采样控制系统的稳定性分析

采用比较法来分析与学习采样系统的稳态误差！！
1、误差及稳态误差的定义
ห้องสมุดไป่ตู้
系统的误差 e(t)一般定义为被控量的希望值与 实际值之差。即：
误差e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值
设单位反馈采样系统如图8-26所示：
图8-26 单位反馈采样系统
误差 e( t ) r ( t ) b( t )
稳态输出量不可能完全与输入量一致，也不可能在
任何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点；

系统存在摩擦间隙和死区等非线性因素，控制系统 的稳态误差总是不可避免的；

控制系统设计时应尽可能减小稳态误差； 当稳态误差足够小可以忽略不计的时候，可以认 为系统的稳态误差为零，这种系统称为无差系统， 而稳态误差不为零的系统则称为有差系统； 应当强调的是，只有当系统稳定时，分析系统的 稳态误差才有意义！！
G( z ) 1 G( z )
1 G( z ) z (0.632k 1.368) z 0.368 0
令z
(
w 1
w 1 w 1
w 1
2
代入上式，得
w 1 w 1 ) 0.368 0
) (0.632k 1.368)(
化简后，得W域特征方程
0.632kw 1.264w ( 2.736 0.632k ) 0
图8-23：例2闭环系统图
解：求出G(s)的z变换
G( s) k s(1 0.1s ) k s k s1
G( z )
kz z 1

kz z 0.368

0.632kz z 1.368 z 0.368
2
闭环系统脉冲传递函数为 故闭环系统特征方程为
2
( z )
w
x jy 1 x jy 1

x y 1
2 2
( x 1) y
2
2
j
2y ( x 1) y
2 2
当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时， 应满足： 2 2 x y 1
u x y 1
2 2
( x 1) y
2
2
0
左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W
解：系统的特征方程为
：
( z 0 . 1 )( z 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 ) 0 对应的四个特征根分别 为： z 1 0 .1 , z 2 0 .5 , z 3 , 4 0 .4 j 0 .5 可见，该系统是稳定的 。
2
列出劳斯表
w w w
2 1 0
0.632k 1.264 2.736 0.632k
2.736 0.632k 0 0
从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统 稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。
8.6.3
朱利稳定判据(以大家自学为主)
朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类 似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根 据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系 数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而 判断该离散系统的稳定性。
2 T
T
T 1 ) z ( 1 e
T
Te
T
)]
T
T 1) ( 1 e
)] z [ K (1 e
T
Te
) e
T
]
且由 R( z )
z
z 1
，可求得C(z)表达式 。
取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反变换得 到c(kT)，见图8-25。
§8.6
8.6.1
8.6.2
采样控制系统的稳定性分析
采样系统的稳定条件
劳斯稳定判据
8.6.3
8.6.4
朱利稳定判据（以大家自学为主）
采样周期与开环增益对稳定性的影响
§8.6
采样控制系统的稳定性分析
8.6.1 采样系统的稳定条件
问题的提出！
在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据 特征方程的根在s平面的位臵。若系统特征方程的 所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。 对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分 析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相 互关系。
§8.6 采样控制系统的稳定性分析
相关知识及上次课内容回顾：
1、自动控制原理：是关于自动控制系统建模、分析 与设计的一套完整的理论。
2、分析控制系统的性能指标：稳、快、准。
稳：指控制系统的稳定性。 快：指控制系统的快速性。 准：指控制系统的准确性。
前面几次课中主要是针对采样控制系统的 数学模型进行了讨论。
（1）当采样周期T分别为1s，0.5s时，系统的临界 开环增益Kc。 （2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4s 时，系统的输出响应c(kT)。
图8-24 例3离散系统方框图
解:(1)
G ( z ) (1 z ) Z k (e T
1

k
2
S (S 1)

T ) Te t ) T
设单位反馈采样系统如图8-26所示：
图8-26 单位反馈采样系统
（1）应用Z变换的终值定理来计算
C ( z ) ( z ) R( z ) ,
( z )
G( z ) 1 G( z ) R( z )
E ( z ) R( z ) C ( z ) R( z )
G( z ) 1 G( z )
T 1) z (1 e ( z 1)( z e
当T＝1秒时 D( z ) z 2 (0.368k 1.368) z (0.264k 0.368)
0
D( w ) 0.632kw (1.264 0.528k )w
2
( 2.736 0.104k ) 0

