第四章 地基中应力计算

平面问题
x,y,z的函数
空间问题
一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力
P
o x y
q
R
r
y M(x,y,0) z M ( x , y, z)
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
附加应力分布规律 • 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 • 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 • 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 • 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 • 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
pmax
pmin e<l/6
pmax e=l/6 pmin=0
pmax
pmin<0 基底压力重分布 pmax e>l/6
pmin=0
基底压力重分布
1 l F G pmax 3 e b 2 2
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
pmax 2 F G l 3 e b 2
四、例题分析 • 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试 计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
§4.2
3 pz d z dxdy 5 / 2 2 x 2 y 2 z 2 dp布辛涅斯克解
3
Kc f (m, n)
n z /b m l /b


角点法计算地基附加应力Ⅰ
p III II
o
III
o
II
IV
z M
I
IV
I
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
变形模量随深度增大
• 地基土中，由于土体在沉积过程中的受力 条件使土的变形模量E0随深度逐渐增大(非 均质地基)，在砂土地基中尤其显著。与通 常假定的均质地基(E0不随深度变化)相比较， 沿荷载中心线下，前者的地基附加应力z 将发生应力集中。
p0 max pmax 0d p0 min pmin
§4.3
地基中的附加应力
附加应力：外加荷载（柔性荷载—不考虑基础刚 度影响的荷载）在地基土体中引起的应力增量。 基本假定：地基土是连续、均匀、各向同性的半 无限完全弹性体。
不同分布的 荷载形式， 地基中应力 的计算有其 不同的特点
x,z的函数
xy yz 0 y ( x z )

平 面 应 变 问 题
2 3dpz3 2 pxz d z dy 5 zx 2R ( x2 z 2 )2
2 pz3 z d z ( x2 z 2 )2 2 px2 z x ( x2 z 2 )2
两者差距： 目前对于实际情况还未得到完全的解答。因此 按弹性理论计算出的附加应力与实际土中的附加应 力相比存在有一定的误差。 根据试验研究结果，当土质较均匀，土颗粒较 细，且压力不很大时，理论方法计算出的竖向附加 应力z与实测值相比，误差不是很大；不满足这些 条件时将会有较大误差。
双层地基 （上软下硬） 应力集中
荷载偏心距 e=M/(F+G)
基础及上覆 土重G= GAd 140.3kPa
319.7kPa
pmax pmin
1.基底压力计算
条形基础取单 位长度计算
F G 6e 1 bl l
分析步骤Ⅱ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m
3 ＝ 18.5kN/m 0 1.5m 1.5m
三角形分布的竖向条形荷载
线荷载 dp
2[( p / b)d ]z 3 d z [(x ) 2 z 2 ]2
z
b
0
2( p / b) z 3d 2 2 2 [(x ) z ]
z hz p hz f (m, n)
m z / b；n x / b
【例题分析】 • 【例】某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载
F=400kN/m，M=20kN•m，试求基础中点下的附加应 力，并绘制附加应力分布图
F
0.1m
M
1.5m 0 ＝18.5kN/m3 2m
分析步骤I：
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m
1.5m 2m
0 ＝18.5kN/m3
2m 292.0kPa 112.6kPa
基底标高以上 天然土层的加 权平均重度
基础埋 臵深度
2.基底附加压力计算
p0 max pmax 0d p0 min pmin
分析步骤Ⅲ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
i 1 n
天然地面
说明：
h1
1
2 3
1 h 1
h2
水位面
1 h 1 + 2 h 2
1.地下水位以上土层 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度
2.非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、水平向自重应力
天然地面
cz z
cz
【例题分析】 • 有两相邻基础A和B， 其尺寸、相对位臵及基 底附加压力分布见右图， 若考虑相邻荷载的影响， 试求A基础底面中心点o 下2m处的竖向附加应 力
分析
o点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和， 根据叠加原理可以分别进行计算
2m
A基础引起的附加 应力
B 300kPa
σzA=4Kc pA
F G M A W
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
讨论：
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
基本假定：1、连续介质；2、地面必须是水平的
一、竖向自重应力
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱 的有效重量 天然地面
cz
cz
cx
cz z
σcz= z
z
cy
1
1
z
二、成层土的竖向自重应力计算
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
基底压力
• 基底压力：建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传
递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力
F
• 影响基底压力的因素:基础的形状、大小、刚度，埋臵深
度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、 地基土性质
简化计算之理论依据:根据弹性理论中圣维南原理，在总荷载保持 定值的前提下，地表下一定深度处，基底压力分布对土中应力分布 的影响并不显著，而只决定于荷载合力的大小和作用点位置。
均质地基中的附 加应力分布图
坚硬土层上覆盖着不 厚的可压缩土层即薄 压缩层情况E1＜E2 。 岩层埋藏越浅，应力 集中愈显著 。
双层地基（上硬下软） 应力扩散
均质地基中的附加 软弱土层上有一层压缩性较低 应力分布图 的土层即硬壳层情况 E1＞E2。 表面有一层硬壳层，由于应力扩 土中应力扩散的现象将随上层坚 硬土层厚度的增大而更加显著。 散作用，，使应力分布趋向均匀，可 以减少地基的沉降。故在设计中基础 应尽量浅埋，并在施工中采取保护措 施，以免浅层土的结构遭受破坏。
z
cx
cx cy K0 cz
静止侧压 力系数
cy
土的静止土压力系数K0确定方法
• 土的静止土压力系数K0值可在室内用K0三轴仪测 得；在原位则可用自钻式旁压仪测试得到。 • 在缺乏试验资料时，可用下述经验公式估算： • 砂性土 • 粘性土 • 超固结粘土 • 式中 φ’为土的有效内摩擦角；OCR 为土的超固 结比。
三、基底附加压力 • 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
新增加的压力称为基底附加压力，即导致地基中产生附 加应力的那部分基底压力 F
实际情况 F d 基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
基底附加压力
p0 p 0 d
自重应力
基底压力呈梯形分布时， 基底附加压力
第四章
地基中应力计算
§4.1土中自重应力（水平，竖直） §4.2与基础接触的基底压力(增加内容) §4.3荷载作用下地基中的附加应力计算 §4.4关于地基中附加应力计算的简要讨论
§4.1
土中自重应力计算
• 自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
3m σ =（K - K - K + K ）p zB c1 c2 c3 c4 B
A
1m 2m
B基础引起的 附加应力
1m
200kPa o
2m
1m
三、条形基础地基中的附加应力计算
基础底面长宽 比l / b→∞
理想 情况
条形基础
实际 情况
基础底面长宽 比l / b≥10
dp pdy
线荷载作用下的地基附加应力 弗拉曼（Flamant）解
II
IV
垂直三角形分布荷载
x dp pdxdy b
z d z
A
积 分
z1 Kt1 p
z 2 Kt 2 pt
3 pxz3 d z 2 b x 2 y 2 z 2


