北师大版(新课标)高中数学必修5期末试卷

必修5模块检测题（1）

一、选择题

1．点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ）．

A ．[7,)-+∞

B ．(7,24)-

C ．(,7)(24,)-∞-+∞

D ．(](0,1)2,4

1．B (3321)(3426)0a a ?-?+-?-?+<，即(7)(24)0a a +-<，得724a -<<．

2．若数列{}n a 中，*1111,()2

n n a a a n N +==-∈，则n a =（ ）． A ．11()2n -- B ．11()2n -- C ．1()2n - D ．1()2

n - 2．A

112n n a a +=-，即数列{}n a 是以1为首项，以12-为公比的等比数列，得11()2n n a -=-． 3．如果a b >，那么下列不等式中正确的是( )．

A ．lg lg ,(0)a x b x x >>

B ．22ax bx >

C ．22a b >

D ．22x x a b >

3．D 当0x >时，lg x 可正可负，而当x R ∈时，20x >恒成立．

4．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）．

A

．海里/小时 B

． 海里/小时

C

． 海里/小时 D

． 海里/小时

4．B 设货轮按北偏西30的方向航行30分钟后N 处，20sin 30sin105

MN =，

得

MN =

，速度为 海里/小时．

5．在数列{}n a 中，13a =且对于任意大于1的正整数n ，点1(,)n n a a -在直线60x y --=上，

则357a a a -+的值为（ ）．

A ．27

B ．6

C ．81

D ．9

5．A 160n n a a ---=，即16n n a a --=，得数列{}n a 是等差数列，且首项13a =，

公差6d =，而3577512434627a a a a d a a d -+=-==+=+?=．

6．如果关于x 的不等式250x a -≤的正整数解是1,2,3，那么实数a 的取值范围是（ ）．

A ．4580a ≤<

B ．4580a <<

C ．80a <

D ．45a >

6．A 250x a -≤，得≤，而正整数解是1,2,3，则34≤<． 7．已知等差数列}{n a 的公差0d ≠，且1a d ≠，记前20项之和2010S M =，

则M =（ ）．

A ．56a a +

B ．2102a a +

C ．102a d +

D ．210a d +

7．C 2012020()102

S a a M =+=，得1201219M a a a d =+=+，而1012219a d a d +=+． 8．给出下列三个结论，

（1）若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形；

（2）若sin sin A B =，则ABC 是等腰三角形；

（3）若sin sin a b c A B ==，则ABC 是直角三角形，

其中正确的有（ ）个．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．A 若sin 2sin 2A B =，则22A B =，或22A B π+=，ABC 是等腰或直角三角形； 若sin sin A B =，则a b =，得A B =，所以ABC 只能是等腰三角形； 若sin sin sin a b c c A B C ===，得sin 1,2

C C π==． 9．某镇人口第二年比第一年增长00m ，第三年比第二年增长00n ，又这两年的平均增长率为00p ，则p 与

2

m n +的关系为（ ）． A ．2m n p +> B ．2m n p += C ．2m n p +≤ D ．2

m n p +≥

9．C 2000000(1)(1(1)m n p ++=+，0000001112m n p ++++=≤． 10．在等比数列{}n a 中，9101920(0),a a a a a a b +=≠+=，则99100a a +=（ ）．

A ．109b a

B ．9()b a

C ．98b a

D ．10()b a

10．C 101920910a a b q a a a +==+，90109999100910()()a a b q q a a a

+===+， 99991009108()()b b a a a a a a

+=+=． 11．在ABC ?中，若,2A B C A C B <<+=且，最大边为最小边的2倍，

则三个角::A B C =（ ）．

A ．1:2:3

B ．2:3:4

C ．3:4:5

D ．4:5:6

11．A 易知60B =，sin 1sin 2sin 2sin(120)sin 2

A a C A C C c ==?==-，

即sin 2sin(120)sin 0C C C C C =-=+?=，即90,30C A ==． 特殊联想法：由“最大边为最小边的2倍”，联想到直角三角形，再结合60B =，

