第三章趋势面分析(课堂PPT)
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❖ 多项式趋势面的形式
① 一次趋势面模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z a0 a1x a2 y ② 二次趋势面模型
（3.6.2）
z a0 a1x a2 y a3 x2 a4 xy a5 y 2 （3.6.3） ③ 三次趋势面模型
z a0 a1x a2 y a3 x2 a4 xy a5 y 2 （3.6.4） a6 x3 a7 x 2 y a8 xy 2 a9 y 3
4
二、趋势面分析的一般原理
空间趋势面是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理 数据在大范围内的空间变化趋势。它与实际上的地理曲面不 同，它只是实际曲面的一种近似值。 趋势面是一种抽象的 数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使 地理要素的空间分布规律明显化。
实际曲面=趋势面+剩余曲面。趋势面反映了区域性的变化规 律，它受大范围的系统性因素影响，属于确定性因素作用的 结果。而剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机 因素的影响。
为p+1个未知量）
n
n
n
na0 a1 x1i ap xpi zi
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
a0
i 1
x1i
a1
i 1
x1i x1i
ap
i 1
x pi x1i
i 1
x1i zi
............
a0
n i 1
x pi
n
a1
i 1
x1i x pi
ap
n i 1
x pi x pi
n i 1
xpi zi
（3.6.6）
13
一般采用消元法求解正规方程组。 解此正规方程组，即得p＋1个系数a0， a1，…，ap。 带入原拟合模型，即得 到趋势面方程。
14
三、 趋势面模型的显著性检验
趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接 相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验是一 个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关 键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。
素的空间分布及变化趋势（如地质勘探、海底地形、生态环境、 经济要素的空间分布、评估等等）。许多现象在空间都具有复杂 的分布特征，它们常常呈现为不规则的曲面。欲研究这些现象的 空间分布趋势，就要用适当的数学方法将现象的空间分布及其区 域变化趋势模拟出来，这就用到趋势面分析方法。趋势面分析方 法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布 规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。
5
二、趋势面分析的一般原理
趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模 型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精 度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从 地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值， 从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。
观测值=确定性函数值+随机性函数值=趋势值+剩余值 ❖ 我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。
分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关
系。 7
❖ 趋势面分析的核心 从实际观测值出发推算趋势面，使得残
差平方和趋于最小，即
n
n
Q 2 [zi (xi , yi ) zˆi (xi , yi )]2 min
i 1
i 1
以此来估计趋势面参数。这就是在最小 二乘法意义下的趋势面拟合。
8
用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数 和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形 式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围 内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可 使所求的回归方程适合实际问题的需要。
❖ 进行空间插值.是空间内插的一种方法。在区域内通过已知点
的数据，推求任意点数据的方法称为空间数据的内插。
❖ 在其他学科的应用（工程技术、传染病学、化学等）
3
二、趋势面分析的一般原理
定义：趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空 间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它实质上就是通过回 归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟 地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的 变化趋势。只不过多元线性回归分析考察的是多个自变量因素 对因变量的影响程度，而趋势面分析是将三维坐标系中坐标点 x,y作为自变量，点z的值作为因变量来考察这个z值在空间上的 变化趋势。 目的：找到一个空间趋势面去拟合地理要素的实际分布面。
这可以通过以下检验来完成：
✓ 趋势面拟合适度的R2检验 ✓ 趋势面拟合适度的显著性F检验 ✓ 趋势面适度的逐次检验
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（一）趋势面拟合适度的R2检验
趋势面与实际面的拟合度系数R2是测
定回归模型拟合优度的重要指标。
一般用变量z的总离差平方和中回归平
方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。
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（二） 估计趋势面模型的参数
❖ 实质 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确定多
项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平方和最小。 ❖ 过程
① 将多项式回归（非线性模型）模型转化 为多元线性回归模型。
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令 x1 x, x2 y, x3 x2, x4 xy, x5 y2,
第三章 地理学中的经典统计分析 方法
1
第6节 趋势面分析方法
➢趋势面分析的用途 ➢趋势面分析的一般原理 ➢趋势面模型的适度检验 ➢趋势面分析应用实例 ➢趋势面分析的软件实现
2
一、趋势面分析的用途
❖ 趋势面分析(trend surface analysis, TSA)的主要功 能是找出研究区域内变量的空间分布格局。描述地理要
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（一）建立趋势面模型
设某地理要素的实际观测数据为
zi(xi,yi )(i 1,2, ,n) ， 趋势面拟合值为
zˆi(xi,yi ) ，则有
zi (xi , yi ) zˆi (xi , yi ) i
（3.6.1）
式中：εi即为剩余值（残差值）。
显然，当（xi，yi）在空间上变动时
，（3.6.1）式就刻画了地理要素的实际
则
zˆ a0 a1x1 a2 x2 a p x p
②其残差平方和为
n
n
Q [zi zˆi ]2 [zi (a0 a1x1i a2 x2i a p x pi )]2
i 1
i 1
（3.6.5）
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③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并
令其等于0，得正规方程组(式中 a0 , a1 , , a p
❖ 多项式趋势面的形式
① 一次趋势面模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z a0 a1x a2 y ② 二次趋势面模型
（3.6.2）
z a0 a1x a2 y a3 x2 a4 xy a5 y 2 （3.6.3） ③ 三次趋势面模型
z a0 a1x a2 y a3 x2 a4 xy a5 y 2 （3.6.4） a6 x3 a7 x 2 y a8 xy 2 a9 y 3
