浅谈排列组合问题的几种主要解法
浅谈排列组合问题的几种主要解法
浅谈排列组合问题的几种主要解法作者：邱雪婉来源：《教师·下》2012年第06期摘要：排列组合由于内容独特，题目灵活多变，其解题方法也多种多样，学生在解题过程中极易出现“重复”或“遗漏”的错误，又无法对问题的结果进行检验，所以它是中学数学教学的一个难点。
排列组合也是学习概率与统计知识以及进一步学习高等数学有关知识的准备知识。
解决问题的关键在于对概念的深刻理解，正确区分分类和分步两个计数原理的差异，对每个过程作认真、全面的分析，做到不“重”、不“漏”。
笔者在多年的教学中总结出了排列组合问题的常见类型及其应对方法。
关键词：排列组合；分类计数原理；分步计数原理排列与组合是初等代数中比较独特的内容，也是中学数学教学的一个难点，它所研究的对象以及研究问题的方法都与学生已掌握的数学知识有较大的不同。
这部分内容虽少，与旧知识的联系也不多，但是由于题目灵活多样，其解题方法也多种多样，有利于对学生进行逻辑思维能力的训练。
解决排列组合的应用题主要依据的是计数的两个基本原理：分类计数原理和分步计数原理。
一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理的区别就在于是否与顺序有关，这两种原理是解排列组合应用题的最基本的方法。
在解给定的具体问题时，弄清分类计数原理和分步计数原理的根本区别，确定是分类问题还是分步问题非常关键，要做到准确无误，需要对两个原理有全面而深刻的认识。
例1 n个人参加某项考试，能否通过，有多少种不同的可能结果？解法1：用分类计数的原理即加法原理。
没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有C1种结果；……；n个人通过，有Cn种结果。
所以，一共有C0+C1+…+Cn=2n种可能的结果。
解法2：用分步计数原理即乘法原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样，所以一共有2×2×2×…×2=2n种可能的结果。
小结：①“做一件事，完成它有几类方法”，这是对能够完成这件事所有方法的分类。
排列组合常见的九种方法
排列组合常见的九种方法
1. 直接排列法：将元素按照一定次序排列，每种排列方案都是一个不同的结果。
例如，3个元素的排列数为 3! = 3 × 2 × 1 = 6。
2. 递归法：将问题逐步分解成每一步只有相对简单的子问题，从而不断求解。
通过递归，经过一系列不同的子过程，得到最终的结果。
3. 循环法：使用循环来枚举所有的可能的排列组合情况。
通常用于数组、字符串等元素的排列组合问题。
4. 分组排列法：将待排列的元素按照一定属性分组，再对每组内的元素进行排列组合，最终将每组的结果进行组合得到最终的结果。
5. 交换法：通过元素间的交换，对所有可能的排列组合进行枚举。
该方法需要注意元素交换时的顺序。
6. 邻项对换法：将相邻的两项进行对换，直到所有项都被排列组合了一遍。
7. 插入法：将新的元素依次插入已有元素的任意位置，直到所有元素都被排列组合了一遍。
8. 非递增排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最大的开始进行排列组合。
9. 非递减排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最小的开始进行排列组合。
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。
在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
解答排列组合问题的几种措施
排列组合是每年高考数学必考的内容之一.排列组合问题侧重于考查分类计数原理和分步计数原理.解答此类问题，需仔细审题，辨别问题的类型，然后选用合适的计数原理进行求解.本文主要介绍几种求解排列组合问题的常用措施.一、优先法大部分的排列组合问题都会涉及有特殊要求的元素或位置，此时需采用优先法求解.采用优先法解题，可以从两个角度入手：（1）特殊元素.先排列特殊元素的顺序，再排列其他元素的顺序；（2）特殊位置.先将满足要求的元素安排在特殊位置上，再将其他元素安排在剩下的位置上.例1.1名歌手和4名观众排成一排照相，若歌手不排在两端，则一共有多少种排法.分析：本题中的歌手为特殊元素，两端的位置为特殊位置，需采用优先法求解.可从特殊元素、特殊位置两个角度进行考虑.解法一：优先安排歌手的位置.因为歌手不排在两端，所以歌手只能安排在中间的3个位置，有A13种排法，然后随意安排4名观众，有A44种排法.由分步计数原理可知，一共有A13∙A44=72种排法.解法二：优先考虑两端的位置.先从4名观众中选2人排在两端，有A24种排法，再排剩下的3个位置，有A33种排法.由分步计数原理知，一共有A24∙A33=72种排法.当有多个特殊元素或位置时，往往要分步逐一安排每个特殊的元素或位置，最后根据分步计数原理求解.二、捆绑法指定某些元素必须排在一起的问题称为相邻问题.当遇到相邻问题时，常需采用捆绑法求解.把相邻的若干元素捆绑在一起作为一个整体或者一个大元素进行排列，便可保证相邻的元素不会分开.