验证90,30C A ==，即得．

12．已知数列{}n a 的前n 项的和1(0,)n n S q q q =->且为常数，某同学得出如下三个结论：

①{}n a 的通项是1(1)n n a q q -=-；②{}n a 是等比数列；③当1q ≠时，221n n n S S S ++<，

其中正确结论的个数为（ ）．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

12．C 111(1)(2)n n n n n a S S q q n --=-=---≥，即1(1)(2)n n a q q n -=-≥，

而111a S q ==-，得1(1)(1)n n a q q n -=-≥；当1q =时，{}n a 不是等比数列；

当1q ≠时，令221221(1)(1)(1)n n n n n n t S S S q q q ++++=-=----，

则2(1)n t q q =--，显然0t <，即221n n n S S S ++<．

二、填空题

13．若一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，则其中最小内角的正弦值为_________．

13

．12 设从小到大的三内角为,,2A B π，则sin ,sin ,sin 2

A B π成等比数列，

得2sin sin A B =，而sin cos B A =，即22sin cos 1sin A A A ==-，

得2sin sin 10A A +-=，即sin A =． 14．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若51010,5S S ==-，则数列{}n a 的公差为_______． 14．1- 10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-，

而1234510a a a a a ++++=，相减得2525,1d d =-=-．

15．若三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8:5，则此三角形的

面积是________．

15．设两边为8,5(0)k k k >，则22214(8)(5)2(8)(5)cos 60k k k k =+-??，

得2k =，得三角形的面积是1161022

???=． 16．已知不等式组22430680

x x x x ?-+

16．(,9]-∞ 由2430x x -+<得13x <<；由2

680x x -+<得24x <<， 则等式组22430680

x x x x ?-+

()29f x x x a =-+，得(2)0f ≤且(3)0f ≤，得9a ≤． 三、解答题

17．已知,0a b ≥，求证：

211()()24

a b a b +++≥．

17．证明：2a b +≥111()()244

a b a b ++=+++≥

∴11()()22

a b a b +++≥，

即211()()24a b a b +++≥． 18．已知等差数列{}n a 的第10项为15，第22项为15-，问：（1）从第几项开始n a 为负？

（2）从第几项开始n S 为负？

18．解：（1）22101230a a d -==-，52d =-，105(10)402n a a n d n =+-=-+， 令5400,162

n a n n =-+<>，则从第17项开始n a 为负； （2）显然16170,0a a =<，则311311631()3102

S a a a =+==， 3213216171732()16()1602

S a a a a a =+=+=<，即从第32项开始n S 为负． 19．在△ABC 中，11tan ,tan 23

A B ==，且最大边的边长为1，（1）求角C 的大小； （2）最短的边长．

19．解：（1）因为A B C π++=，得tan tan()C A B =-+，

即11tan tan 23tan 111tan tan 1123

A B C A B ++===-?-?-，而0C π<<， 得34

C π=； （2）显然,1B A C c <<=，即最短的边为b ， 由1tan 3B =

，得sin B =

sin 2C =，

得sin sin 5

c b B C ==，

． 20．设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b

，且n c =， 求数列{}n c 的通项公式．

20．解：由221

x x n y x -+=+，得22(1)y x x x n +=-+， 即2

(1)0y x x y n -++-=，

当1y ≠时，△14(1)()0y y n =---≥，

即244(1)410y n y n -++-≤，

则n a ，n b 是方程244(1)410y n y n -++-=的两根， 得41,4414n n n n n a b a b n -=

=-

，n c =

得n c == 21．设等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是d ，且11441010,,a b a b a b ===，

