平面与圆锥面的截线

解析：如图所示 OH= 1 SO= 3 (cm)， 22
HC=OHsin 60= 3 3 = 3 3 (cm)． 22 4
所以球 O 的半径为 3 cm，切点圆的半径为 3 3 cm
2
4
7．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使 SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么 样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．
在 Rt△ACB 中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF= 3 PA=2 3 ，
2
2
由面积关系，得 OH= OF OP = 2 6 .
PF
3
已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为
π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点
如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB是圆锥的轴截面，已 知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4.
(1)求二面角A－PC－B的余弦值． (2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离．
解析：(1)∵∠APC=60，∴△APC 为等边三角形． 如图所示，分别取 PC、BC 的中点 D、E，连接 AD、DE， 则 AD⊥PC，DE∥PB. 又 PB⊥PC，∴DE⊥PC. 故∠ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角． 连接 AE，在 Rt△ACE 中，求得 AE2=24.
又 AD= 3 PA=2 3 ，DE= 1 PB=2，在△ADE 中，由余弦
2
2
定理，得 cos∠ADE=- 3 . 3
(2)取 AC 的中点 F，连接 PF、OF，则 AC⊥平面 POF， 从而平面 PAC⊥平面 POF.
过点 O 作 OH⊥PF，垂足为 Hwenku.baidu.com则 OH⊥平面 PAC，故 OH 的长为点 O 到平面 PAC 的距离．
2 解析：e= cos 45 = 2 = 6 .
cos 30 3 3
2 设圆锥曲线上任意一点为 M，其两焦点分别为 F1、F2，
MF1+MF2=AB. 设圆锥面内切球 O1 的半径为 R1，内切球 O2 的半径为 R2.
∵SO1=2R1，CO1= 2 R1，
∴SC=(2+
2
)R1=5，即
R1=
52
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面π与圆锥的交线．
解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为 S1、S2.
三 平面与圆锥面的截线
1．理解圆锥面的概念． 2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况．
1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α, 直线l与AD相交于点
P，且与AD的夹角为β
，则：
0
π 2
(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交． (2)________，l与AB不相交． (3)________，l与BA的延长线、AC都相交． 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹角为α，l′围绕l旋转 得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平 行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆． (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线． (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．
A B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是 ()
A．圆
C．双曲线
B
B．椭圆 D．抛物线
3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴
的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为
(C )
A. 3
B. 4
5
5
C. 1
D. 2
2
2
4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则 会出现四种情况：________、________、________和________．
5．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是______、________.
4．圆 椭圆 抛物线 双曲线 5．圆 圆或椭圆
6．已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O， 使SO＝3 cm，球O与这个锥面相切，求球O的半径和切圆的半径．
在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线，分别 与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－ PQ2|＝Q1Q2.
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长，因此Q1Q2的长为 定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双 曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数．
E作2一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
解析：设⊙O 的半径为 R，母线 VA=l，则侧面展开图的
中心角为 2πR = 2 ，∴圆锥的半顶角= π .
l
4
连接 OE.∵O、E 分别是 AB、VB 的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE=∠AVO= π . 4
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
∴CD⊥平面 VAB，
∴平面 CDE⊥平面 VAB，即平面 VAB 为截面 CDE 的轴
面，
∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为 π . 4
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面
CDE 与圆锥的截线为一抛物线．
1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截
线是( ) A．圆
2
2 .
∵SO2=2R2，CO2= 2 R2，
∴SC=(2-
2
)R2=5，即
R2=
52
2
2 .
∵O1O2=CO1+CO2= 2 (R1+R2)=10 2 ，
∴AB=O1O2cos 30=O1O2
3 =5 2
6 ，即 MF1+MF2=5
6
8.顶角为90°的圆锥面中，有一个半径为2的内切球，以该球为Dandelin球 作一个截面，截线为抛物线，建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程.