚体上所 有的点都绕同一条直线作圆周运 动，那么这种运动就称之为转动。 这条直线称为转轴。
Z
X
O
Y
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
三、刚体的定轴转动
dw ct 由定义, 得 dt
dw ctdt
大学物理 第三次修订本
16
第5章 刚体力学基础 动量矩
w
两边积分 由题意
dw c td t
0 0
1
t
1 2 w ct 2
在 t 300 s时
w 18000 r min
18000 2 π 600 πrad s -1 60
Mo
O .
大小
F
方向由右螺旋法则确定。
r
θ
24
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩

力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
M Z r F
方向由右螺旋法则确定。
F
r
A
F
大学物理 第三次修订本
25
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、刚体绕定轴转动微分方程
解 （1）转速3000r/min和1200r/min相应的角速 度分别为
2π 3000 w2 100π rad/s 60 2π 1200 w1 40π rad/s 60
大学物理 第三次修订本
19
第5章 刚体力学基础 动量矩
当t = 12s时

w2 w1
t
100π 40 π 2 15.7rad s 12
大学物理 第三次修订本
13
第5章 刚体力学基础 动量矩
飞轮在30s内转过的角度为：
w -w 75π rad 2
2 2 0
飞轮在30s内转过的圈数为：
75π N 37.5 圈 2π 2π
大学物理 第三次修订本
14

第5章 刚体力学基础 动量矩
(2) t = 6 s 时的角速度：
例4 一半径为 r =0.5m的飞轮以α=3rad/s2的恒定 角加速度由静止开始转动，试计算它边缘上一 点M在2s末时的速度、切向加速度和法向加速 度；问位于半径中点处速度、切向加速度和法 向加速度的大小等于多少？ 解 由刚体匀变速转动的公式，t=2s 时，
w t 6.00 rad/s
（1）边缘上一点M在2s末时的速度的大小