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二、趋势面分析的一般原理
空间趋势面是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理 数据在大范围内的空间变化趋势。它与实际上的地理曲面不 同，它只是实际曲面的一种近似值。 趋势面是一种抽象的 数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使 地理要素的空间分布规律明显化。
实际曲面=趋势面+剩余曲面。趋势面反映了区域性的变化规 律，它受大范围的系统性因素影响，属于确定性因素作用的 结果。而剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机 因素的影响。
为p+1个未知量）
n
n
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na0 a1 x1i ap xpi zi
i 1
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n
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x1i x pi
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x pi x pi
n i 1
xpi zi
（3.6.6）
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一般采用消元法求解正规方程组。 解此正规方程组，即得p＋1个系数a0， a1，…，ap。 带入原拟合模型，即得 到趋势面方程。
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三、 趋势面模型的显著性检验
趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接 相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验是一 个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关 键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。
素的空间分布及变化趋势（如地质勘探、海底地形、生态环境、 经济要素的空间分布、评估等等）。许多现象在空间都具有复杂 的分布特征，它们常常呈现为不规则的曲面。欲研究这些现象的 空间分布趋势，就要用适当的数学方法将现象的空间分布及其区 域变化趋势模拟出来，这就用到趋势面分析方法。趋势面分析方 法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布 规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。
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二、趋势面分析的一般原理
趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模 型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精 度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从 地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值， 从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。
观测值=确定性函数值+随机性函数值=趋势值+剩余值 ❖ 我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。
分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关
系。 7
❖ 趋势面分析的核心 从实际观测值出发推算趋势面，使得残
差平方和趋于最小，即
n
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Q 2 [zi (xi , yi ) zˆi (xi , yi )]2 min
i 1
i 1
以此来估计趋势面参数。这就是在最小 二乘法意义下的趋势面拟合。
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用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数 和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形 式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围 内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可 使所求的回归方程适合实际问题的需要。
❖ 进行空间插值.是空间内插的一种方法。在区域内通过已知点
的数据，推求任意点数据的方法称为空间数据的内插。
❖ 在其他学科的应用（工程技术、传染病学、化学等）
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二、趋势面分析的一般原理
定义：趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空 间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它实质上就是通过回 归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟 地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的 变化趋势。只不过多元线性回归分析考察的是多个自变量因素 对因变量的影响程度，而趋势面分析是将三维坐标系中坐标点 x,y作为自变量，点z的值作为因变量来考察这个z值在空间上的 变化趋势。 目的：找到一个空间趋势面去拟合地理要素的实际分布面。
这可以通过以下检验来完成：
✓ 趋势面拟合适度的R2检验 ✓ 趋势面拟合适度的显著性F检验 ✓ 趋势面适度的逐次检验
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（一）趋势面拟合适度的R2检验
趋势面与实际面的拟合度系数R2是测
定回归模型拟合优度的重要指标。
一般用变量z的总离差平方和中回归平
方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。
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（二） 估计趋势面模型的参数
❖ 实质 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确定多
项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平方和最小。 ❖ 过程
① 将多项式回归（非线性模型）模型转化 为多元线性回归模型。
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令 x1 x, x2 y, x3 x2, x4 xy, x5 y2,
第三章 地理学中的经典统计分析 方法
1
第6节 趋势面分析方法
➢趋势面分析的用途 ➢趋势面分析的一般原理 ➢趋势面模型的适度检验 ➢趋势面分析应用实例 ➢趋势面分析的软件实现
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一、趋势面分析的用途
❖ 趋势面分析(trend surface analysis, TSA)的主要功 能是找出研究区域内变量的空间分布格局。描述地理要
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（一）建立趋势面模型
设某地理要素的实际观测数据为
zi(xi,yi )(i 1,2, ,n) ， 趋势面拟合值为
zˆi(xi,yi ) ，则有
zi (xi , yi ) zˆi (xi , yi ) i
（3.6.1）
式中：εi即为剩余值（残差值）。
显然，当（xi，yi）在空间上变动时
，（3.6.1）式就刻画了地理要素的实际
则
zˆ a0 a1x1 a2 x2 a p x p
②其残差平方和为
n
n
Q [zi zˆi ]2 [zi (a0 a1x1i a2 x2i a p x pi )]2
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i 1
（3.6.5）
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③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并
令其等于0，得正规方程组(式中 a0 , a1 , , a p