5/ 2
dxdy
dp布辛涅斯克解
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数，均 为m,n的函数
附加应力分布规律
叠加原理 由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该 参数值的代数和
Pa Pb z
两个集中力 作用下σz的 叠加
a
b
二、矩形基础地基中的
百度文库附加应力计算
dp pdxdy
z d z
A
z Kc p
矩形基础角点下的竖向 附加应力系数
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
2m 202.2kPa 193.7kPa 165.7kPa 111.2kPa 80.9kPa 62.3kPa
地基附加应 力分布曲线
关于地基中附加应力计算的简要讨论
• 理想条件是： 实际情况是： • 地基中附加应力计算是在 地基中土的变形模量常随深 假定地基土是连续、均质、各 度而增大，地基土具有较明显 向同性的半无限空间弹性体和 的薄交互层状构造，地基土由 考虑柔性荷载的理想条件下进 不同压缩性土层组成的成层地 行的，因此，土中附加应力的 基等情况。 计算与土的性质无关。
基底反力演示 1
基底反力演示 2
一、中心荷载作用下的基底压力简化计算
取室内外平 均埋深计算
G= GAd
若是条形基础， F,G取单位长度 基底面积计算
F G p A
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
e e b l pmax pmin
作用于基础底面 形心上的力矩 M=(F+G)∙e
pmax pmin
角点法计算地基附加应力Ⅱ
计算点在基底边缘 II I 计算点在基底边缘外 o
o
o
z K cⅠ KcⅡ p
III
I
IV o II
z K cⅠK cⅡ K c Ⅲ K cⅣ p
角点法计算地基附加应力Ⅲ
计算点在基底角点外
I o o
III
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
均布的竖向条形荷载
线荷载 dp p
b/2
b/2
x z
x z M
3
2( pd ) z d z 2 2 2 [(x ) z ]
z
b 0
2 pz3d [(x ) 2 z 2 ]2
z sz p
sz f (m, n)
m z / b；n x / b