第二章晶体衍射和倒格子案例

同一 (111 ）面内各离子的磁矩 是平行的，而相邻（ 111 ）面 上的离子的磁矩是反平行的 。
§2.1.2 衍射方程 假设射线源与晶体距离以及观测点与晶体的距离都比晶体的线 度大得多，因此，将入射波和衍射波均可看成平面波，其传播 方向分别用单位矢量S0和S表示，取格点O为原点，晶格中任一 格点A的格矢则为 Rl l1a1 l2a2 l3a3 劳厄衍射方程 从图中看出，光程差为CO+OD Rl (S S0 ) 当光程差为波长整数倍时则衍射加强，即 Rl (S S0 ) n 和k S ， 则劳厄衍射方程也可表示为 考虑到 k0
S0 2 2
CO Rl S 0
S0 Rl
C O D A
OD Rl S
Rl (k k0 ) 2 n
S
§2.1源自文库3 衍射波的波幅与强度 由上面分析可知，在 k方向上，两个原子产生的散射波的相 位差为 2


光程差 Rl (k k0 )
因此， k方向上散射波的幅度应当为来自两个原子散射波的 幅度之和，即 A(k ) ei ( k k0 )Rl
min
ch 1200 eV V (V : V , min : nm)
V 104V , min ~ 0.1nm
实验上多采用40千伏，所产生的最短波长为0.03nm 直到今天， X 射线衍射（ XRD ）仍为确定晶体结构的重要 工具，但由于X射线穿透能力太强，在某些方面，例如在研 究晶体表面结构中，难以发挥作用。
k
§2.2 倒格子
由于晶格周期性，一些物理量具有周 期性，若Γ代表晶体的某一物理性质 （如电场强度、电子云密度、势能 等），由于晶格的周期性，则有
表明：一个重复单 元中任一r处的物理 性质同另一个重复 单元相应处的物理 性质相同
(r ) (r l1a1 l2a2 l3a3 )
例如图中A和A’处的物 理性质相同
X-射线 1895年伦琴发现X-射线， 1912年劳厄意识到其波长在0.1nm 量级，与晶体中的原子间距相当，因此，晶体必可成为X射 线的衍射光栅，随后布拉格用 X 射线证实 NaCl 等晶体具有 面心立方结构。 X-射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶级”物质 上而产生的一种电磁波，这样产生的 X- 射线，最大的光子 能量h最大等于电子的能量eV，因此，X-射线的最短波长为
电子 电子波动性的发现给人类确定晶体结构增添了另外一种手段 电子衍射是以电子束直接打在晶体上而形成的，电子束的德 布罗意波的波长 =h/p ，利用 p2/2m=eV ， V 是电子的加速电 压，因此有 h 150 0.1 (V : V , : nm) V 2meV 可见150V即可产生波长为0.1nm的电子波。由于电子的能量 可方便地通过加速电压调整，因此，电子的波长可随意调 节，增加了探测的自由度，在许多用X射线探测无能为力的 方面恰恰是电子衍射的用武之地，最典型的例子是，准晶 的发现就是借助电子衍射而获知的，同时，电子衍射，特 别是低能电子衍射，是研究晶体表面结构的首选。
0 A
其中i为第i个原子散射波幅度
若计及所有原子对散射波的贡 献，则k方向散射波的幅度为 A(k )
由此可得k方向的衍射强度为
e
j 1 j
N
i ( k k0 ) R j
I (k ) A(k )
j , j ' j
2
k0 Rl
A

j
j'
e
i ( k k0 ) ( R j R j ' )
a1 、 a2 、a3 ，
原胞体积 a1 (a2 a3 )
a2 、a3 由这组基矢构成的格子称为对应于以 a1 、
为基矢的正格子的倒易格子(简称倒格子)
b1 、b2 、b3 称为倒格子基矢
从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
§2.1.1 适于晶体衍射的几种典型粒子束 哪些粒子束入射到晶体上会产生衍射现象呢？ 基本判据：辐射的波长同晶格常数相当或小于晶格常数 晶体中的原子间距在0.1nm左右
图中给出了 X- 射线光子、电子 和中子的波长与能量的关系， 可以看到，这三种粒子束的波 长都满足同晶格常数相当或小 于晶格常数的判据
第二章
晶体衍射和倒格子
如何确定晶体结构
§2.1 晶体衍射 §2.2 倒格子 §2.3 布里渊区 §2.4 布拉格反射 §2.5 原子散射因子 §2.6 几何结构因子
§2.1 晶体衍射
晶体的特点是其内部原子的周期性排列， 形成不同方向等间隔的晶面族 每组晶面族可以作为波的衍射光栅，因 此，选择适当波长的波入射到晶体上就 有可能观察到衍射现象 通过对不同方向衍射现象的分析，就可 以了解晶体内部原子的排列情况，为晶 体结构的确定奠定了基础 由量子力学可知，微观粒子具有波动性，然而，并非任何粒 子束入射到晶体上都会产生衍射现象，例如，当波长为500nm （ 5000 埃）的光子入射到晶体上只会产生通常的光的折射现 象，而不会产生光的干涉现象（即衍射）
或者说，物理性质是以 a1、a2、a3 为周期的三维周期函数
引入倒格子，可以将三维周期函数 展开为傅里叶级数，例如 V (r ) V ( Km )eiKm r
m
§2.2.1 倒格子的定义
假设晶格的原胞基矢为
2 b1 a2 a3 构建一新的空间， 2 b2 a3 a1 其基矢为 2 b3 a1 a2
中子 中子质量约为电子质量的 2000倍，如果能量和电子束一样， 则中子波长约为电子波长的 1/2000 ，因此，对中子束，只需 0.1eV能量的中子就可产生0.1nm的波。 中子没有电荷但有磁矩，与晶体中电子自旋的相互作用，使得 中子衍射成为探测晶体磁有序结构的独特的手段 图是根据中子衍射推断出 MnO 晶体的晶体结构及其 Mn2+ 离子 的磁矩的有序排列 MnO 具 有 NaCl 结 构 ， 其 中 Mn2+ 可看成由 (111) 密排面叠成 的面心立方结构