无穷级数

第九章无穷级数

无穷级数是函数逼近与近似计算的重要工具。本章主要讨论

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎪⎩⎪

⎨⎧---和函数

展开收敛性傅立叶级数和函数展开收敛性幂级数函数项级数条件收敛绝对收敛任意项级数莱布尼兹审敛法

交错级数根值法比值法比较法正项级数常数项级数级数,,,,,,,基本概念基本性质

收敛域

和函数

§1、数项级数的基本概念与性质

一、基本概念

定义1（级数）设有无穷数列，称形式和{}∞

1

n u

++++n u u u 21为无穷级数，简称级数，记为，即

∑∞

=1

n n u ,

211

++++=∑∞

=n n n

u u u u

其中每个数均称为级数的项，数

称为级数的一般项或

通项，级数的前n 项和

n u

n

n

k k n u u u u s +++==∑= 211

称为级数的部分和数列。

研究级数的基本问题：

1、判定级数是否收敛——无穷个数相加是否等于一个有限数（级数的和）；

2、当级数收敛时，如何求其和。

判定级数收敛或发散的方法统称为审敛法。熟练掌握针对各种级数的审敛法是学习的主要内容。

定义2（敛散性）设有级数

，其部分和为

，则

n s ∑∞

=1

n n

u

∑∞

=1

n n

u

1、级数

收敛此时，称s 为

级数的和，并记

,lim s s n n =⇔∞

→∃

;

1

s u

n n

=∑∞

=2、级数

发散不存在。∑∞

=1

n n

u

n n s ∞

→⇔lim 显然，收敛级数才有和，发散级数无和；任何级数要不收敛，要不发散，两者不可兼得。

利用敛散性定义可以判定一些级数的敛散性，并求出收敛级数的和。

【例1】判定级数的敛散性。

∑∞

=+1)

1(1

n n n 〖解〗由分项分式

)

,2,1(1

1

1)1(1 =+-=+k k k k k 得级数部分和为

)

1(1431321211++

+⋅+⋅+⋅=n n s n )

1

11()4131()3121()211(+-++-+-+-=n n

11

1+-

=n s n 故

n n s ∞→lim )1

1

1(lim +-=∞→n n 1=于是，原级数收敛，且和为1，即

.1)

1(1

1=+∑∞

=n n n □

练习：判定下列级数

∑∞

=-+1

)

1(

n n n 的敛散性。

一般，对形如

∑∞

=+-1

)]

1()([n n f n f 的级数均可利用敛散性定义判定其敛散性。

∑∞

=-+1

]

ln )1[ln(n n n [发散级数]

有些重要级数（几何级数、调和级数和p-级数）

是判定其它级数敛散性的依据，因此，要记忆这些重要级数的敛散性。

【例2】讨论几何级数

的敛散性。

∑∞

=-0

1

n n aq

〖解〗q q a n

--=1)1(1、当时，由等比数列前n 项和公式得

1||≠q 1

2-++++=n n aq

aq aq a s n q

q

a q a ⋅---=11注意到

⎩⎨⎧<∞<=∞

→,1||,,1||,0lim q q q n

n 故

⎪⎩⎪

⎨⎧<∞<-=∞

→,1||,

,1||,1lim q q q a

s n n 收敛发散

2、当时，部分和为

1||=q ⎪⎩

⎪⎨

⎧-=⎩⎨⎧-====,11

2,2,0,1,q k n a k n q na s n n n s ∞

→lim 故

不存在，即此时级数发散。综合有：

⎪⎩

⎪⎨⎧≥<-=∑∞

=-1||1||,101q q q a

aq n n 发散收敛由此可知：几何级数的敛散性是由其公比q 确定的。

收敛的几何几数，其和可直接写出来。

例如，判定下列几何级数的敛散性：

,2

11∑∞

=n n

,)98(1

n n ∑∞

=-,)8

9(

5

21n n ∑∞=-121||<=

q 198

||<=q 189

||>=

q

收敛于和

1

12

12

1

=-

收敛于和

178

)

(1989

8-=---发散