采用捆绑法解答排列组合问题，需分步进行，首先排列捆绑起来的大元素以及没有被捆绑的元素的排列顺序，然后排列捆绑起来的几个元素的顺序，最后运用分步计数原理求解.例2.（1）7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻的排法有多少种？（2）7个人排成一排，其中甲、乙中间相隔2人的排法有多少种？解：（1）先将甲、乙两人捆绑在一起作为1个元素，与其他5个人一起排列，有A66种排法；又甲、乙两人有A22种排法，则一共有A66∙A22=1440种排法.（2）先从7人中任选2人放在甲、乙中间作为一个大元素，有A25种排法，且甲、乙两人有A22种排法，再将这个大元素与剩下的3人一起排列有A44种排法，则一共有A25∙A22∙A44=960种排法.运用捆绑法解题时，要注意排列大元素内部的几个元素的顺序，这是很多同学容易忽略或忘记的一个步骤.三、间接法对于含“至多”或“至少”字眼的排列组合问题，采用直接法求解，往往需要进行很复杂的讨论，且会出现遗漏或重复计数的情况.此时从问题的反面入手，采用间接法求解比较便捷.先求出所有的排列数，再排除不符合条件的排列数即可解题.这样往往会收到意想不到的效果.例3.某校开设3门A类选修课，4门B类选修课.某同学一共选了3门选修课，若要求从两类课程中各至少选择一门，则一共有多少种选法？解：先不考虑限制条件，从7门选修课中任选3门，一共有C37种选法.所选的3门选修课均为A类，有C33种选法，均为B类，有C34种选法，由分步计数原理可知，一共有C37-C33-C34=30种选法.此题中含有“至少”的字眼，用直接法求解，要考虑的情况太多，需运用间接法，先不考虑任何限制条件，从7门选修课中任选3门，求出所有的情况数，再考虑不符合条件的情况：所选的3门选修课均为A类或B类，排除不满足要求的情况数，即可快速解题.上述三种方法都是解答排列组合问题的常用方法，但是其适用条件均不同.优先法适用于解答含有特殊元素和位置的题目，捆绑法适用于求解元素相邻的题目，间接法适用于解答从正面求解困难的题目.对于排列组合问题，同学们要多总结归纳，提炼方法，这样才能在解题时做到游刃有余.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）方法集锦44Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
排列组合问题的基本类型及解题方法
排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。
故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合的5种方法
排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。
在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。
第一种方法是使用乘法原则。
乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。
例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。
第二种方法是使用加法原则。
加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。
例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。
第三种方法是使用排列。
排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。
第四种方法是使用组合。
组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。
例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。
第五种方法是使用二项式定理。
二项式定理是一个用于展开二项式的公式。
它可以用于计算排列和组合的值。
二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
排列组合问题的八种求法(免费)
126
种
（ 1）分成三堆，一堆 2 本，一堆 3 本，一堆 1 本； （ 2）平均分成三堆； （ 3）平均分给三个同学； （ 4）分给三个同学，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； （ 5）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本。 解： （ 1）不是平均分堆，故有：
C C C
1排列组合问题的八种求法云南昭通鲁甸一中李明健云南昭通站张中华推荐排列组合是高中数学的重点难点内容之一同时也是解决概率问题的重要工具下面举例说明排列组合问题的八种求法
排列组合问题的八种求法
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-
