线性规划解的性质

图中的点 解 基础可行解 基础解 基础解 基础可行解 基础可行解 基础解 基础可行解 最优解 基础解 基础可行解 可行解
f(x
6 )=3
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几何概念 约束直线 约束半平面 约束半平面的交集： 凸多边形 约束直线的交点 可行域的极点 目标函数等值线： 一组平行线
代数概念 满足一个等式约束的解 满足一个不等式约束的解 满足一组不等式约束的解 基解 基可行解 目标函数值等于一个常 数的解
4x1 16
7—
6— 5—
目标函数等 值线的斜率
4 —B
3— 2— 1—
最优解
C
D
4 x2 16 x1 + 2x2 8
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
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上图中（1）（2）是凸集，（3）（4）不是凸集
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基本定理
定理1: 若线性规划问题存在可行域, 则其可行域:
是凸集. (1) ( 2) (1) ( 2) 证明: 设：X D, X D, X X
则有：AX AX
(1)
b, X b, X
(1)
0, 0
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
非基 变量 x 1, x 2 x 1, x 3 x 1, x 4 x 1, x 5 x 2, x 3 x 2, x 4 x 3, x 4
基变量 x3 =10 x2 =10 x2 =8 x2 =7 x1 =5 x1 =8 x1 =2 x4 =8 x5 =7 O F E A D H C
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线性规划问题的几何意义
基本概念 线 性 设 n 凸集： k是 维欧氏空间的一点集， 规 （） 1 （） 2 划 对 X K， X K 问 连线上的一切点 题 （） 1 （） 2 的 αX （ α ） 1 X K， 几 （ α 1 0 ），则 为凸集。 K 何 意 义
( 2)
( 2)
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)0
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X ,b XA X D
D
X
AX b, X 0)
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令X为X 和X 连线上的任意一点，则：
(1) ( 2)
X X (1) (1 ) X ( 2 ) (0 1) 显然，X 0
只要验证X在D中即可 将X代入约束条件，有：
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max min
z= 2x1 +3x2 +x3 s.t. x1 +3x2 +x3 15 2x1 +3x2 -x3 18 x1 -x2 +x3 3 x1, x2, x3 0
min max st
z’= -2x1 -3x2 x1 +3x2 2x1 +3x2 x1 -x2 x1, x2,
最优解
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z
5 17 10 20 15 17.5 22 19
是否基 可行解
Y Y Y N N Y N Y
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可行解、基础解和基础可行解举例
x2 max f ( x ) 6 x1 4 x2 10 F
9
2 x1 x2 x3 10 8 E A B G x1 x2 x4 8 3 7 t. s. C x2 x5 7 6 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 4 2 最优解 : x1 2, x2 6, 3
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解： 注：x1x3x4及x2x4x5所对应的系数不够成基
x1 x 2 x 3 x 4 x 5
线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 4 5 0 0 5 10 0 5 2.5 5 4 2 4 5 5 0 5 -5 0 0 3 10 4 2 0 5 4 0 -1 0 4 0 1.5 -3 0 0 0
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
3x2 3x2 -x2
+x3 -x3 +x3
+x5
=15 =18 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，3，6，0，15，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
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x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
最优解？
非可行解
可行解
基解
基可行解
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• 例：求基解、基可行解、最优解。
线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
max
z 2 x1 3 x 2 x 3 x3 5 x1 x 2x x 4 10 1 2 x2 x5 4 xi 0, i 1,2,,...,5
AX A(X (1) (1 ) X ( 2 ) ) AX (1) (1 ) AX ( 2 ) b (1 )b b 因此，X D, D是凸集。
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• 定理2：线性规划问题的基可性解X 对应于可行域D的顶点。 证明：反证法。分两步。
凸集
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• 一个点是凸集，一段直线是凸集，平面上 的凸多边形、实心圆，空间中的实心球、 实心立方体等多面体，都是凸集。
凸集
非凸集
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• 从直观上讲，凸集没有凹入部分，其内部没有空洞。 左图中的(a)(b)是凸集，(c)不是凸集。 • 右图中的阴影部分是凸集。
• 任何两个凸集的交集是凸集，见左图 (d)
x1 2x1 x1
+3x2 +x4 +3x2 -x2
=15 =18 =3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（27/5，12/5，0，2/5，0，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
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x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x1、x2、x5，非基变量x3、x4、x6
x1 +3x2 2x1 +3x2 +x5 x1 -x2
=15 =18 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（6，3，0，0，-3，0） 是基础解，但不是可行解，不是一个极点。
