地基基础 柱下条形基础

将边界条件（1）代入挠度方程，可得C1=C2=0。
于是梁的挠度方程为
w e x C 3 cos x C 4 sinx
将边界条件(2)代入，可得C3=C4= C ，则上式改写为
w Ce x cos x sin x
边界条件（3）
由此可得
d 3w F0 V EI dx 3 2 x 0
(3) 按地基承载力计算所需的条形基础底面积A， 进而 确定底板宽度b。 二、翼板的计算 1．地基净反力计算 基底沿宽度b方向的地基净反力
p j max F 6e b 1 p j min bL b
2．翼板厚度确定 按斜截面抗剪能力确定。 柱或墙边的剪力设计值为
2
材料力学中梁的挠曲微分方程为 M对x求二阶导数
EI
EI
M
d w dx
dx
4

d M dx 2
2
因此有
d 4w
4
bp q
根据文克尔地基假设，及地基沉降与基础梁的挠曲变 形协调条件s = w，可知
p=ks=kw
代入上式得
EI
d 4w dx
4
bkw q
上式即为文克尔地基上梁的基本挠曲微分方程。
x / F x /
（ 3 ）有限长梁：荷载作用点与两端的距离都小于
/；又称刚性梁。
x /
F x /
三、无限长梁的解 1．无限长梁受集中力F0作用(向下为正)
设集中力作用点为坐标原点O，边界条件为 （1）当x∞时，w=0； （2）当x=0时，dw/dx=0； （3）当x=0+ （为无限小量)时，V = F0 /2；
第四节 弹性地基梁法
一、文克尔地基模型 假定: 地基任一点所受的压力强度只与该点的 地基变形成正比，而不影响该点以外的变形
p=ks
式中 p —— 地基上任一点的压力强度，kN/m2 k —— 地基基床系数，表示产生单位变形所 需的压力强度，kN/m3 s —— 压力作用点的地基变形，m
（a）非均匀荷载 （b）集中荷载 （c）刚性荷载 （d）均布柔性荷载
(a)条形基础
(b)十字交叉条形基础
柱下条形基础
第二节 柱下条形基础的构造
1. 翼板： 宽度b：按地基承载力计算确定。 厚度h：根据抗剪计算确定。一般h 200 mm； h = 200~250 mm时，宜用等厚度翼板； h > 250mm时，宜用变厚度翼板， 坡度i 1:3。
b1 H h=200~250 b 200 b H b1
M 02 C4 2 kb 4 EI M0
可得x 0时无限长梁受集中力偶M0 作用的计算公式
挠度
转角 弯矩
M 02 Bx kb
M 03 Cx kb
M
M0 Dx 2
剪力
V
M0 Ax 2
对于梁的左半部(x 0)，x 取距离的绝对值，w和 M 符号与上式相反， 和 V 取相同符号。
当肋梁的腹板高度大于450mm时，应在肋梁的两 侧加配纵向构造钢筋，每侧的面积不应少于腹板截 面面积的0.1%，间距不宜大于200mm。
梁两侧的纵向构造钢筋，宜用拉筋连接，拉筋直 径与箍筋相同，间距500~700mm，一般为两倍的箍 筋间距。 6. 翼板的钢筋 横向受力钢筋由计算确定。其直径不应小于 10mm，间距100~200mm。
式中 C1、C2、C3、C4——待定参数，根据荷载及边界 条件确定
弹性地基梁可按x值的大小分为下列三种类型： （1）无限长梁：荷载作用点与两端的距离都大于 /； 又称柔性梁。 F x / x / （2）半无限长梁：荷载作用点与一端的距离大于 /， 与另一端的距离小于/；又称有限刚度梁。
（3）不平衡力调整
不平衡力：按倒梁法计算的支座反力Ri一般与柱
子的作用力Fi不相等。
原因：a. 没有考虑土与基础以及上部结构的相
互作用； b. 假定地基反力按直线分布与事实不符。 调整方法：逐次调整法来消除不平衡力。 步骤如下：
a．计算各柱脚的不平衡力 R i=FiR i b．将各支座的不平衡力均匀分布在相邻两跨的各1/3 跨度范围内，悬挑部分取全长。 对边跨支座
