解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题

考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、

定点问题

解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2

=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和

β，当α、β变化且α+β=

4

π

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

例2．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为3，以原点为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；

⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，(

)

2

3,0F 的距离之和是4，点M 的轨

迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足42

2

=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3

1

,221=

=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

A

B

y

O

x

【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．

例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

4x y =的焦点，离心率5

e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。（I ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N

三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

二、 定值问题

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。

（1）求椭圆的离心率； （2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明2

2μλ+为定值。

例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2

，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C 的方程；

（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

将第二问的结论进行如下推广：

结论 1.过椭圆2

22

2

1(0,0)x y a b

a b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于

E 、

F 两点，则直线EF 的斜率为定值20

20

b x a y （常数）。

结论 2.过双曲线2

22

2

1(0,0)x y a b

a b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆

于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值

20

2

b x a y （常数）。 结论3.过抛物线2

2(0)y

px p

上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两

点，则直线EF 的斜率为定值

p

y （常数）。

例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；

(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =

的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||

，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

例7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点． (Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；

(Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．

例

8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x

1，离心率为

e =E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒

三、 定直线问题

例9、设椭圆22

22:1(0)x y C a b

a b

+=>>

过点M ，且焦点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

AP QB AQ PB =

，证明：点Q 总在某定直线上

例10、已知椭圆C 的离心率e =

，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。