范德蒙行列式的证明及其应用
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科教 文化
・０ ・ ２ ７
范德 蒙行列式的证 明及其应用
何江妮
（ 新疆财经大学 应 用数 学学院 ， 新疆 乌鲁木齐 ８ ０ １ ） ３ ０ ２ 摘 要 ： 用递推 法及余 式定理证明范口 蒙行列式 ， 利 并通过例题介绍 范德 蒙行 列式在行 列式计算 中的应 用， 总结一些利 用范德蒙行 列式计算行列式的技巧 ， 拓展解题思路 ， 而提 高学习行列式的兴趣 。 从 关键 词 ： 行列式 ； 范德 蒙行列 式； 证明 ； 应用 行列 式的计算是线性代数学 习中的一个重 点 ，也是一个难点 。 Ｒ Ｕ 同时又是研究生入学考试 中必 出现的一类 题 ， 行列式 的计算方 法多 Ｄ ＝ａ ４ Ｘ（４ Ｘ （ 一 ３ ３ Ｘ）３ Ｘ （ 一 ｊ ａ兀 （ — ， ４ ｔ 一 １ 一 ２ ） 一 ２ 一 １ ２ ） １ Ｊ＜ｌ ４ ） ） ）４ （ （ ） ＝ Ｉ ≤ 种多样 ， 灵活多变。 中范德 蒙行列式 是一种重要 的行列式 ， 其 在行列 其中ａ是待定的常数。原行列式展开式中有—项 Ｘ ３４ 是主对角 ２ ２３ Ｘ Ｘ（ 式的计算 中起着不可低估 的作用 。 在行列式 的计算 中可 以把一些特 ， ｔ－ Ｘ ２２ 殊 的或类 似于范德蒙行列式 的行列式 转化 为范德 蒙行列式来计算 ， 元 的乘积 ）又１ ‘ － ／的展开式中也有一项 ｘ） 二者系数相 同， ， ， 而这是行列式计算过程 中一种不 易掌握 的方法 ， 本文通过几个 例题 故 ， 得 Ｄ＝ ４ （ 台） 来 阐述 一 些解 题 技 巧 。 ２ 范德 蒙行列式的应用 ～ √ 一 ． 一 １范 德蒙行列式展开公式的证明 ａ （ ｄ—１ ） （ ｄ一２ … （ ） ａ—ｎ ） 范德蒙行列式 展开公式 的证 明在教材 上一般介 绍的都是 数学 ａ 一 （一 ） ｄ一１ （ — ２ ．． （ ｎ ４ ）～ ． 口一 ） 例 ２ 算 行列式 Ｄ 归纳法（ ３ ， 文 ）范德蒙 行列式展开公式 的证 明还可用递推法及余 式 定理来证明。 例 １试证范德 蒙行列式 ： ｌ １ １ １ … １ 分析 ： 将行列式 Ｄ 与范德蒙行列式的形式加 以比较得 ， 行序的排
● ● ●
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仿上作法， Ｄ ＝（３ ｘ （ 一 ２ ． 一 Ｄ一 有 ｎ ｘ一 Ｏｘ ｘ）． ） ．（ 再递推下去 ， 直到 Ｄ ， ＝１ 故 ：（２ Ｘ） ３ ｘ）・ ｘ （３ ２ 一 ２… …ｘ）・ ） ｘ 一 １ｘ … １ （ （ 一 Ｏｘ一ｘ） ｘ） （ ２ （ 一 － １
Ｄ 的构造是 ： ｊ列的元 ｌ ｌ ３ １ ， ） 第 ｋ 顷 ｘ ｊ ０ ，３ 。若把 Ｄ 看作 ｘ 次 ＝２， ４ ４
的 多项式 ， ｘ ｘ代入， １ ４ 以 ４ ＝ 第 、 列的元素对应相等， 第 其值等于零 ， 按余 式定理知 ， 原行列式可被 ｏ一 尽。 【ｘ ４ 类似地， 以Ｘ＝＃４Ｘ代人， 分别 ａＸ ｛ ３ ＝ 知 原行列式可被 （ ｘ ］ ｘ （ ） ｘ ｒｘ除尽。 再把 Ｄ 看作 Ｘ 的多项式， ３ 分别以 Ｘ Ｘ ３ ＝ Ｘ３ Ｘ： 代人 ， ＝ 知原行列式可被（一 １ｘ 除尽。最后把 Ｄ 看作 Ｘ的多项 ｘ ｘ＇， ，）一 （
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分析 ： 此行列式与范德蒙行列式类似 ， 但缺少 ｎ １ 一 次幂的项 ， 因而可 用加边法添加上 ｎ １ 一 次幂项使新的行列式成为范德蒙行列式， 然后通过 比较系数来确定 Ｄ 。 ｎ