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解法二：先把特殊元素 0 排在中间四个位置的任何一个，然后 把 0 以外的五个数字排在其他五个位置， 可得符合条件的总数共有：
A A 个。
1 5 5 4
二、对称（或机会均等）问题用：除法 例 2、 A、 B、 C、 D、 E 五人排成一排，如果 B 必须站在 A 的 右边，则不同的站法有多少种？ 解：B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边的排列情况是对称的（或 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边机会相等） ，故有：
排列组合问题解法总结
排列组合问题的常见解法一.元素相同问题隔板策略例1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的． 练习题：个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法 49C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 二.环排问题直排策略如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为mnA 个，所以mn mN A=，所以m nA N m=．即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m nA N m =．n 个元素的环形排列数为!(1)!n n A n N n n n===-例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 种七班练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 三.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=四.排列组合混合问题先选后排策略例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种五.小集团问题先整体后局部策略例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种 六.正难则反总体淘汰策略例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种七.平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（544138422C C C A ） 名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =） 八. 合理分类与分步策略例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
排列组合问题的分类解法
应用场景：适用于排列组合问题中，当问题的条件较为复杂，难以直接计算时，可以通过构造法来寻找解决方案。
添加标题
注意事项：构造法需要有一定的数学基础和思维灵活性，同时要注意构造的合理性和正确性。
方程法
定义：通过建立方程来表示排列组合问题中的数量关系
适用范围：适用于具有明显数量关系的问题，如分组、排列等
步骤：分析问题，列出所有可能的选项；根据题意和条件，逐一排除不可能的选项；剩下的选项即为正确答案。
注意事项：排除法只适用于选项之间存在明显差异或可以通过逻辑推理排除某些选项的情况；对于一些复杂问题，可能需要结合其他方法一起使用。
03
排列与组合的综合问题
混合法
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解题思路：先对元素进行排列，再对排列后的结果进行组合
应用场景：排列与组合的综合问题
步骤：首先假设与原命题相矛盾的结论，然后通过推导证明该结论与已知条件相矛盾，最后得出原命题的正确性。
注意事项：在应用反证法时，需要注意假设的合理性和推导的严密性，避免出现逻辑上的漏洞。
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隔板法
解题步骤： a. 将n个不同元素排成一列，共有n-1个空隙 b. 在这些空隙中插入(m-1)个隔板，将元素分成m组 c. 从每组中取出r个元素，共有C(n,r)种取法
排除法
定义：排除法是一种通过排除不可能的选项来找出正确答案的解题方法。
应用场景：适用于选项之间存在明显差异或可以通过逻辑推理排除某些选项的情况。
示例：5个不同的苹果和3个不同的香蕉，需要将苹果捆在一起，有多少种不同的排法？
定义：将两个或多个元素视为一个整体，然后与其他元素进行排列
怎样求解排列组合问题