q 1 R1
l 0 l1 3
q1 qi-1 qi li-1/3 li/3 qi+1
对中间支座
q i R i
l i 1 3 l i 3
l0 l1/3 l1/3 li-1/3 l0 l1 li-1
li/3 l i+1 li+1 li
调整荷载计算简图
c．继续计算调整荷载qi引起的内力和支座反力，并 重复计算不平衡力，直至小于容许值（一般不超过 荷载的20%)。 d. 将逐次计算的结果叠加，即为最终内力计算结果。
3．翼板抗弯钢筋 翼板作为悬臂，柱或墙边的弯矩设计值
p j1 p j 2 2 M 3 2 l1
翼板的抗弯钢筋
As M 0.9 f y h0
翼板的计算简图
三、基础内力分析
1．静力平衡法
j
j
j
直线分布法的基底反力分布
基底单位宽度的净反力： 中心受压： 偏心受压：
1 p j x i2 Fi ( x i a i ) 2
静力平衡法计算简图
V ( x i ) p j x i Fi
2．倒梁法 基本思路：以柱脚为固定铰支座，以地基净反力 当作基础梁上的荷载，将基础梁视作倒置的多跨连续 梁，用弯矩分配法或连续梁系数法来计算其内力。
倒梁法计算简图
集中力偶作用下的挠度、转 角、弯矩M、剪力V 分布图
3．若干集中荷载作用下的无限长梁
若干集中荷载作用下的无限长梁
利用叠加原理，可求得O点的弯矩与剪力
MC FA MA FB M Ca Da Cb Dc 4 2 4 2 MC FA M A FB V Da Aa Db Ac 2 2 2 2
= pj pj 荷载分解图 pj + pj
=
+ pj 荷载分解图 pj
pj
pj
（1）悬臂端处理 a. 考虑对其它跨的影响。悬臂端弯矩传给其它支座。 一般用弯矩分配法计算。 b. 不考虑对其它跨的影响。悬臂端的弯矩，全由悬 臂端承担， 不再传给其它支座。 （2）中间连续梁部分 a．用连续梁系数法计算。 b．用弯矩分配法计算。
为求解，先考虑梁上无荷载部分，或当梁上的分布荷 载q=0时的情况。梁的挠曲微分方程变为齐次方程
EI d 4w dx
4
bkw 0
令
4 kb 4EI
d 4w dx 4 4 4 w 0
上式可写成
微分方程的通解为
w e x C1 cos x C 2 sinx e x C 3 cos x C 4 sinx
p j1 V p j2 l1 2
翼板的计算简图
翼板厚度应满足抗剪要求
V 0.7 h f t bh0
h 800 h0
1 4
式中h 截面高度影响系数， h0800mm时，取800mm， h02000mm时，取2000mm； h0 翼板的有效高度。 求得翼板的有效高度h0，翼板厚度h为 h= h0+40（基底有垫层） h= h0+70~75（基底无垫层）
F0 C 2kb
w F0 x e cos x sin x 2kb
挠度公式(x 0)
转角 = dw/dx，弯矩M= EId2w/dx2，和剪力Q= EId3w/dx3。 计算公式（x 0情况）如下
挠度 转角
弯矩 剪力 其中
F0 w Ax 2kb
F0 2 Bx kb
纵向分布钢筋可用8~10mm，间距不大于300mm。
7. 柱下条形基础的混凝土强度等级不应低于C20。
条形基础底板横向受力钢筋布置示意图
第三节 简化计算法
一、基础底面尺寸的确定 地基承载力计算（复习） 中心受压
Fk Gk pk fa bL
偏心受压
p k max Fk G k p k min bL 6e 1 L
h250
2. 肋梁： 高度H：由计算确定，一般宜为柱距的1/4~1/8 宽度b1：应比该方向的柱截面稍大
3. 条基两端外伸长度
外伸长度宜为第一跨距的1/4。
4. 基础梁顶面和底面的纵向受力钢筋 由计算确定。顶部钢筋按计算配筋全部贯通；底 部通长钢筋不应少于底部受力钢筋总面积的1/3。 5. 基础梁的纵向构造钢筋与拉筋
