经济数学

解 (1) y ln cosx 是由 y ln u , u cos x 复合而成的.
(2) y 3 sin x 是由 y 3 u , u sin x 复合而成的.
第一节 函数
三、初等函数 (1)常数函数
y C ( C 为常数）
(2)幂函数 (3)指数函数 (4)对数函数
y x ( 为实数) y ax ( a 0 ,且 a 1, a 为常数) y log a x ( a 0 ,且 a 1, a 为常数)
, ，后者的定义域为 ,1 1, .因为定义域不同，所
以函数不同.
1
例 求函数 y x2 1 的定义域.
解
由
x2
1
0 ，得
x
1，所以函数
y
1 x2 1
的定义域为
,1 1,1 1,.
第一节 函数
一、函数的概念与性质
1.函数的概念
函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值 范围.一般考虑以下几个方面：
y f x, xD ，
其中变量 x 称为自变量,变量 y 称为因变量(或函数),数集 D 称
为函数的定义域, f 称为函数的对应法则.
确定函数的两个要素：定义域和对应法则.
第一节 函数
一、函数的概念与性质
1.函数的概念
例
函数
y
x
1 与函数
y
x2 1 x 1
是否表示同一函数？
解 否.它们表示两个不同的函数.前者的定义域为
都有 f x f x ,则称函数 f x 是区间 I 上的偶函数;若对任意的
xI ,都有 f x f x ,则称函数 f x 是区间 I 上的奇函数;若
函数既不是奇函数也不是偶函数,则称为非奇非偶函数.
例 如 ， y x2 与 y cosx 在 , 上 是 偶 函 数 ， y x3 与
经济数学
经济数学基础 教学内容
一元函数微分学 （1.2.3章）
一元函数积分学 （4章）
线性代数 （5章） 概率论（6章）
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数 第二节 极限 第三节 函数的连续性
第一节 函数一、函数的概念来自性质1.函数的概念设 x ，y 是两个变量, D 是给定的非空数集,如果变量 x 在 D 内任取一个确定的数值时,变量 y 按照一定的法则 f 都有唯一确 定的数值与之对应,则称变量 y 是变量 x 的函数,记为
y sin x 在 , 上是奇函数， y x 1 cosx 在 , 上是非奇
非偶函数.
第一节 函数
一、函数的概念与性质
2.函数的性质
4）周期性
如果存在不为零的实数T ,使得对于任意的 xI , x T I ,
都有 f x T f x ,则称函数 y f x是周期函数, T 是 y f x的
（1）分式函数的分母不能为零； （2）偶次根式的被开方式必须大于等于零； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）三角函数与反三角函数要符合其定义； （5）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部 分定义域的交集.
第一节 函数
一、函数的概念与性质
2.函数的性质
1）有界性
如果存在正数 M ,使对任意的 x I ,恒有 f x M ,则称函 数 y f x在区间 I 上有界,否则称 f x 在区间 I 上无界.
一个周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期.
例如, y cosx 是以 2π 为周期的周期函数; y tan x 是以 π
为周期的周期函数.
第一节 函数
二、反函数与复合函数
1.反函数
设函数 y f x的定义域为 D ,值域为 M .如果对于 M 中的每个 数 y ,在 D 中都有唯一确定的数 x 与之对应,且使 y f x成立,则确 定了一个以 y 为自变量, x 为因变量的函数,称为函数 y f x的反函 数,记为 x f 1y,其定义域为 M ,值域为 D .
注：并不是任意两个函数都能构成复合函数.
第一节 函数
二、反函数与复合函数
2.复合函数
利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，
还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后
掌握微积分的运算是很重要的.
例 将下列复合函数进行分解.
(1) y ln cosx ;
(2) y 3 sin x .
第一节 函数
(5)三角函数
正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数
y sin x, x ,, y 1,1 y cos x, x ,, y 1,1
y tan x, x kπ π , k Z,y ,
例 如 ， y sin x 在 , 上 有 界 , 因 为 sin x 1 对 任 何
x
,
都成立；而函数
y
1 x
在
1,1上无界，因为不存在正
数M
，使得
1 x
M
对于 0,1上的一切 x 都成立.
第一节 函数
一、函数的概念与性质
2.函数的性质
2）单调性
若 对 任 意 的 x1, x2 I , 当 x1 x2 时 , 恒 有 f x1 f x2 ( 或 f x1 f x2 ),则称函数 y f x在区间 I 上单调增加(或单调减少).
第一节 函数
二、反函数与复合函数
1.反函数
例 求函数 y 3 x 1 的反函数.
解 由 y 3 x 1 解得 x y3 1.当 y 在 ,内任取一值时， 有唯一确定的 x 值与之对应，所以它是一个函数.将 x, y 分别换为 y, x ，得
y x3 1， 即函数 y 3 x 1 的反函数为 y x3 1.
区间 I 称为单调增区间(或单调减区间);单调增加函数和单调减少
函数统称为单调函数;单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如， y x2 在 [0,) 内单调增加，在 (,0] 内单调减少.又
如， y x3 在 ,内单调增加.
第一节 函数
一、函数的概念与性质
2.函数的性质
3）奇偶性
设函数 f x 的定义区间 I 上关于原点对称,若对任意的 xI ,
第一节 函数
二、反函数与复合函数
2.复合函数
设 y f u ,其中 u x ,且函数 u x 的值域包含在函 数 y f u 的 定 义 域 内 , 则 称 y f x 为 由 y f u 与 u x 复合而成的复合函数,其中 u 称为中间变量.
例如， y u 2 ,u sin x 可复合成 y sin 2 x .