浅谈排列组合问题的几种主要解法

加法原理 和乘 法原理 的区别就 在于
是否 与顺序有关 ，这 两种原理是解 排列 组合应 用题 的最基本 的方法 。在解 给定 的具体 问题时 ，弄清分类 计数原理 和分 步计数 原理 的根本 区别 ，确定是分类 问 题还是 分步 问题非 常关键 ，要做到 准确
无误 ，需要对两个原 理有全面而深 刻的 认识 。 例 １ ｎ个人 参 加某 项 考试 ，能 否 通过 ，有 多少种 不同的可能结果？ 解法 １ ：用 分类计数 的原 理 即加 法 原理 。没有人通 过 ，有 种 结果 ；１ 个
关键词 ：排列组合 ；分类计数原理 ；分步计数原理
排 列 与组 合 是 初 等代 数 中 比较独
特 的内容 ，也是 中学数学 教学 的一个难
类方 法” ，这是对能 够完成这件事所 有 方法 的分类 。分类 时要 满足如下要 求 ： 完成这件 事的任何一种方 法必须包含 于 某 一 类 之 中 ，且仅 包 含 于 该 类 之 中。
×１ ６ ５ ４ ３ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘＩ
共有 Ａ ￣Ｌ４１８ ＣＣ４ ０ 个不 同的四位偶 ２ ＝
小结 ：这是一 个有附加条件 的排列
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数。 问题 。在实际 问题 中 ，有附加条件 的问
（ ）ＡＡ ×１ ５ ４ ４ ３ ２ ２ ４２ × ｘ ｘ × × ｘ１ ２２
解题方 法也多种多样 ，有 利于对学生进
② “ 做一件事 ，完成 它需要分成几 个步
骤 ” ，这是指完成这 件事 的任何一 种方
三 、特殊 元 素 （ 或位 置 ） 优 先 安 排
例 ３ 用 数 字 ０ 、２ 、４ 、１ 、３ 、５ 可 以组成多少个没有重 复数字 的四位偶 数？
法都 要分成几个 步骤 。分步时要满 足如
下要 求 ：完成这件事 必须 且只需连续 完 成这几个 步骤。
行逻辑 思维能力 的训 练。解决排列 组合 的应用 题主要依据 的是计 数的两个基本
原理 ：分类计数原理 和分 步计 数原理。
一
、
运用两个基本 原理
二、“ 相邻 ”用捆绑 ， “ 不 邻 ”就插空
Ｉ 队 课与掌 ＵＯ Ｅ ＫＥ Ｊ Ｘ 堂救 Ｉ Ｉ Ｕ Ａ
浅谈 排 列 组合 问题 的几 种 主要 解 法
邱 雪婉
摘
要 ：排 列组合 由于 内容独特 ，题 目灵活 多变，其 解题 方法也 多种 多样 ，学生在解题过程 中极 易出现 “ 重复”或 “ 遗漏”
的错误 ，又无法对 问题 的结果进行检验 ，所 以它是 中学数 学教 学的一个难点 。排 列组合也是 学习概 率与统计知识 以及进一 步学 习高等数 学有关知识 的准备 知识。解决 问题 的关键 在于对概念 的深刻理解 ，正确 区分分类和分步 两个计数 原理的差异 ，对每 个 过程作认真 、全 面的分析 ，做 到不 “ 重” 、不 “ 漏” 。笔 者在 多年的教 学中总结 出了排列组合 问题 的常见类型及其应 对方法。
素 ，故称 之为 “ 捆绑法 ” ；如果 以某些
元素 “ 能相邻 ”为条 件的 ，则可采用 不
“ 插空法 ”。
点 ，它所研 究的对象 以及研 究问题 的方 法都 与学生 已掌握 的数 学知识有较 大的 不 同。这部分 内容虽 少 ，与 旧知识 的联 系也不 多 ，但是 由于题 目灵活多样 ，其
＝６ ９ｏ
小结 ：如果 以 “ 相邻”为条件 的 ，
应将 相邻的元素看成 一个整体 即一 个元
题大量存在 。 决这类 问题时应该注意 ， 解 所谓 附加条件就是 限制条件 ，实际上 是
下 的任何 数字都可 以在 任何位置上 ， 所
以有 个 ；如果个位不选 ０ ，则首位也 不 能选 ０ ，这样 ，先确定个 位 ，从 ２ 、４ 中选 出 １ （ ），再确定 首位 ，在 已 个
分析 ： （ ） １ 可以将要 求相邻的 甲、 乙看 成一个整体进行 排列 ，即进行 “ 捆 绑 ”。但是要注 意 ，甲、乙这 时应 该看 作一 个人 ，这样 ，本 小题就可 以看 成是
例２ ７个人 按 照下 面 的不 同要 求 站成 一排 ，分别有多少种不 同的站法 ？ （ ）甲、乙相 邻 ； １
（ ２）甲 、 乙之 间 间 隔 两 人 。
分 析 ：这 是 一 个 从 ６个 不 同元 素
中取 出 ４ 的排列 问题 。偶 数则要求个 个
位 数 字必 须是 ０ 、４ 、２ 。所 以 ，０ 、 、２ ４是 特殊 元 素 ，０更 为 特殊 ，而数 字 的 首位 和末位则是特 殊的位置 。我们可 以 先 安排 特殊 元 素 ０ ，如果 个位 选 ０ ，剩
让 ６个人站成一排 ，问有多少种 不 同的
站法 。
确定 的个位和 ０以外 的 ４个数字 中任选
１ （ ） 最后 ， 个 ， 确定 中间的两个数字 ，
即 ，注意在确 定 中间的两个数 字时 ０ 不能排除 。其实 ，在 这道题 中，我们 同
（ 跟 上面小题刚好相反 ， ２） 要求 甲、
＋ ：２ 种可能的结果 。 ｃ＝
解： 位选 ０ 有 个； 个 ， 个位不选 ０ ， 且首位也不能选 ０ ，有 ＣＣ 个 ，所 以， １１
一
解法 ２ ：用 分步计数 原理 即乘法 原 理 。第 一 个 人有 通 过 与 不通 过 两 种 可
能 ，第 二个人也 是这样 ，……，第 ｎ个 人 也是 这样 ，所 以一共 有 ２×２ ×２Ｘ… ×２ ２ 种可能 的结果 。 ＝
乙不 能相邻并且 中间间隔两人 。这 样 ，
我们 可 以先算 出在 甲 、乙中间插入 两人 有多少种不 同的站法 ，然后把 这 四个人 看成 一个 人 ， 再与剩下 的 ３ 人进行排列 。 解： （ ） １
＝４４ １ ０
时运 用了前面所说 的两个最基本 的计数
原理 。
人通过 ， ｃ 种结果 ……； 个人通过 ， 有 有 种结 果 。所 以 ，一共 有 ＋ ． ＋． ・