探索探索与与研研究究排列组合问题常以填空题或选择题的形式出现在各类试题中，通常要求一些元素的排列数.这类问题的难度不大，却是出错率较高的一类题目.本文重点谈一谈求解排列组合问题的几种常用方法.一、插空法插空法是指把一些要求不相邻的元素插入其他已排列好的元素之间的间隙中，进而求得这些元素的排列数.若要求M 个元素中的n 个元素不相邻，则需先安排没有要求的M -n 个元素，有A M -nM -n 种可能的情况；然后把要求不相邻的n 个元素插入M -n 个元素之间的M -n -1空隙和两端的位置中，有A nM -n +1种可能的情况；最后根据分步计数原理计算,可得总共有A M -n M -n A n M -n +1种可能的情况.例1.4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有____种排法.分析：4名男生不相邻，且不站在队伍的两端，需采用插空法，先将没有要求的其他6名女生排好，这6名女生之间就有5个空位，再将4名男生插入这5个空位中，就能确保4名男生不相邻，且不站在队伍的两端.解：6个女生排成一排共有A 66种排法，把4个男生放在6个女生中间的5个空位中，有A 45种排法，根据分步计数原理可得，满足要求的排法有A 66A 45=86400种.例2.一条长街上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法？分析：要保持原来的6个路灯的相对顺序不变，就需采用插空法求解.原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，先将一个路灯插入，那么此时7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，那么此时8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，最后利用乘法计数原理求解即可.解：原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，将其中一个路灯插入这些空位中，则A 17=7种方法；7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，有A 18=8种方法；8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，有A 19=8种方法，由乘法计数原理可得，共有A 17⋅A 18⋅A 19=504种不同的安装方法.二、隔板法隔板法适用于求解一些相同元素的分组问题.若要将n 个相同的元素分成m 组，需将m -1个板插入n 个元素之间的n -1空隙中，使其分为m 组，则共有C m -1n -1种分法.例3.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有_____种.分析：7个小球相同，要将其放入4个不同的盒子中，只需采用隔板法,在7个小球之间的6个空位中随意插入3块隔板,将小球分成4组，再将其放入4个盒子中即可.解：7个小球之间有6个空位，将3个隔板插入，便把7个小球分成4份，有C 36=20种分法，故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有20种.例4.体育老师将10个完全相同的篮球分给7个小组，要使每个小组至少有1个篮球，则一共有多少种分配方案？分析：10个篮球完全相同，要将其分给7个小组，需采用隔板法，将10个篮球排成一排，在篮球之间的空隙中插入6块隔板，就能将篮球分为7份，且使每一份中至少有一个篮球.解：将10个篮球排成一排，那么在篮球之间形成9个空隙中，插入6块隔板，就将篮球分为7份，有C 69=84种分法，所以一共有84种分配方案.三、优先法优先法适用于求解某个或某些元素有特殊要求的排列组合问题.优先法有两种：特殊位置优先法和特54探索探索与与研研究究殊元素优先法.采用优先法解题，要先明确哪些元素或位置有特殊要求，然后优先对特殊元素、位置进行排列，最后再安排没有特殊要求的元素的排列顺序.例5.从6人中选取4人对每道生产程序进行检验，若第1道生产程序只能由甲、乙两人完成，第4道生产程序只能由甲、丙两人完成，则共有______种不同安排的方案.分析：问题对甲、乙、丙都有特殊要求，其中甲的情况较为复杂，需分三种情况：（1）检验第1道生产程序；（2）检验第4道生产程序；（3）既不检验第1道生产程序，也不检验第4道生产程序.分别求得各种情况下的安排方法数，再根据分类计数原理和分布计数原理进行求解。
排列组合五类应用题的常见解法
排列组合五类应用题的常见解法排列组合应用题是高考必考题。
由于有些排列组合应用题比较抽象，题型繁多、解法独特，再加上限制条件，往往容易发生重复和遗漏现象，历来是考生失分较多的一部分内容。
解决这一问题的有效方法是对常见题型及求解方法加以归类，反复训练，形成模式便能在考试中得心应手，水到渠成。
下面就五类问题的常见解法综述如下。
一、排除法解立体几何中的排列组合问题立体几何中的组合问题，大多带有附加条件。
因此，这类问题正面分类讨论求解，不仅麻烦，还最容易漏解。
若根据立体几何的特点，从反面入手，从总体数目中排除不合乎条件的方法数，通过排除的间接方法求解，可以减少失误，提高解题效率。