倒梁法计算步骤如下 （ 1 ）根据初步选定的柱下条形基础尺寸和作用荷载 ，确定计算简图。 （ 2 ）计算基底净反力及分布。按刚性梁基底反力线 性分布进行计算。 （3）用弯矩分配法或弯矩系数法计算弯矩和剪力。 （4）调整不平衡力。 （ 5 ）继续用弯矩分配法或弯矩系数法计算内力，并 重复步骤（4），直至不平衡力在计算容许精度范围 内。一般不超过荷载的20%。 （6）将逐次计算结果叠加，得到最终内力分布。
取坐标原点在F0作用点，边界条件有
（1）当x∞时，w=0；
（2）当x=0时，M = EId2w/dx2 = 0； （3）当x=0时，V = EId3w/dx3 = F0； 由以上边界条件可得
例题：已知柱下条形基础上作用三个集中力，均为
F=180kN，相距4.0m，基础梁宽度1.0m，抗弯刚度
EbIb=3.48105kNm2，地基基床系Hale Waihona Puke Baiduk=5. 0104kN /m3。
试求F2作用点处基础梁的弯矩和剪力。（设基础
梁为无限长梁）
F1 4000 F2 4000 F3
四、半无限长梁的解 1．半无限长梁受集中力F0作用(向下为正)
pj F L
p j max F 6e 1 p j min L L
基本思路：将基底净反力与柱荷载一起作用于基础梁 上，按一般静定梁的内力分析方法，取隔离体计算 各截面的弯矩和剪力。 对于中心受压情况分段内 力方程为
a i x i a i 1
M( xi )
pk f a pk max 1.2 f a
F1 M1
F2 M2
F3 M3
F4 M4
a1
xc L
a
a2
基础计算简图
确定基础底面尺寸的步骤： (1) 求荷载合力重心位置 合力作用点距Fl的距离为
Fi x i M i xc Fi
(2) 确定基础梁的长度和悬臂尺寸 选定基础梁从左边柱轴线的外伸长度为a1 基础梁的总长度L L=2（xc+ a1） 从右边柱轴线的外伸长度a2 a2=L a al
文克尔地基模型
二、弹性地基梁挠曲微分方程
（a）基底反力
（b）微分单元受力
弹性地基梁计算简图
设梁宽为b，根据微分梁单元上竖向力的平衡可得
V V dV b pdx qdx 0
整理得
dV bp q dx
dM 由V dx
知
4
d 2M dx
2
bp q EI d 2w dx
基础设计
主讲：庄鹏
第二章 柱下条形基础
第一节 概述
1. 2. 3. 4. 适用：上部结构荷载较大，地基承载力较低。 目的：减小地基反力，调整不均匀沉降。 单向条形基础：把一个方向的单列柱基连在一起。 双向条形基础：又称十字交叉条形基础 。
柱下条形基础
柱下十字交叉条形基础
5. 柱下条基设计 横向：翼板 抗剪、抗弯 纵向：基础梁 抗剪、抗弯
集中力作用下的挠度、转角
、弯矩M、剪力V 分布图
2．无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)
以集中力偶M0作用点为坐标原点O，边界条件有
（1）当x∞时，w=0；
（2）当x=0时，w=0； （3）当x=0时，M = EId2w/dx2 = M0 /2； 由以上边界条件可得
C1= C2= 0 C3= 0
M
F0 Cx 4
F0 V Dx 2
Ax e x cos x sin x Cx e
x
B x e x sin x
cos x sinx
D x e x cos x
上式Ax，Bx，Cx，Dx四个系数均是x的函数，可查表。
对于梁的左半部(x 0)可利 用对称关系求得，其中 挠度w、弯矩M 和地基反 力p是关于原点O对称的， 而转角、剪力V 是关于 原点反对称的。 在计算时，x取距离的绝对 值，w和 M 的正负号与 x0 时相同，但 和V 取 相反符号。