2020年高考数学压轴必刷题

2020年高考数学压轴必刷题

1．【2019年浙江10】设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n2+b，n∈N*，则（）A．当b时，a10＞10 B．当b时，a10＞10

C．当b＝﹣2时，a10＞10 D．当b＝﹣4时，a10＞10

【解答】解：对于B，令0，得λ，

取，∴，

∴当b时，a10＜10，故B错误；

对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，

取a1＝2，∴a2＝2，…，a n＝2＜10，

∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；

对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，

取，∴， (10)

∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；

对于A，，，

，

a n+1﹣a n＞0，{a n}递增，

当n≥4时，a n1，

∴，∴（）6，∴a1010．故A正确．

故选：A．

2．【2018年浙江10】已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln （a1+a2+a3），若a1＞1，则（）

A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4

C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4

【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，

a1＞1，设公比为q，

当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．

当q＝﹣1时，a1+a2+a3+a4＝0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3）不成立，

当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），能够成立，

故选：B．

3．【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活

码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）

A．440 B．330 C．220 D．110

【解答】解：设该数列为{a n}，设b n2n+1﹣1，（n∈N+），则

a i，

由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，

可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，

容易得到N＞100时，n≥14，

A项，由435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．

B项，仿上可知325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．

C项，仿上可知210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．

D项，仿上可知105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．

故选A．

方法二：由题意可知：，，，，

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为N＝1+2+3+…+n，

所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣n，

由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，

则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有2＝3，不满足N＞100，

②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有3＝18，不满足N＞100，

③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有4＝95，不满足N ＞100，

④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有5＝440，满足N＞100，

∴该款软件的激活码440．

故选：A．

4．【2017年上海15】已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n＝an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）

A．a≥0 B．b≤0 C．c＝0 D．a﹣2b+c＝0

【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）

2+b（200+k）+c]＝a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a＝0．

∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．

故选：A．

5．【2016年浙江理科06】如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|＝|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|＝|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n＝|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）

A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列

C．{d n}是等差数列D．{d n2}是等差数列

【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|＝a，|OB1|＝c，

|A n A n+1|＝|A n+1A n+2|＝b，|B n B n+1|＝|B n+1B n+2|＝d，

由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，

{d n2}不一定是等差数列，

设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，

由三角形的相似可得，

，

两式相加可得，2，

即有h n+h n+2＝2h n+1，

由S n d•h n，可得S n+S n+2＝2S n+1，