例1、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有( )A、150种B、147种C、144种D、141种(1997年全国高考题)解：从10个点中取4个点的取法有C种，其中四点共面的分为三类：①从四面体的每个面上的6点之中取4个点，有4C种；②不同在一个面上两棱中点连线都平行第三边棱(如图中SF‖CD，HR‖CD)，可确定一个平面SFRH，这样的平面有3个；③一条棱上的中点与此点所在面的对棱上的三点可确定一个平面(如图中平面HAFD)有六个中点，这样的平面有6个。
故符合题设条件的取法有：C-4C-3-6-141种。
故选(D)。
例2、空间有10个点，其中有4个点共面但不共圆，此外不再有4个点共面，以其中1点为顶点，过另外3个点的圆为底面构成圆锥(不一定是直圆锥)，这样的圆锥最多有多少个？解：选3个点构成底面有C种，从余下7点再选一个点为顶点有C种。
于是共有C C 种，再除去4个点共面不能构成的圆锥数C种。
所以，这样的圆锥最多有C C-C=846个。
例3、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )A、70个B、64个C、58个D、52个(1990年全国高考题)解：若不考虑四点共面的情况，共有C个，但正方体的六个面和六个对角面的四个顶点都不能构成四面体，因此，四面体共有C-12=58个，故选(C)。
(word完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结),推荐文档
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合21种解法
高考数学复习解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略。
1。
相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
例1。
五人并排站成一排，如果AB必须相邻且A在B的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种2。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
例2。
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
例3。
A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在的A右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种4。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
例4。
将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种5。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
例5。
（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A、C124C84C44种B、3C124C84C44种C、C124C84CA33种D、C124C84C44A33种6。
解决排列组合问题的常用方法
按分类计数原理有 种
2、在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
第一类办法从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有C C 个；第二类办法从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C 个；第三类办法从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C 个由加法原理共有N=C C +C C +C C 个三角形
【例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
解（1）分三步：①先选百位数字．由于0不能作百位数，因此有5种选法；
分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；
插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法
点评：以上问题归纳为
分给人（有序）
分成堆（无序）
非均匀
均匀
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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乙不 能相邻并且 中间间隔两人 。这 样 ，
我们 可 以先算 出在 甲 、乙中间插入 两人 有多少种不 同的站法 ，然后把 这 四个人 看成 一个 人 ， 再与剩下 的 ３ 人进行排列 。 解： （ ） １
＝４４ １ ０
时运 用了前面所说 的两个最基本 的计数
原理 。
人通过 ， ｃ 种结果 ……； 个人通过 ， 有 有 种结 果 。所 以 ，一共 有 ＋ ． ＋． ・
法都 要分成几个 步骤 。分步时要满 足如
下要 求 ：完成这件事 必须 且只需连续 完 成这几个 步骤。
行逻辑 思维能力 的训 练。解决排列 组合 的应用 题主要依据 的是计 数的两个基本
原理 ：分类计数原理 和分 步计 数原理。
一
、
运用两个基本 原理
二、“ 相邻 ”用捆绑 ， “ 不 邻 ”就插空
×１ ６ ５ ４ ３ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘＩ
共有 Ａ ￣Ｌ４１８ ＣＣ４ ０ 个不 同的四位偶 ２ ＝
小结 ：这是一 个有附加条件 的排列
数。 问题 。在实际 问题 中 ，有附加条件 的问
（ ）ＡＡ ×１ ５ ４ ４ ３ ２ ２ ４２ × ｘ ｘ × × ｘ１ ２２
例２ ７个人 按 照下 面 的不 同要 求 站成 一排 ，分别有多少种不 同的站法 ？ （ ）甲、乙相 邻 ； １
（ ２）甲 、 乙之 间 间 隔 两 人 。
分 析 ：这 是 一 个 从 ６个 不 同元 素
中取 出 ４ 的排列 问题 。偶 数则要求个 个
位 数 字必 须是 ０ 、４ 、２ 。所 以 ，０ 、 、２ ４是 特殊 元 素 ，０更 为 特殊 ，而数 字 的 首位 和末位则是特 殊的位置 。我们可 以 先 安排 特殊 元 素 ０ ，如果 个位 选 ０ ，剩
解题方 法也多种多样 ，有 利于对学生进
② “ 做一件事 ，完成 它需要分成几 个步
骤 ” ，这是指完成这 件事 的任何一 种方
三 、特殊 元 素 （ 或位 置 ） 优 先 安 排
例 ３ 用 数 字 ０ 、２ 、４ 、１ 、３ 、５ 可 以组成多少个没有重 复数字 的四位偶 数？
Ｉ 队 课与掌 ＵＯ Ｅ ＫＥ Ｊ Ｘ 堂救 Ｉ Ｉ Ｕ Ａ
浅谈 排 列 组合 问题 的几 种 主要 解 法
邱 雪婉
摘
要 ：排 列组合 由于 内容独特 ，题 目灵活 多变，其 解题 方法也 多种 多样 ，学生在解题过程 中极 易出现 “ 重复”或 “ 遗漏”
的错误 ，又无法对 问题 的结果进行检验 ，所 以它是 中学数 学教 学的一个难点 。排 列组合也是 学习概 率与统计知识 以及进一 步学 习高等数 学有关知识 的准备 知识。解决 问题 的关键 在于对概念 的深刻理解 ，正确 区分分类和分步 两个计数 原理的差异 ，对每 个 过程作认真 、全 面的分析 ，做 到不 “ 重” 、不 “ 漏” 。笔 者在 多年的教 学中总结 出了排列组合 问题 的常见类型及其应 对方法。
关键词 ：排列组合 ；分类计数原理 ；分步计数原理
排 列 与组 合 是 初 等代 数 中 比较独
特 的内容 ，也是 中学数学 教学 的一个难
类方 法” ，这是对能 够完成这件事所 有 方法 的分类 。分类 时要 满足如下要 求 ： 完成这件 事的任何一种方 法必须包含 于 某 一 类 之 中 ，且仅 包 含 于 该 类 之 中。
素 ，故称 之为 “ 捆绑法 ” ；如果 以某些
元素 “ 能相邻 ”为条 件的 ，则可采用 不
“ 插空法 ”。
点 ，它所研 究的对象 以及研 究问题 的方 法都 与学生 已掌握 的数 学知识有较 大的 不 同。这部分 内容虽 少 ，与 旧知识 的联 系也不 多 ，但是 由于题 目灵活多样 ，其
加法原理 和乘 法原理 的区别就 在于
是否 与顺序有关 ，这 两种原理是解 排列 组合应 用题 的最基本 的方法 。在解 给定 的具体 问题时 ，弄清分类 计数原理 和分 步计数 原理 的根本 区别 ，确定是分类 问 题还是 分步 问题非 常关键 ，要做到 准确
无误 ，需要对两个原 理有全面而深 刻的 认识 。 例 １ ｎ个人 参 加某 项 考试 ，能 否 通过 ，有 多少种 不同的可能结果？ 解法 １ ：用 分类计数 的原 理 即加 法 原理 。没有人通 过 ，有 种 结果 ；１ 个
＝６ ９ｏ
小结 ：如果 以 “ 相邻”为条件 的 ，
应将 相邻的元素看成 一个整体 即一 个元
题大量存在 。 决这类 问题时应该注意 ， 解 所谓 附加条件就是 限制条件 ，实际上 是
下 的任何 数字都可 以在 任何位置上 ， 所
以有 个 ；如果个位不选 ０ ，则首位也 不 能选 ０ ，这样 ，先确定个 位 ，从 ２ 、４ 中选 出 １ （ ），再确定 首位 ，在 已 个
分析 ： （ ） １ 可以将要 求相邻的 甲、 乙看 成一个整体进行 排列 ，即进行 “ 捆 绑 ”。但是要注 意 ，甲、乙这 时应 该看 作一 个人 ，这样 ，本 小题就可 以看 成是
＋ ：２ 种可能的结果 。 ｃ＝
解： 位选 ０ 有 个； 个 ， 个位不选 ０ ， 且首位也不能选 ０ ，有 ＣＣ 个 ，所 以， １１
一
解法 ２ ：用 分步计数 原理 即乘法 原 理 。第 一 个 人有 通 过 与 不通 过 两 种 可
能 ，第 二个人也 是这样 ，……，第 ｎ个 人 也是 这样 ，所 以一共 有 ２×２ ×２Ｘ… ×２ ２ 种可能 的结果 。 ＝
让 ６个人站成一排 ，问有多少种 不 同的
站法 。
确定 的个位和 ０以外 的 ４个数字 中任选
１ （ ） 最后 ， பைடு நூலகம் ， 确定 中间的两个数字 ，
即 ，注意在确 定 中间的两个数 字时 ０ 不能排除 。其实 ，在 这道题 中，我们 同
（ 跟 上面小题刚好相反 ， ２） 要求 甲、