第五章 电子-声子相互作用2

第五章 电子－声子相互作用

§1 互作用过程

一、有效质量近似和带边能量 带底附近能带电子能量

*22

2m k c k +

=εε （5.1.1）

带边能量与原子间距有关。 例如：

电子在周期场中的势能函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧--=0]

)([2

1)(222na x b m x V ω b na x b a n b

na x b na -≤≤+-+≤≤-)1(

其中b a 4=，n 为整数，ω为常量． 用近自由电子近似，求出晶体电子的第一个和第二个带隙宽度． 解：对于0=

n ，⎪⎩

⎪⎨⎧≤

<<-=2||0||)(2

1)(2

22a x b b x x b m x V ω ++++=x

iG G x

iG G x

iG G e

V e V e

V V x V 3322110)(，其中l a

G l π2= 计算得到

⎰⎰--=-==2/2/222

2206

1)(211)(1a a b b b m dx x b m a dx x V a V ωω

⎰--=2

/2

/11

)(1a a x iG G dx e x V a V 223

222241)(211a m dx e x b m a b b x a

i ωπ

ωπ

=-=⎰-- 2

22

2/2/321)(122a m dx e x V a V a a x iG G ωπ

==⎰-- ∴2

23

121||21

a m V E G g ωπ

== 2

22

2161||22

a m V E G g ωπ

==

二、形变势模型

LA 声子伴随晶格常数和体积的局域变化。带边能量发生移动

)(1r c V

V

V

V V V c

c c ∆=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=δεδεδε （5.1.2） 电声相互作用的形变势模型。

三、形变势模型的电声相互作用哈密顿

)()(r u r ⋅∇=∆

∑

⋅-+⋅-⋅=q

r

iq q r iq q q q

e a e a q e V i ))((2 ωρ（2.5.31） 二次量子化表示

⎰ψ∆ψ=+)()()(1ep r r c r r d H

∑

+

-+++-⋅=q

k k q k q k q k q q q

C C a C C a q e V ic H ,1ep )

)((2 ωρ（5.1.4）

给出电声相互作用的两个基本过程。

图5.1 电子吸收、发射声子 图5.2 电子－空穴对 以上是ep

H 的一级过程。

二级过程由基本过程组成： 图5.3

§2 电子与声频支声子的相互作用 晶格模型

简单晶格只有声频支振动。 电阻效应。N 过程、U 过程。

一、晶格模型中电声互作用哈密顿量 离子处于格点不动时，电子与离子的互作用

∑-=l

j j

ei

l r V H ,0)(

（5.2.1）

离子位移)(t u l

，电子与离子的互作用

∑--=l

j l j ei u l r V H ,)(

（5.2.2）

能带电子与晶格振动的相互作用

∑----=-=l

j j

l

j

ei

ei

ep

l r V u l r V H H H ,0)}()({

∑-∇⋅-=l

j j l l r V u ,)(

∑=j

j r h )(

（5.2.3）

其中电声相互作用的一个电子的单体势

∑-∇⋅-=l

j

l

j

l r V u r h )()(

（5.2.4）

电声相互作用的二次量子化哈密顿

⎰ψψ=+

)()()(ep

r r h r r d H

对)(r ψ和

)(r ＋

ψ作傅氏变换 ∑=ψk

k k r C V r )

(1)( ψ，

∑+++

=ψk

k k r C V r )(1)( ψ（5.2.6）

其中)(r k

ψ是

Bloch 函数。

得到

∑+><='

,'ep |)(|'k k k

k C C k r h k H

∑∑+>-∇<⋅-=l k k k

k l C C k l r V k u '

,'|)(|'

（5.2.8）

l u

用简正坐标、声子算符表示

∑⋅=

s

q l iq qs

qs l e Q e NM

u ,1

∑⋅+-+=

s

q l

iq qs

qs qs

qs

e a a e NM

,)(21ω （5.2.9）

其中格波偏振指标 },,{2

1

L T T s =。

得到（5.2.10）

∑∑

∑+⋅+

->-∇<⋅+-=l k k k

k s

q qs l

iq qs

qs qs

C C k l r V k e e a

a NM

H ',',ep |)(|')(21

ω

用平面波代替布洛赫函数，利用

n K q k k l

l k q k i e N

++⋅-+=∑,')'(1δ （5.2.19）

晶格模型中电声互作用哈密顿量

（5.2.21）

∑∑

+

+++-+++⋅-=k

k

K q k qs qs n qs s

q K q qs

C C a a K q e V M N i H n n ))}(({2,ep ω

二、N 过程和U 过程

（i ）N 过程（正常过程）

∑∑

+

++-+⋅-=k

k

q k qs qs qs s

q q qs

C C a a q e V M N i H ))((2,ep ω

TA

声子0qT =⋅q e

，只有

LA 声子的贡献：

∑∑

+

++-+⋅-=k

k

q k q q q q

q q

C C a a q e V M N i H ))((2ep ω（5.2.22） ∑∑

+

++-+⋅-=k

k

q k q q q q

q q C C a a q e V M N i ))((2 ω