3知识讲解直线的参数方程

直线的参数方程

【学习目标】

1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】

要点一、直线的参数方程的标准形式

1. 直线参数方程的标准形式：

经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：

00cos sin x x t y y t α

α=+⎧⎨

=+⎩

（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数t 的几何意义：

参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =u u u u u u r

，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。

当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =；

要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=0

0y y t

x x .

要点二、直线的参数方程的一般形式

过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=

a

b

的直线的参数方程是 ⎩

⎨

⎧+=+=bt y y at

x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a 2

+b 2

=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2

+b 2

≠1，则动点P 到定点P 0的距离是

22b a +｜t ｜.

要点三、化直线参数方程的一般式为标准式

一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.

⎩⎨

⎧+=+=bt

y y at

x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2

2

b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.

(2) 当2

2b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.

⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+++=+++=)

()(222202

2220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 2

2+ 则可得到标准式⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧'

++='++=t b a b

y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.

要点四、直线参数方程的应用

1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法： 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是

⎩

⎨⎧+=+=a t y y a

t x x sin cos 00 （t 为参数）

若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则

（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;

(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=

2

2

1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2

2

1t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.

2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型： （1）有关弦长最值题型

过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。则A 、B 两点分别用参变量t1、t2表示。 一般情况A 、B 都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。

(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型

直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数12

=

2

t t t +中；若定点恰为AB 为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。

（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型

若F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|，

由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程 解决为好 【典型例题】

类型一、直线的参数方程

例1. （2016春 福州校级期中）直线-cos 203sin 20x t y t =︒

⎧⎨

=+︒⎩

（t 为参数）的倾斜角是（ ）

A ． 20° B. 70° C. 110° D. 160°

【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。 【答案】D

【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．

把参数方程改写成-cos 20-3sin 20x t y t =︒

⎧⎨

=︒

⎩，

消去t ，有-3-tan 20=tan160y x x =︒︒，

即tan160+3y x =︒，所以直线的倾斜角为160°．

第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程cos1603sin160x t y t =︒

⎧⎨=+︒

⎩，

所以直线的倾斜角为160°，选D ．

【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如2cos 204sin 20x t y t =+︒

⎧⎨

=-+︒

⎩（t 为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°，

但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。 举一反三：

【变式1】 已知直线l

的参数方程为22x y t

⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），求直线l 的倾斜角．

【答案】 关键是将已知的参数方程化为0cos 0sin x x t y y t α

α

=+⎧⎨

=+⎩的形式。

若化成另一种形式2(2)2

12(2)2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩

，

若2t

为一个参数，则cos 1sin 2

αα⎧=⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩，在[0,)απ∈内无解；