高中数学,空间角的计算(1)
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空间角的计算 (1)
复习: ur uur
1.设空间两条直线l1,l2的方向u向r 量uur分别e1, e2 ,两个
平面1, 2的法向量分别为 n1, n2,
l1与l2
l1与1 1与 2
平行
ur uur uer1 Peu2r eu1r nuu1r n1 Pn2
垂直
ur uur uer1 eu2r eur1 Pnuu1r n1 n2
2.用向量r 法r 求直线和平面所成角,
(1)若
1
(2)若
1
e, n 的夹角 2r r2.
e, n的夹角
2
2
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
Fy
B
练习:
1.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面 ABCD所成角是600,底面ABCD中, ∠D=∠DAB=900,
AB=4,CD=1,AD=2,求异面直线PA,BC所成角的余
弦值.
z
P
DC
y
A
x
B
2.如图,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标
是 ( 3 , 1 , 0) ,点D在平面yOz上,且∠BDC=900,
ur uur 2.Βιβλιοθήκη Baidu知空间两异面直线lu1r,l2u的ur 方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 = ,
这句话对吗?
用向量法求异面直线的所成角,
ur uur
(1)若 e1, e2的夹角 是钝角,则两直线的所成角
ur
uur
.
(2)若 e1, e2的夹角
22
∠DCB=300. (1)求向量 CuuDur的坐标;
z
D
(2)求异面直线AD与BC 所成角的大小;
B
O
C
y
x
A
小结:
1.用向ur量u法ur 求异面直线的所成角,
(1)若 e1, e2的夹角 是钝角,则两直线的所成角
(2)若
ur uur . e1, e2的夹角
（0,2
]
,则两直线的所成角
.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BC的中点,点
E1在C1D1上,且
D1E1
1 4
D1C1,
求直线E1F和平
面D1AC所成角的大小.
z
利用向量求斜线和平面所成角: D1 E1
C1
A1
通过求直线的方向向量和
B1
平面的法向量的夹角 ,
D
进而求出直线和平面所成
O
角. 或
A
x
2
2
C
（0,2
]
,则两直线的所成角
.
3.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为er
,
平面
的法向量为
r n
,设直线l和平面
的所成角为1 ,
r e与
r
n 的夹角为 2 ,
则1
2 ,
这句话对吗?
用向量r法r 求直线和平面所成角, ((211))1若若2eer2,,nnr的的22..夹夹角角22是[钝0,角2,)则,则两两直直线线的的所所成成角角
例题:
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1,F1分别是A1B1,
C1D1上的点,且E1B1
1 4
A1B1,
D1F1
1 4
D1C1,
求BE1和DF1所成角的余弦值.
z
利用向量求两异面直线所成角: D1 F1
C1
注意向量夹角和两异面 A1 直线所成角的联系和区
E1 B1
别.
D
C
O
y
A
B
x
例题:
复习: ur uur
1.设空间两条直线l1,l2的方向u向r 量uur分别e1, e2 ,两个
平面1, 2的法向量分别为 n1, n2,
l1与l2
l1与1 1与 2
平行
ur uur uer1 Peu2r eu1r nuu1r n1 Pn2
垂直
ur uur uer1 eu2r eur1 Pnuu1r n1 n2
2.用向量r 法r 求直线和平面所成角,
(1)若
1
(2)若
1
e, n 的夹角 2r r2.
e, n的夹角
2
2
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
Fy
B
练习:
1.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面 ABCD所成角是600,底面ABCD中, ∠D=∠DAB=900,
AB=4,CD=1,AD=2,求异面直线PA,BC所成角的余
弦值.
z
P
DC
y
A
x
B
2.如图,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标
是 ( 3 , 1 , 0) ,点D在平面yOz上,且∠BDC=900,
ur uur 2.Βιβλιοθήκη Baidu知空间两异面直线lu1r,l2u的ur 方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 = ,
这句话对吗?
用向量法求异面直线的所成角,
ur uur
(1)若 e1, e2的夹角 是钝角,则两直线的所成角
ur
uur
.
(2)若 e1, e2的夹角
22
∠DCB=300. (1)求向量 CuuDur的坐标;
z
D
(2)求异面直线AD与BC 所成角的大小;
B
O
C
y
x
A
小结:
1.用向ur量u法ur 求异面直线的所成角,
(1)若 e1, e2的夹角 是钝角,则两直线的所成角
(2)若
ur uur . e1, e2的夹角
（0,2
]
,则两直线的所成角
.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BC的中点,点
E1在C1D1上,且
D1E1
1 4
D1C1,
求直线E1F和平
面D1AC所成角的大小.
z
利用向量求斜线和平面所成角: D1 E1
C1
A1
通过求直线的方向向量和
B1
平面的法向量的夹角 ,
D
进而求出直线和平面所成
O
角. 或
A
x
2
2
C
（0,2
]
,则两直线的所成角
.
3.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为er
,
平面
的法向量为
r n
,设直线l和平面
的所成角为1 ,
r e与
r
n 的夹角为 2 ,
则1
2 ,
这句话对吗?
用向量r法r 求直线和平面所成角, ((211))1若若2eer2,,nnr的的22..夹夹角角22是[钝0,角2,)则,则两两直直线线的的所所成成角角
例题:
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1,F1分别是A1B1,
C1D1上的点,且E1B1
1 4
A1B1,
D1F1
1 4
D1C1,
求BE1和DF1所成角的余弦值.
z
利用向量求两异面直线所成角: D1 F1
C1
注意向量夹角和两异面 A1 直线所成角的联系和区
E1 B1
别.
D
C
O
y
A
B
x
例题: