高一数学必修复习第二章函数知识点总结

第二章 函数知识点归纳
总论：
知识网络结构图
一、函数的概念与图像
设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规则f ，对每一个D x ∈，都能对应唯一的一个实数y ，则这个对应规则f 称为定义在D 上的一个函数，记以()x f y =，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集 (){}
D x x f y y Z ∈==, 称为函数的值域。

注意点：①定义域 ②对应规则 ③所谓同一函数必须要定义域和对应规则完全一致。

1、求定义域的主要依据：
（1）若函数()x f y =为整式，则定义域为实数集R ； （2）分式的分母不为零；
（3）偶次方根的被开方数不小于零； （4）对数函数的真数必须大于零； （5）若函数()f
x 由几个部分的数学式子构成的，定义域为使各个式子有意义的实数的集合的交集；
（6）如果函数由解决实际问题列出，定义域为符合实际意义的实数集。

例1、下列各对函数中，相同的是（ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2
== B 、)1lg()1lg()(,1
1
lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v
v
v g u u u f -+=
-+=
11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）
A 、 0个
B 、 1个
C 、 2个
D 、3个
例3、（05江苏卷）函数20.5log (43)y x x =
-________________________
2、求函数值域的主要方法：
（1）直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； （2）换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
x
x
x
x
1 2 1 1 1 2 2 2 1
1
1
1
2 2 2 2 y y y
y 3 O
O
O
O
（3）利用对勾函数；
（4）分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； （5）单调性法：利用函数的单调性求值域；
（6）几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。

主要是含绝对值函数 例1、2
1
23
y x x =
++ ； 2()2242f x x x =-+- 例2、12-+-=x x y
例3、8
2(4)y x x x =+
≥ 例4、1+=x x y ；31
(24)21x y x x -=-≤≤+
例5、3
([1,3])2y x x
=∈-
例6、21y x x =+--
3、重要函数图像
（1）一次函数（正比例函数）图像及其性质：
（2）反比函数图像及其性质：
（3）二次函数图像及其性质：
①二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴
2b
x a
-=
，顶点坐标24(,)24b ac b a a -- ②二次函数与一元二次方程关系：
③闭区间上二次函数的最值问题：
是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般来说首先考虑开口方向。

设f x ax bx c a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

将f x ()配方，得顶点为
24(,)24b ac b a a --、对称轴为x b a
=-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： 最小值：对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论
（1）当[]
-∈b a
m n 2，时，f x ()的最小值是24()24b ac b f a a --=
当[]
-
∉b
a m n 2，时， （2）若-<b
a m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()； （3）若2b
m a
->，由f x ()在[
]
m n ，上是减函数则f x ()的最小值是f n ()。

最大值：对称轴与区间中点比较进行分类讨论
（1）当22b m n a +-
≥时，f x ()的最大值是f n ()； （2）当22
b m n a +-<时，f x ()的最大值是f m ()； 当a <0时，可类比得结论。

例1、设),](1,[,44)(2
R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。

例2、已知二次函数2
f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数a 的值。

例3、已知函数
2 ()
2
x
f x x
=-+在区间[,]
m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值
④二次方程根分布问题：
点拨：从三个方面进行分析：（1）0
∆>（有不等实数根）；（2）对称轴；（3）端点的函数值例1、已知方程()
2
210
x m x m
-++=有两个不等正实根，求实数m的取值范围.
例2、方程0
1
2
2=
+
+mx
mx有一根大于1，另一根小于1，求实根m的取值范围是例3、已知关于x的方程0
1
2
2
)2
(2=
+
-
+
-m
x
x
m至少有一个根在区间(1, 2)内，求实数m的取值范围. （4）对勾函数图像：
二、函数的表示方法与表达形式
1、函数表示的三大方法：列表法、解析法、图像法
例1、购买某种笔x支，所需花y元，若每支笔需2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x （}
{1,2,3,4
x∈）的函数，并指出函数的值域。

2、函数的表达形式：
（1）一般表达形式：()x f
y=
（2）分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
≤
-
-
<
+
=
=
1
5
1
1
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
f
y
（3）复合函数：设()u f
y=定义域U，()x
g
u=定义域X，值域*
U。

如果U
U⊂
*，则()
[]x
g
f
y=
是定义在X上的一个复合函数。

其中u称为中间变量。

例2、已知()
1
-
=
x
x
x
f，求()⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-1
1
x
f
f
例3、()x
已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

练习：①(21)x
x
已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域。

②设
2
()lg
2
x
f x
x
+
=
-
，则
2
()()
2
x
f f
x
+的定义域为__________
三、函数的简单性质
1、函数表示法的“无关性”：
函数的表示法只与定义域和对应规则有关，而与用什么字母表示无关，即
，
简称函数表示法的“无关性”。

例1、25y x =+ 与25y u =+ 是否为同一函数？
2、函数的单调性：
如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。

如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

注意点：设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减 函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

例1、证明函数)()(3
R x x x f ∈-=的单调性
例2、函数)26(log 2
1.0x x y -+=的单调增区间是________
例3、已知(31)4,1
()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨
>⎩
是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）
（A ）(0,1) （B ）1(0,)3
（C ）11[,)73
（D ）1[,1)7
3、函数的奇偶性：
设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有()()x f x f -=-，则称()x f 在X 上是奇函数；若对X x ∈，都有()()x f x f =-，则称()x f 在X 上是偶函数。

重要性质：（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称；
（2）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 （3）奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
判断函数奇偶性的主要方法：①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
例1、已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围； 例2、已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，
=)(x f .
习题：若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _______。