（1）求1,a d ；

（2）判断是否存在一项n a ，使16n a b =，若存在，求出n ，若不存在，请说明理由．

21．解：（1）显然1d ≠，31191139a d a d a d a d

?+=??+=??， 得1393911d d a d d =

=--， 即9313(1)d d -=-，3633(1)(1)3(1)d d d d -++=-，

得6363

13,20d d d d ++=+-=，而1d ≠，即32d =-

，d =

1333(121

d a d ===--- 所以1,a d

，；

（2）由16n a b =，得1511(1)a n d a d +-=

15(1)(n -=，

1)n -=34n =，即存在一项34a ，使3416a b =．

22．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3)，

（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式；

（2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．

22．解：由题意可设()2(1)(3)f x x a x x +=--，且0a <，

即()(1)(3)2f x a x x x =---，

（1）()6(1)(3)260f x a a x x x a +=---+=，

即2

(42)90ax a x a -++=有两个相等的实根，

得22[(42)]360a a ?=-+-=，即25410a a --=， 而0a <，得15a =-，即1()(1)(3)25

f x x x x =----， 整理得2163()555f x x x =---． （2）2

()(1)(3)2(42)30f x a x x x ax a x a =---=-++=， 22max 12(42)()04a a f x a -+=>，即2410a a a

--->， 而0a <，得2410a a ---<，即2410a a ++>，

2a >-+2a <-0a <，

得a 的取值范围为(,2(23,0)-∞--+．

答案与解析 备用题

1．在△ABC 中，若b

B a A cos sin =，则B ∠=（ ）． A ．30 B ．45

C ．60

D ．90 1．B ∵b B a A sin sin =，∴b

B b B sin cos =，∴cos sin B B =，从而tan 1B =， 又0180B <<，∴45B =．

2．在△ABC 2sin b A =，则B ∠=（ ）．

A ．3π

B ．6π

C ． 3π或π32

D ．6π或π65

2．C ∵b a B A =sin sin ，∴sin sin b A a B =2sin b A =2sin a B =，

∴sin

B =，又sin sin a A b A =>，∴ 3B π=或32π． 3．在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则数列的通项=n a __________．

3．123n n a +=- 令12()n n a t a t ++=+，即12n n a a t +=+，得3t =，

则132(3)n n a a ++=+，即{3}n a +是以首项为134a +=，公比为2的等比数列，

则113422n n n a -++=?=，123n n a +=-．

4．设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，

且满足6263ααββ-+=．

（1）试用n a 表示1n a +；

（2）求证：2{}3n a -是等比数列；

（3）当176

a =时，求数列{}n a 的通项公式． 4．（1）解：11,n n n

a a a αβαβ++==， 而6263ααββ-+=，得

1623n n n a a a +-=， 即1623n n a a +-=，得11123n n a a +=

+； （2）证明：由（1）11123

n n a a +=+， 得1212()323

n n a a +-=-， 所以2{}3

n a -是等比数列； （3）当176a =时，2{}3n a -是以721632-=为首项，以12

为公比的等比数列， 1211()322

n n a --=?， 得21()()32

n n a n N *=+∈． 5．已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中1,2,3,n =???

（1）证明数列{lg(1)}n a +是等比数列；

（2）设12(1)(1)(1)n n T a a a =++???+，求n T 及数列{}n a 的通项；

5．（1）证明：点1(,)n n a a +在函数2

()2f x x x =+的图象上，

则212n n n a a a ++=，即21211n n n a a a +++=+，

得21(1)1n n a a ++=+，两边取常用对数，

则21lg(1)lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+， 得1lg(1)2lg(1)

n n a a ++=+，即数列{lg(1)}n a +是等比数列； （2）12lg lg(1)lg(1)lg(1)n n T a a a =++++???++

而数列{lg(1)}n a +是等比数列是以lg 3为首项，以2为公比，

即211lg(1)(12)lg (21)lg3lg312

n n n n a T -+-==-=-，213n n T -=， 112lg(1)2lg3lg3n n n a --+==，1213n n a -+=，

得12

31n n a -=-．

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