选修空间向量知识点归纳总结

第三章 空间向量与立体几何

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)( 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量

也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a

//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b

的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b

存在实数

λ，使a

＝λb 。 4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件

是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作

，

（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量

与

的夹角，记作

，且。 7. 空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组

(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

(2) 右手直角坐标系：右手握住z 轴，当右手的四指从正向x 轴以90°角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向；

（3）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。

（4）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则

112233(,,)a b a b a b a b +=+++，

112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，

112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或λ===3

3

2211b a b a b a 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（5）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，

则2

123||a a a a a a =⋅=++，2

1||b b b b =⋅=+ （6）夹角公式：21cos

||||a b

a b a b a ⋅⋅=

=⋅+

（7）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2

||(AB AB ==， 或,A B d =（8）空间线段),,(),,,(22221111z y x P z y x P 的中点),,(z y x M 的坐标：

⎪⎭

⎫

⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x （9）球面方程：2222R z y x =++

8. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定

0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2

a b π

<>=

，则称a 与b 互相垂直，

记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（4）空间向量数量积的性质：

①||cos ,a e a a e ⋅=<>。②0a b a b ⊥⇔⋅=。③2||a a a =⋅=2)(= （5）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。

②a b b a ⋅=⋅（交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。 9、空间向量在立体几何证明中的应用：

（1）证明//AB CD ，即证明//AB CD ，也就是证明332211,,b a b a b a λλλ===或λ===3

3

2211b a b a b a （2）证明AB CD ⊥，即证明0AB CD ⋅=，也就是证明0332211=++b a b a b a （3）证明//AB α（平面）（或在面内），即证明AB 垂直于平面的法向量或证明AB 与平面内的基底共面；

（4）证明AB α⊥，即证明AB 平行于平面的法向量或证明AB 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；

（5）证明两平面//αβ（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；

（6）证明两平面αβ⊥，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。

10. 运用向量的坐标运算解题的步骤： （1）建坐标系，求相关点的坐标 （2）求相关向量的坐标 （3）运用向量运算解题

11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题： （1） 两条直线的夹角：

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，

两直线l ,m 所成的角为θ(02

π

θ≤≤

),cos a b a b

θ⋅=

=cos

（2） 直线与平面的夹角：

设直线l 的方向向量分别为a ，平面α的法向量分别为u

，

直线l 与平面α所成的角为θ(02

π

θ≤≤),sin a u a u

θ⋅=

=cos ；

（3） 二面角： πθ≤≤0 ① 方向向量法： ② 法向量法： 法向量的方向：

一进一出，二面角等于法向量夹角；