二次型及其矩阵表示

例设
f(x1,x2,x3,x4)2x1 2x1x22x1x3
4x2x4x3 25x4 2
则它的矩阵为
2
1 2
1
0
1
A
2
0
0
2
1 0 1 0
0 2 0 5
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例 写出二次型
fx122x223x324x1x26x2x3 的矩 . 阵
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
是与一组基相联系的.
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如果a在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下的坐
标向量分别为
X=(x1,x2,...,xn)T和Y=(y1,y2,...,yn)T,
又 (h1,h2,...,hn)=(e1,e2,...,en)C,
于是
X=CY.
如此则有二次型 f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y
矩阵A. 由(6.2)知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称
方阵, 且 f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX,
则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质.
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
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记
a11 a12 L a1n
AaM 21
a22 M
L O
aM 2n,
an1 an2 L ann
(6.4)
X=(x1,x2,...,xn)T. 二次型(6.3)可以用矩阵乘积形式 简单表示为
nn
f(x1,x2,L,xn) aijxixjXTA X(6.5) i 1j 1
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把A称为二次型的矩阵, 对于任意一个二次型 (6.1), 总可以通过(6.2)使其写成对称形式(6.3), 并对应
个基本问题.
解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性
变换
X=CY,
(其中C为可逆阵, 这个变换也可看成向量a在基变换下
的坐标变换), 使得 XTAX=YT(CTAC)Y
成为y1,y2,...,yn的平方和. 这个基本问题, 从矩阵的角度来说, 就是对于一个
实对称矩阵, 寻找一个可逆矩阵C, 使得CTAC成为对角
项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
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定义 n元变量x1,x2,...,xn的二次多项式
f (x1, x2,L , xn) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 L 2a1nx1xn a22x22 2a23x2x3 L 2a2nx2xn LLLLLL
1 2 0 A2 2 3.
0 3 3
1 5 2x1
求二次型 f x1,x2,x39 4 10x2的矩阵A，
6 2 4 x3 并求f的秩。
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设 B 为 n 阶 方 阵 ,求 证 f X T B X 的 矩 阵 是 A 1 ( B B T ) 2
显然A是对称矩阵，x Rn
6.1 二次型及其矩阵表示
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二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨 论的有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式.
为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过
基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合
XTAX1(XTBXXTBTX) 2
XTBTX(XTBTX)T XTBX
X TA X1(X TB XX TB X)X TB X 2
这表明对称矩阵A是二次型 X T BX 的矩阵。
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一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函数,即 f(a)=XTAX.
其中X=(x1,x2,...,xn)T是a在Rn的一组基下的坐标 向量. 所以二次型XTAX是向量a的n个坐标的二次齐 次函数. 因此二次型作为n维向量a的函数, 它的矩阵
即二Fra Baidu bibliotek型f(a)在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}
下所对应的矩阵分别为 A 和 CTAC
其中CTAC仍是对称阵, YT(CTAC)Y是y1,y2,...,yn的 一个二次型.
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对于一般的二次型f(x1,x2,...,xn), 将其化为y1,y2,...,yn 的纯平方项之代数和(简称平方和), 是研究二次型的一
对称形式
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn LLLL
an1xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
i1 j1
(6.3)
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ann xn2
(6.1)
当系数属于数域F时, 称为数域F上的一个n元
二次型.本章讨论实数域上的n元二次型, 简称二次型.
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由于xixj=xjxi, 具有对称性, 若令
aji=aij,
i<j,
(6.2)
则2aijxixj=aijxixj+ajixixj(i<j), 于是(6.1)式可以写成
形.
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定义 对于两个矩阵A和B, 如果存在可逆阵C, 使得CTAC=B, 就称A合同于B, 记作AB.
由定义容易证明, 矩阵之间的合同关系也 具有反身性, 对称性和传递性. 由于合同关系有 对称性, 所以A合同于B, 也说成A与B是合同的, 或A,B是合同矩阵.
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