1 1 G( z )
R( z ) e ( z ) R( z )
利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
e( ) lim e ( t ) lim ( z 1) E ( z ) lim
* t z 1 z 1
( z 1) R( z ) 1 G( z )
8.6.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
稳定性是控制系统的一种固有特性，只取 决与系统的结构参数即闭环传递函数，与系 统的输入无关。 影响采样系统稳定性的因素有哪些？ 1、开环增益K; 2、系统的零极点分布； 3、纯滞后环节； 4、采样周期T的取值。
例3 设有零阶保持器的离散系统如图8-24所示， 试求：
左半平面
r 1
虚轴
r 1
右半平面
r 1
左向右移
r为常数 : 0
z平面
单位圆内 单位圆上 单位圆外
半径扩大
二、线性采样系统稳定的充要条件
图8-21：线性采样系统结构图
线性采样系统如图8-21所示。
其特征方程为
D（z） 1 GH（z） 0
显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn即是 闭环脉冲传递函数的极点。 在z域中，离散系统稳定充要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在 z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1， 相应的线性定常系统是稳定的。
问题的提出
z 3z 6z 8z 8z 2z z 9 0
8 7 6 5 4 3 2
用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的
稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实
用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判
据就是劳斯判据。
8.6.2
劳斯稳定判据
对于线性连续系统，可以直接应用劳斯判据分 析系统的稳定性。 但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据 是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根 是否在复变量s平面虚轴的左半部。
2、连续系统中各种输入下各种类型系统的稳 态误差（温故而知新！比较法！！）
输 入 形 式 稳态误差
0型系统
单位阶跃 单位斜坡
1 1 K p
Ⅰ型系统
0
1 Kv
Ⅱ型系统
上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式 有关。
（2）应用计算稳态误差系数的方法来计算稳态误差
8.7.1
单位阶跃输入时的稳态误差
1.系统的类型（型别）
与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系 统型别的概念，由于 z e sT 的关系，原线性 连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作 为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环 脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系 统的型别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II 型离散系统。
误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包 含暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统， 暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关 心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应 的稳态分量——稳态误差记为ess。
2、稳态误差计算方法
线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广 到采样系统中来。（哪几种方法？）
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的
单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新
的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。
根据复变函数双线性变换公式，令
z w 1 w 1
或 w
z 1 z 1
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部
相加的形式，即
z x jy w u jv
讨论！
图8-25 不同T时的响应
§8.7
引 言 8.7.1 8.7.2 8.7.3
采样系统的稳态误差
单位阶跃输入时的稳态误差 单位斜坡输入时的稳态误差 单位加速度输入时的稳态误差
§8.7
采样系统的稳态误差
引 言

稳态误差是衡量系统控制精度的，在控制系统设计 中作为稳态指标；

实际控制系统由于本身结构和输入信号的不同，其
由劳斯判据KC=2.4
当T＝0.5s秒时 D( w ) 0.197kw 2 (0.786 0.18k )w
( 3.214 0.017k ) 0
由劳斯判据KC=4.37
讨论！
(2)
( z )
C(z) R( z )

G( z ) 1 G( z )
T

K [( e z [ K ( e
一．z平面与s平面的映射关系
在引入z变换的定义时，引入符号 z e
s(直角坐标 ：s j ) z, s关系
sT
ze
sT
代入
比较
z( 极坐标)：z r e
j
z e
(σ j )T
e
T
e
j T
所以
半径 : r e T 幅角 : θ T
几种情况讨论
平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图8-22。
因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。
图8-22：Z平面和W平面的对应关系
离散系统稳定的充要条件，由特征方程 1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单 位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有 根严格位于左半W平面。
例2 设闭环离散系统如图8-23所示，其中采样周 期T=0.1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。
例1、一个采样系统的闭环脉冲传递函数为：
(z)
C (z) R(z) ( z 0 . 6 )( z 0 . 16 ) ( z 0 . 1 )( z 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 )
试说明系统的稳定性。

稳 定 系 统
不 稳 定 系 统
几点注意：
1、稳定性是控制系统的重要性能，是系 统正常工作的首要条件。
2、稳定性是控制系统的一种固有特性，只 取决与系统的结构参数，与系统的输入
无关。
线性连续系统稳定判据复习

劳斯判据 赫尔维茨判据 根轨迹法 Nyquist稳定判据 对数频率稳定判据
半径 : r e T 幅角 : θ T
σ 0 ， 0 ~
r 1 z平面 ，即z 1。 θ 0
（1）s平面的虚轴
可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原 点为圆心的单位圆。 （2）
0
0 0
为常数 :
s平面
建模
差分方程
开环脉冲传递函数 G ( z ) 闭环脉冲传递函数 ( z )
稳定的概念复习

如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏 离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐 渐恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具
有稳定性。
如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远， 则称系统是不稳定的或不具有稳定性。