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解 ： 行列式 Ｄ＋ ＝ 构造 ｌ ） ｎ（ｌ＾ ＝ Nhomakorabea…
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列正好相反 ， 若将第 （ １ 依次与前面各行交换到第 １ 共交换 ｎ ｎ珩 ＋ 行（ 次） ， 再将新的行列式的第（ １ 次与前面各行交换到第 ２ 共交换 ｎ 痢依 ＋ 行（
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例 ３ 计算行列式 。 ：
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・０ ・ ２ ７
范德 蒙行列式的证 明及其应用
何江妮
（ 新疆财经大学 应 用数 学学院 ， 新疆 乌鲁木齐 ８ ０ １ ） ３ ０ ２ 摘 要 ： 用递推 法及余 式定理证明范口 蒙行列式 ， 利 并通过例题介绍 范德 蒙行 列式在行 列式计算 中的应 用， 总结一些利 用范德蒙行 列式计算行列式的技巧 ， 拓展解题思路 ， 而提 高学习行列式的兴趣 。 从 关键 词 ： 行列式 ； 范德 蒙行列 式； 证明 ； 应用 行列 式的计算是线性代数学 习中的一个重 点 ，也是一个难点 。 Ｒ Ｕ 同时又是研究生入学考试 中必 出现的一类 题 ， 行列式 的计算方 法多 Ｄ ＝ａ ４ Ｘ（４ Ｘ （ 一 ３ ３ Ｘ）３ Ｘ （ 一 ｊ ａ兀 （ — ， ４ ｔ 一 １ 一 ２ ） 一 ２ 一 １ ２ ） １ Ｊ＜ｌ ４ ） ） ）４ （ （ ） ＝ Ｉ ≤ 种多样 ， 灵活多变。 中范德 蒙行列式 是一种重要 的行列式 ， 其 在行列 其中ａ是待定的常数。原行列式展开式中有—项 Ｘ ３４ 是主对角 ２ ２３ Ｘ Ｘ（ 式的计算 中起着不可低估 的作用 。 在行列式 的计算 中可 以把一些特 ， ｔ－ Ｘ ２２ 殊 的或类 似于范德蒙行列式 的行列式 转化 为范德 蒙行列式来计算 ， 元 的乘积 ）又１ ‘ － ／的展开式中也有一项 ｘ） 二者系数相 同， ， ， 而这是行列式计算过程 中一种不 易掌握 的方法 ， 本文通过几个 例题 故 ， 得 Ｄ＝ ４ （ 台） 来 阐述 一 些解 题 技 巧 。 ２ 范德 蒙行列式的应用 ～ √ 一 ． 一 １范 德蒙行列式展开公式的证明 ａ （ ｄ—１ ） （ ｄ一２ … （ ） ａ—ｎ ） 范德蒙行列式 展开公式 的证 明在教材 上一般介 绍的都是 数学 ａ 一 （一 ） ｄ一１ （ — ２ ．． （ ｎ ４ ）～ ． 口一 ） 例 ２ 算 行列式 Ｄ 归纳法（ ３ ， 文 ）范德蒙 行列式展开公式 的证 明还可用递推法及余 式 定理来证明。 例 １试证范德 蒙行列式 ： ｌ １ １ １ … １ 分析 ： 将行列式 Ｄ 与范德蒙行列式的形式加 以比较得 ， 行序的排
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仿上作法， Ｄ ＝（３ ｘ （ 一 ２ ． 一 Ｄ一 有 ｎ ｘ一 Ｏｘ ｘ）． ） ．（ 再递推下去 ， 直到 Ｄ ， ＝１ 故 ：（２ Ｘ） ３ ｘ）・ ｘ （３ ２ 一 ２… …ｘ）・ ） ｘ 一 １ｘ … １ （ （ 一 Ｏｘ一ｘ） ｘ） （ ２ （ 一 － １
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