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x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
X a1m a11 0 ... x1 ... ... xm a a m1 mm
a1n b1 a1m 1 xm 1 ... ... xn ... ... b a a m mm1 mn
第二节 线性规划问题的解
图解法 线性规划问题求解的几种可能结果 由图解法得到的启示 线性规划解的概念 凸集的概念 线性规划的基本定理
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线性规划问题解的概念
标准型
max Z CX AX b X 0
A为m×n阵 m<n
可行解:满足AX=b, X>=0的解X称为线性 规划问题的可行解。 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称 为最优解。
• 定理4：若可行域有界，线性规划 问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优。
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几点结论：
• 线性规划问题的可行域是凸集。 • 基可行解与可行域的顶点一一对 应，可行域有有限多个顶点。 • 最优解必在顶点上得到。
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
=15 =18 =3
基解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（5，3，1，0， 0，0） 是基可行解，表示可行域的一个极点。
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x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x1、x2、x4，非基变量x3、x5、x6
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线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
基：若B是矩阵A中m×m阶非奇异 子矩阵（B≠0），则B是线性规划 问题的一个基。不妨设：
a11 ,..., a1m B .............. ( A1 ,..., Am ) a ,..., a mm m1
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
3x2 3x2 -x2
+x3 -x3 +x3
+x6
=15 =18 =3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，11/2，-3/2，0，0，10） 是基础解但不是可行解。
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线性规划解的关系图
4x1 16
7—
6— 5—
目标函数等 值线的斜率 C
4 —B
3— 2— 1—
D
最优解 4 x2 16 x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
A
0
E百度文库
| 5
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
A j , j=1，2，…,m —— 基向量。 x j ，j=1，2，…,m —— 基变量。 x j , j=m+1,…,n —— 非基变量。
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●线性规划的基、基变量、非基变量
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
行列式≠0 基矩阵
=
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max Z CX
求解 AX b
线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x2、x3、x4，非基变量x1、x5、x6
3x2 3x2 -x2
+x3 -x3 +x3
+x4 =15 =18 =3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，21/2，27/2，-30，0，0） 是基础解，但不是可行解。
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x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
-x3 +x3 +x4 =15 -x3 +x5 =18 +x3 +x6 =3 x3, x4, x5, x6 0
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x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6
x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
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线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
基变量 X B ( x1 , x2 ...xm ) 令 xm1 xm2 ... xn 0 T ' ' ' 可求出： (b1 , b2 ,...bm ,0,0,...,0) X
T
基解：称上面求出的X解为基解。 基可行解：非负的基解X称为基可行解 可行基：对应基可行解的基称为可行基
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顶点:若K是凸集，X∈K；若X不能用
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
不同的两点 X (1) K和X ( 2) K 的线性组合表示为：
X X (1) (1 ) X ( 2) (0 1) 则X为顶点. 例如：三角形的三个角点，
实心圆圆周上的任一点，实 心球球面上的任一点。
x4 =-2 x5 =-3 x3 =2 x5 =-1 x3 =3 x4 =1 x4 =3 x5 =7 x3 =-6 x5 =7 x2 =6 x5 =1
f ( x ) 36.
K
1
x1
x3, x5 x1 =1.5 x2 =7 x4 =-0.5 G x4, x5 x1 =1 x2 =7 x3 =1 B x1 =2, x2 =2, x3 =4, x4 =4, x5 =3 K
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x1、x2、x6，非基变量x3、x4、x5
x1 +3x2 2x1 +3x2 x1 -x2 +x6
=15 =18 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（3，4，0，0，0，4） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
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x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3