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高考压轴题：导数题型及解题方法

（自己总结供参考）

一．切线问题

题型 1 求曲线 y f (x) 在 x x0处的切线方程。

方法： f ( x0 ) 为在 x x0处的切线的斜率。

题型 2 过点 (a,b)的直线与曲线y f ( x) 的相切问题。

方法：设曲线 y f ( x) 的切点 (x0 , f ( x0 )) ，由 ( x0 a) f ( x0 ) f (x0 ) b 求出 x0，进而解

决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数 f （ x）=x3﹣ 3x．

（ 1）求曲线 y=f （ x）在点 x=2 处的切线方程；（答案：9x y 16 0 ）

（ 2）若过点 A A(1,m)( m 2) 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线y f ( x) 上的切点（ x0 , f (x0 ) ）；建立 x0 , f (x0 ) 的等式关系。将问题转化为关于 x0 , m 的方程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是3, 2 ）

练习 1. 已知曲线y x 3 3x

（ 1）求过点（ 1， -3 ）与曲线y x3 3x 相切的直线方程。答案：（ 3x y 0 或 15 x 4y 27 0 ）（ 2）证明：过点（ -2,5 ）与曲线y x3 3x 相切的直线有三条。

2. 若直线e2x y e2 1 0 与曲线 y 1 ae x相切，求 a 的值.（答案：1）

题型 3求两个曲线y f ( x) 、 y g ( x) 的公切线。

方法：设曲线y f ( x) 、 y g( x) 的切点分别为（x1 , f ( x1 ) ）。（ x2 , f (x2 ) ）；

建立x

1 , x

2 的等式关系，( x

2 x1 ) f ( x1 ) y2

，x

1 ) f ( x

2 ) y2 y1

；求出x

1 , x2

，

y1 ( x2

进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线

y x2与曲线 y 2eln x 的公切线方程。（答案 2 ex y e 0 ）

练习 1.求曲线y x2与曲线 y( x 1) 2的公切线方程。（答案 2 x y 1 0 或 y 0）

2．设函数

f ( x) p( x 1

) 2 ln x, g( x) x2，直线l与函数 f (x), g (x) 的图象都相切，且与函数x

f ( x) 的图象相切于（1,0 ），求实数p的值。（答案p 1或3）

二．单调性问题

题型 1求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有： （ 1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类； （ 2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到

二次方程问题时，△与 0 的关系不定）； (3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类； (4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准 出发，做到不重复，不遗漏。 例 已知函数

f ( x)

aln x

1 x 2

(a

1) x

2

（ 1）求函数 （ 2）若 x

f ( x) 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）

2, e ，求函数 f ( x) 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）

练习

已知函数

f ( x) e x x (k 1)e

x

1

x 2

kx 1 ，若 x

1,2 , 求函数 f ( x) 的单调区间。（利

2

用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型 2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

方法 1：研究导函数讨论。 方法 2：转化为 f ' ( ) 0 ' ( x ) 0

在给定区间上恒成立问题， x 或 f

方法 3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增 或减区间的子集。

注意：“函数 f ( x) 在 m, n 上是减函数”与“函数 f ( x) 的单调减区间是 a,b ”的区别是前者是

后者的子集。

例 已知函数 f (x) x

2

a ln x + 2

在1,

上是单调函数，求实数 a 的取值范围．

（答案 0,

x ）

练习已知函数 f ( x) 1 x3 (k 1)

x 2，且 f (x) 在区间 ( 2, ) 上为增函数．求实数k的取值范围。

3 2

（答案： k 1 3 ）

题型 3已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

方法 1：正难则反，研究在某区间的不单调

方法 2: 研究导函数是零点问题，再检验。

方法 3: 直接研究不单调，分情况讨论。

例设函数 f (x) x3 ax 2 x 1，a R 在区间1

,1 内不单调，求实数 a 的取值范围。2

（答案： a2, 3 ））

三．极值、最值问题。题型 1求函数极值、最值。

基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。

例

已知函数

f (x) e x

x (k 1)e x

1

x 2 kx 1 ，求在 x

1,2 的极小值。

2

（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

练习 已知函数 f (x) x

3

mx 2 nx 2 的图象过点 ( 1, 6) ，且函数 g( x)

f ( x) 6x 的图象关于

y 轴对称 . 若 a

0 ，求函数 y f ( x) 在区间 (a 1,a 1) 内的极值 .

（答案：当 0 a 1 时， f ( x) 有极大值 2 ，无极小值；当 1 a 3 时， f (x) 有极小值 6 ，无

极大值；当 a 1 或 a 3 时， f (x) 无极值 . ）

题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。

方法： 1. 利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。 方法 2. 转化为函数单调性问题。

例

函数 f ( x)

1 x 4 1 (1 p)x 3 1 px

2 p(1 p) x 1。0 是函数 f (x) 的极值点。求实数

p 值。

4 3 2

（答案： 1）

练习

已知函数

f ( x) ax x 2

ln x, a R. 若函数 f ( x) 存在极值，且所有极值之和大

5 ln 1

，求 a 的取值范围。 （答案： 4,

）

2